¡Descarga Regim transitori y más Apuntes en PDF de Electrónica solo en Docsity!
3. Evolució temporal: règim transitori
Abans d’iniciar aquest capítol cal introduir dos nous elements passius, anomentats condensador i bobina, que són bàsics en la teoria de circuits.
3.1. Condensador
És un element que emmagatzema (temporalment) càrregues elèctriques.
En la seva forma més senzilla consisteix en dues plaques metàl·liques paral·leles i separades, però molt properes. Si carreguem una d’elles amb càrregues positives (traient-li electrons) això atrau càrregues negatives (electrons) a l’altra placa, de manera que queda:
Aquestes càrregues produeixen un camp elèctric, i per tant una diferència de potencial:
càrrega +Q càrrega -Q
+Q -Q
E
+ V -
Els valors de |Q| i V són proporcionals. La constant de proporcionalitat es diu capacitat del condensador:
V
Q
C ≡
C només depèn de la geometria del condensador i del tipus de material aïllador que hi ha entre les plaques (aire, ceràmica, ...). De la definició resulta que la càrrega que emmagatzema un qualsevol dels dos elèctrodes del condensador quan se li aplica una diferència de potencial V, ve donada per
Q = C · V
(positiva a un elèctrode i negativa a l’altre, però igual en magnitud als dos). Per tant, per a la mateixa V, aquesta càrrega serà més gran si la capacitat és més gran.
Unitat de capacitat :
Faradi ( F ) Volt
Coulomb ≡
(el nom ve de Michael Faraday , Anglaterra, 1791-1867).
Cal tenir en compte que el Faradi és una unitat molt gran. Si considerem un condensador amb plaques esfèriques, separades entre elles 1 mm, haurà de tenir un radi de 3000 m (!!) per a tenir una capacitat de 1 F.
Per tant, els condensadors que es fan servir normalment tenen valors de capacitat molt més petits que 1 F. Per exemple: 10 -6^ F = μF (microFaradi) 10 -9^ F = nF (nanoFaradi) 10 -12^ F = pF (picoFaradi)
Relacions corrent – potencial :
Recordem que el valor de la intensitat del corrent es defineix com:
dt
dq i =
Si definim el condensador equivalent Ceq al conjunt de condensadors en sèrie com aquell que ens dóna la mateixa Q quan apliquem la mateixa V:
C eq
Q
V =
i per tant:
1 2
C (^) eq C C
= + o sigui:
1 2
C C
C (^) eq
B- Associació en paral·lel
En aquest cas la diferència de potencial és la mateixa. Tenim:
Q = Q 1 + Q 2
La càrrega que tindrà cada condensador serà: Q 1 = C 1 · V Q 2 = C 2 · V
C eq
+Q -Q
V
C 1
C 2
+Q 1 -Q 1
+Q 2 -Q 2
i llavors: Q = C 1 · V + C 2 · V = (C 1 + C 2 ) V
Si definim el condensador equivalent com en el cas anterior, Q = C (^) eq V, obtenim:
Ceq = C 1 + C 2
3.2. Bobina
Els corrents elèctrics i els camps magnètics (els responsables de la força dels imants) estan interrelacionats:
- Una càrrega elèctrica en moviment (i per tant també un corrent elèctric) produeix un camp magnètic.
- Una variació en el temps d’un camp magnètic indueix una diferència de potencial (és a dir, un camp elèctric) en un conductor situat en el camp. Aquest fenomen s’anomena inducció electromagnètica.
Una bobina és un element format per un fil conductor que forma un conjunt d’espires (circumferències) juntes:
- Quan passa un corrent “i” per la bobina es produeix un camp magnètic B
r
(que té intensitat màxima a l’interior de la bobina).
- Si aquest corrent varia, varia també el camp magnètic.
- Si varia el camp magnètic, s’indueix una diferència de potencial a la pròpia bobina, perquè és un conductor situat dins del camp magnètic. Aquest fenomen s’anomena autoinducció).
