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RECTAS EN EL ESPACIO - PLANO EN EL ESPACIO

MATEMÁTICA BÁSICA PARA INGENIERIA

La importancia de las rectas se puede ver a través de casos de estudio, como por ejemplo en la imagen se puede ver: una cámara, una lámina y un foco, y notar que se forma unas rectas en el espacio a través de la proyección de la luz de la cámara hacia una lámina y sobre la esfera.

1. ¿Cómo encontrar la ecuación vectorial de dicha recta?
2. ¿Qué tipos de ecuaciones posee una recta en el espacio?

OBSERVEMOS LA IMAGEN

Definición: Sea 𝐿 una recta en ℝ 3 tal que contiene un punto dado 𝑃 0 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 y que es paralela a las representaciones de un vector dado 𝑎. Entonces la recta 𝐿 es el conjunto de puntos 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 tales que 𝑃 0 𝑃 es paralelo al vector 𝑎. Esto es: 𝑃 ∈ 𝐿 ↔ 𝑃 0 𝑃 = 𝑡𝑎 ↔ 𝑃 − 𝑃 0 = 𝑡𝑎 ↔𝑃 = 𝑃 0 + 𝑡𝑎 , t ∈ ℝ Es una ecuación paramétrica vectorial de 𝐿. Entonces 𝐿 se puede escribir como: 𝑳 = 𝑷 ∈ ℝ 𝟑 /𝑷 = 𝑷𝟎 + 𝒕𝒂 , 𝐭 ∈ ℝ 𝑂 𝐿 𝑦 𝑃 𝑃 0 𝑧 𝑥 𝑃 𝑃 0 𝑎

RECTA EN EL ESPACIO: ECUACIONES

Ecuación Paramétrica: Sea 𝐿 la recta que pasa por el punto 𝑃 0 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 y es paralela al vector 𝑎 = 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3. 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐿 ↔

; 𝑡 ∈ ℝ ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE 𝑳

ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO

ECUACIÓN SIMÉTRICA DE UNA RECTA: Despejando 𝑡 se obtiene la FORMA SIMÉTRICA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA « 𝑳 » 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐿 ↔ 𝑥−𝑥 0 𝑎 1

𝑦−𝑦 0 𝑎 2

𝑧−𝑧 0 𝑎 3 ; siempre que 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ≠ 0

Ejemplo: Hallar la ecuación simétrica de la recta 𝐿 que pasa por el punto Q 1 , − 3 , 4 y es paralela a la recta 𝐿 1 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 = − 3 , 7 , 5 + 𝑡 2 , − 1 , 0 ; 𝑡 ∈ ℝ

RECTA EN EL ESPACIO

Solución: Sea la recta 𝐿 0 la recta que pasa por el punto 𝑄( 1 , − 3 , 4 ) entonces tenemos: 𝐿 0 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 , − 3 , 4 + 𝑠𝑏 Por condición del problema sabemos que: 𝐿 0 //𝐿 1 entonces los vectores dirección deben de ser iguales, es decir: 𝑏 = ( 2 , − 1 , 0 ) Entonces la ecuación vectorial de la recta 𝐿 0 queda así: 𝐿 0 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 , − 3 , 4 + 𝑠 2 , − 1 , 0 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ( 1 + 2𝑠, − 3 − 1𝑠, 4 ) Igualando: 𝑥 = 1 + 2𝑠 ; 𝑦 = − 3 − 1𝑠; 𝑧 = 4 Despejando 𝑥− 1 2 = 𝑦+ 3 − 1

Definición: Paralelismo de rectas: Dos rectas 𝐿 1 = (𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑧 0 ) + 𝑡 𝑎/𝑡 ∈ ℝ y 𝐿 2 = (𝑥 1 , 𝑦 1 , 𝑧 1 ) + 𝑟𝑏/𝑟 ∈ ℝ , se dice que son paralelas si los vectores de dirección 𝑎 y 𝑏 son paralelos. Esto es: 𝐿 1 ∥ 𝐿 2 ↔ 𝑎 ∥ 𝑏 Ejemplo : Dadas las rectas 𝐿 1 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2 , − 1 , 2 + 𝑡 2 , 1 , − 3 ; t ∈ ℝ 𝐿 2 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0 , 2 , 3 + 𝑟 − 4 , − 2 , 6 ; r ∈ ℝ y 𝐿 3 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 6 , 1 , − 4 + 𝑠 6 , 3 , − 9 ; 𝑠 ∈ ℝ. Establecer si son paralelas o coincidentes. Observación 1 : Si dos rectas 𝐿 1 𝑦 𝐿 2 en el espacio son paralelas, entonces, o son coincidentes 𝐿 1 = 𝐿 2 o no se interceptan 𝐿 1 ∩ 𝐿 2 = ∅

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

Observación 2 : Si dos rectas 𝐿 1 𝑦 𝐿 2 en el espacio no son paralelas, entonces , o son concurrentes 𝐿 1 ∩ 𝐿 2 ≠ ∅ 𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝐿 1 ∩ 𝐿 2 ≠ ∅.