Relació entre la variació del corrent i la diferència de potencial induïda:
i
i
dt
di v (^) 1 = L 1 dt
di v (^) 2 = L 2
i llavors:
dt
di L L dt
di L dt
di v = L 1 + 2 = ( 1 + 2 )
Si definim la bobina equivalent L (^) eq al conjunt de bobines en sèrie com una bobina que dóna el mateix corrent quan té aplicat el mateix potencial:
dt
di v = Leq
i per tant: L (^) eq = L 1 + L (^2)
B- Associació en paral·lel
En aquest cas el potencial és el mateix per a les dues bobines. Tenim:
i = i 1 + i 2
si ho derivem respecte al temps: dt
di dt
di dt
di (^) 1 2 = +
Per a cada bobina:
L (^) eq i
v
i i 1
i 2
v
1
1 L
v dt
di
2
2 L
v dt
di
i per tant:
1 2 1 2
L L
v L
v L
v dt
di
si definim, com abans, una bobina equivalent, serà: L eq
v dt
di
i per tant:
1 2
Leq L L
= + , o sigui:
1 2
L L
Leq
3.3. Circuits amb capacitats i inductàncies
Al capítol 2 hem vist només circuits amb resistències. Ara considerarem circuits que tinguin també capacitats o inductàncies.
Des del punt de vista de l’anàlisi dels circuits, el que diferencia els condensadors i bobines de les resistències és que les seves equacions que relacionen “I” i “V” inclouen derivades:
dt
dv i (^) C = C C ; dt
di v (^) L = L L
Això és degut a que emmagatzemen energia (al camp elèctric en un condensador i al camp magnètic en una bobina), cosa que no fan les resistències.
L’efecte de les derivades és que el que està determinat en cada moment és la variació de tensió “v” o corrent “i”, i no els seus valors precisos, que dependran doncs d’aquesta variació i també del valor que tenien abans de variar.
y(t) = A + B e
-t/τ
on A i B són constants que depenen del senyal d’entrada que s’aplica i de les condicions inicials.
Per a trobar els valors de A i B, substituïm en primer lloc la solució a l’equació, tenint en compte que:
τ τ
t
B e
dt
dy t −
Obtenim:
e A Be k
B t t
− τ − τ τ
τ
o sigui: A = k.
Tenim, doncs: y(t) = k + B e
-t/τ
El valor de B l’obtenim de la condició inicial, és a dir, el valor de la solució per a t=0, y(0), que suposem conegut:
y(0) = k + B e 0 = k + B
d’on: B = y(0) - k
La solució completa és doncs:
y(t) = k + [y(0) – k] e-t/τ^ (2)
Noteu que quan t-> ∞ llavors y(t-> ∞)=k. És a dir, l’estat final (també anomenat estat estacionari) tendeix al valor de “k”.
La solució completa es pot representar com:
Nota : Si l’instant de temps inicial és t 0 (que no necessàriament ha de ser igual a zero), la solució final té una forma lleugerament diferent:
y(t) = k + [y(t 0 ) – k] e
-(t-t 0
)/τ
3.4.1. Circuit RC
És el circuit que té un condensador en sèrie amb una resistència:
y(t)
0 t
k
y(0)
y(0) < k
y(t)
0 t
k
y(0) y(0) > k
V
v R(t)
R
C
iC
iR
v C(t)
Per tant la solució d’aquesta equació serà la que ja hem vist a l’equació (2):
v C(t) = V + [v C(0) – V] e-t/(RC)
En el nostre cas tenim que v (^) C(0) = 0, perquè el condensador està inicialment descarregat. Per tant queda:
v C(t) = V [1 – e -t/(RC)]
que es pot representar com:
τ = R C és la constant de temps del circuit. Quan t = τ queda:
v (^) C(τ) = V (1 – e -1) = 0,63 V
i per tant el temps τ correspon al temps necessari perquè el condensador es carregui al 63 % del màxim.
Veiem com varia el potencial a la resistència :
v (^) R(t) = V – v (^) C(t)
Substituint v (^) C(t), queda:
v R(t) = V - [ V – V e
-t/(RC)
] = V e
-t/(RC)
v (^) C(t)
0 t
V
V (1-1/e)
τ = RC
que es pot representar com:
El corrent variarà de manera similar al potencial a la resistència, perquè:
RC R t
e
R
V
R
v t
i t
−
Veiem que, al moment de connectar la font de tensió, ha començat a passar un corrent controlat per la resistència, i al condensador no hi havia diferència de potencial. Després el condensador s’ha anat carregant (i augmentant la diferència de potencial vC entre els seus terminals). A mida que vC augmenta, disminueix en la mateixa quantitat v (^) R, perquè el total és fix i igual a “V”. Finalment, quan el condensador s’ha carregat fins a tenir el potencial a prop de “V”, quasi tot el potencial és al condensador, no hi ha pràcticament potencial a la resistència, i per tant no hi ha pràcticament corrent.
Per a temps grans, doncs: i(t Æ ∞) = 0.
v (^) R(t)
(^0) t
V
i(t)
(^0) t
V/R
3.4.2. Circuit RL
És el circuit que té una bobina en sèrie amb una resistència:
- S’aplica un potencial “V” constant a partir de t=0.
- Inicialment (t=0) no hi ha corrent (és a dir, i(0) = 0).
- Cal trobar com varien amb el temps el corrent i els potencials a la bobina i a la resistència.
Aplicant la llei de les malles, tenim:
V = v (^) R(t) + v (^) L(t)
Els potencials a la resistència i a la bobina seran:
v (^) R(t) = R i(t)
dt
di t
v L t L
i substituint-ho, obtenim:
dt
di t
V Ri t L
és a dir:
R
V
i t
dt
di t
R
L
V
v R(t)
R
L
i(t)
v L(t)
Aquesta és l’equació que ens dóna l’evolució del circuit amb el temps. Veiem que té la mateixa forma de l’equació general (1), si fem:
y(t) = i(t)
k = V/R
τ = L/R
Per tant la solució d’aquesta equació serà la que ja hem vist a l’equació (2):
t L
R
e
R
V
i
R
V
i t
−
Si a t=0 no passa corrent, tenim que i(0) = 0, i queda:
− t L
R
e
R
V
i ( t ) 1
Aquest corrent es pot representar com:
i(t)
0 t
V/R
V(1-1/e)/R
τ = L/R
En efecte, al nostre cas per a un temps infinit ens queda:
Podem veure també que al connectar la font de tensió, inicialment el corrent a la bobina i(t) no ha variat. Per tant:
El corrent en una bobina és una funció continua del temps. No pot canviar instantàniament. O dit d’una altra manera, en una bobina no hi pot haver salts de corrent.
Això és degut a que el potencial en la bobina és:
dt
di t
v L t L
si hi ha una variació de corrent di que es fa en un temps zero (dt = 0), s’obté una derivada infinita:
dt
di
i això voldria dir un potencial infinit, cosa que evidentment no és possible.
Nota: Hem vist que no hi pot haver salt de potencial a un condensador ni salts de corrent a una bobina. Les demés possibilitats no estan prohibides. És a dir, sí que hi pot haver:
- Salts de corrent i de tensió a una resistència
- Salts de corrent a una capacitat
- Salts de tensió a una inductància.
V
R
i = V/R v
L = 0
3.5. Evolució transitòria entre estats estacionaris
Suposem que a un circuit se li han estat aplicant durant molt de temps unes fonts de tensió i/o de corrent constants. Aquest circuit haurà arribat a l’estat estacionari (o permanent) que hem vist en els circuits anteriors. Llavors les tensions i corrents al circuit tindran valors constants (estacionaris). Aquests valors seran els valors finals que s’obtinguin de calcular l’evolució transitòria del circuit.
Si ara es fa una variació al circuit (com ara variar el valor d’una font, ó obrir o tancar un interruptor) s’iniciarà una nova evolució transitòria que tindrà com a valors inicials els valors estacionaris que tenia el circuit. Un cop acabada l’evolució transitòria el circuit arribarà a un nou estat estacionari.
Veurem aquí com es poden trobar directament els estats estacionaris dels circuits, i com s’han de fer servir per a calcular les evolucions transitòries entre un estat estacionari i el següent.
3.5.1. Determinació de l’estat estacionari d’un circuit
Ens interessa ara determinar quin serà l’estat final (estacionari) d’un circuit després de fer una evolució transitòria del tipus que hem vist pels circuits RC i RL.
Quan s’arriba a l’estat estacionari, els corrents “i” i les tensions “v” són constants, és a dir, no varien amb el temps. Llavors tindrem que, a una bobina :
dt
di
v L L
I 0 , V 0 I 1 , V 1
Cond. inicials I 2 , V 2
Transitori
Transitori
Estat final (estacionari)
Cond. inicials Estat final (estacionari)