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

Dadas las rectas no paralelas: 𝐿 1 = 𝑃 1 + 𝑡𝑎/𝑡 ∈ ℝ 𝑦 𝐿 2 = 𝑄 1 + 𝑠𝑏/𝑠 ∈ ℝ y trazado el vector 𝑐 = 𝑄 1 − 𝑃 1 , entonces para reconocer si estas rectas son concurrentes o se cruzan en el espacio, se sigue el siguiente criterio: a) 𝐿 1 𝑦 𝐿 2 son concurrentes ↔ 𝑎 × 𝑏. 𝑐 = 0 𝑏) 𝐿 1 𝑦 𝐿 2 se cruzan en el espacio ↔ 𝑎 × 𝑏. 𝑐 ≠ 0

Definición: Perpendicularidad de rectas: Sean 𝐿 1 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑃 0 + 𝑡𝑎; 𝑡 ∈ ℝ y 𝐿 2 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑄 0 + 𝑟𝑏; 𝑡 ∈ ℝ rectas concurrentes. 𝐿 1 ⊥ 𝐿 2 ↔ 𝑎 ⊥ 𝑏 ↔ 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0 Ejemplo : Sean 𝐿 1 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 , 0 , 2 + 𝑟 1 , − 2 , 1 ; 𝑡 ∈ ℝ y 𝐿 2 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2 , 6 , − 3 + 𝑠 3 , 1 , − 1 ; 𝑠 ∈ ℝ ¿son perpendiculares?

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

PLANOS EN EL ESPACIO

MATEMÁTICA BÁSICA PARA INGENIERÍA

Se desea construir el techo a cuatro aguas mostrado en la figura, sabiendo que la distancia de G a H es 8 m, la altura del techo es 6 m y de las paredes es de 4 m. Determinar las ecuaciones de los planos que contienen las caras de dicho techo y de la estructura que lo sostiene BGHCF.

A

B

C

E

F

G H

16 m

D

CASO II :

Determine la ecuación del plano 𝓟 que pasa por el punto 𝑃 0 4 , 3 , 8 y es paralelo a los vectores 𝑢 = 1 , 1 , 0 y 𝑣 = 0 , 1 , 1. Ejemplo Solución: Se observa que los vectores 𝑢 y 𝑣 no son paralelos entonces la ecuación del plano es: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4 , 3 , 8 + 𝑡 1 , 1 , 0 + 𝑠( 0 , 1 , 1 )

Forma Paramétrica 𝑃 ∈ 𝒫 ↔ 𝑃 − 𝑃 0 ⋅ 𝑛 = 0 (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝒫 ↔ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 Las ecuaciones de un plano son: Formas de Representar al Plano (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝒫 ↔ 𝑥 = 𝑥 0 + 𝑡𝑢 1 + 𝑠𝑣 1 𝑦 = 𝑦 0 + 𝑡𝑢 2 + 𝑠𝑣 2 𝑧 = 𝑧 0 + 𝑡𝑢 3 + 𝑠𝑣 3 ; 𝑡, 𝑠 ∈ ℝ Donde 𝑡, 𝑠 son parámetros Forma Normal: Sea 𝑛 un vector perpendicular al plano 𝒫 Forma cartesiana:

Halle la ecuación general del plano 𝒫 que contiene a los puntos 𝑃 1 , 0 , 1 , 𝑄 2 , 1 , 1 y 𝑅 − 2 , 3 , 1. Ejemplo Solución: Obteniendo los vectores directores: 𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃 = 2 , 1 , 1 − 1 , 0 , 1 → 𝑃𝑄 = ( 1 , 1 , 0 ) 𝑃𝑅 = 𝑅 − 𝑃 = − 2 , 3 , 1 − 1 , 0 , 1 → 𝑃𝑅 = (− 3 , 3 , 0 ) Como 𝑃𝑄𝑋𝑃𝑅 = 0 , 0 , 6 es diferente de cero entonces no son paralelos La ecuación vectorial del plano es 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1 , 0 , 1 + 𝑎 1 , 1 , 0 + 𝑏(− 3 , 3 , 0 ) 𝑥, 𝑦, 𝑧 0 , 0 , 6 = 1 , 0 , 1 ( 0 , 0 , 6 ) + 𝑎 1 , 1 , 0 0 , 0 , 6 + 𝑏(− 3 , 3 , 0 )( 0 , 0 , 6 ) 6𝑧 = 6 𝑧 = 1

Recta paralela y perpendicular a un Plano Recta paralela al plano 𝒫 Recta perpendicular al plano 𝒫 𝑛 𝓟 𝐿

Consideremos el plano 𝒫 con su vector normal 𝑛 y la recta 𝐿 con su vector dirección 𝑣. Diremos que: a) La recta 𝐿 es paralela al plano 𝒫, si 𝑣 ⊥ 𝑛. b) La recta 𝐿 es perpendicular al plano 𝒫 si 𝑣 ∥ 𝑛.