¡Descarga T4 Regim Permanent y más Apuntes en PDF de Electrónica solo en Docsity!
4. Règim permanent sinusoïdal
4.1. Introducció
4.1.1. El règim sinusoïdal
L’estudi del règim sinusoïdal d’un circuit correspon al cas en que l’entrada que s’aplica al circuit és una funció sinusoïdal amb una freqüència fixada.
En aquesta assignatura veurem només el règim sinusoïdal permanent , en el que l’entrada sinusoïdal s’ha començat a aplicar “fa molt de temps”, de manera que els efectes transitoris (que hem estudiat pel cas d’entrada constant al capítol anterior) ja han desaparegut.
Les principals aplicacions dels circuits en règim sinusoïdal són:
a) Generació, transmissió i utilització de potència elèctrica, ja que la xarxa elèctrica funciona amb potencial i corrent sinusoïdal.
b) Estudi del comportament d’un circuit per a qualsevol funció d’entrada, si es fa servir el principi de superposició. Si la funció d’entrada és periòdica, es fa servir la propietat de que qualsevol funció periòdica es pot posar com a suma de funcions sinusoïdals (sèrie de Fourier). La figura següent mostra l’exemple de la descomposició d’una ona quadrada com a suma de sinusoïdals. Es mostren els tres primers termes i la seva suma.
Llavors pel principi de superposició la sortida total serà la suma de les sortides que corresponguin a posar com a entrades les funcions sinusoïdals.
Si la funció d’entrada no és periòdica, es pot posar com a integral de funcions sinusoïdals (transformada de Fourier). Llavors pel principi de superposició la sortida total serà l’integral de les sortides que corresponguin a posar com a entrades les funcions sinusoïdals.
Exemple:
Descomposició d’una ona quadrada en suma d’ones sinusoïdals.
Es representen els tres primers termes i la seva suma; aquesta ja s’aproxima una mica a l’ona quadrada. Com més termes s’agafin, millor és l’aproximació.
0 1 2 3 4 5 6 7 1
0
1 1
-0.
fa( x) 0 f1( x) f2( x) 3 f3( x) 5
0 x 6.
ona quadrada
α : fase ; “unitats”: rad ; a la gràfica, α = ω t (^0)
Notem que sin(x) = cos(x - π/2), i per tant el sinus i el cosinus són iguals però difereixen en la fase (en un quart de període), com es veu a la gràfica.
4.1.3. Senyals elèctrics sinusoïdals
En el cas del senyals elèctrics, la funció sinusoïdal representa potencials ó corrents:
x(t) = A sin(ωt) i(t) = I 0 sin(ωt) o bé v(t) = V 0 sin(ωt)
que es poden representar com:
on:
- Amplitud A = voltatge o corrent de pic
- 2A = voltatge o corrent de pic a pic
- voltatge o corrent efectius: Xef = A / √ 2 ≈ 0,7 A
o sigui:
I I^0
ef =^
V V^0
ef =
(el voltatge nominal de la xarxa elèctrica (p.ex. 220 V) és el valor efectiu).
x(t)
t
A 2A^ Xef
4.1.4. Representació de les funcions sinusoïdals amb fasors
Hem vist al capítol anterior que en un circuit general, en el que hi pot haver capacitats ó inductàncies, al escriure les equacions del circuit ens apareixen derivades dels corrents ó els potencials. Si aquests són funcions sinusoïdals, haurem de derivar les funcions sinus i/o cosinus.
És sabut que la derivada d’un sinus és un cosinus i a la inversa, i per tant al derivar ens trobem amb una equació que té alhora sinus i cosinus.
Per exemple: si v(t) = A sin(t) i l’equació del circuit és:
2 () 3 sin( )
v t t
dt
dv t
+ = , llavors ens queda:
A cos(t) + 2 A sin(t) = 3 sin(t)
Amb aquestes equacions és complicat de treballar-hi des del punt de vista matemàtic. En aquest exemple, és complicat trobar el valor constant de A que la compleix.
Per a poder treballar amb les funcions sinusoïdals es representen com a fasors. Un fasor es un vector de magnitud constant (corresponent a la amplitud de la senyal sinusoïdal) , amb un extrem fix al origen (coordenada 0 0). La projecció en el eix "y" correspon al valor de la senyal sinusoïdal. El fasor rota sobre l' origen amb una velocitat angular w. L'angle que forma amb l'eix "x" correspon amb el desfàs de la senyal sinusoïdal per a un temps 0.
Per tant, la següent senyal
es pot expressar com el fasor
Y = A Φ
Re
Im
a
b Y A φ
La representació al pla es pot fer també en coordenades polars (r,θ) :
Es pot passar de la representació en coordenades cartesianes a polar i a la inversa, tenint en compte que tenim un triangle rectangle:
r = a^2 + b^2 (mòdul)
a
b
θ arctan (fase)
(ja que tan(θ) = b/a ).
El pas invers és:
a = r cosθ (perquè cosθ = a/r)
Re
Im
a
b z
z = a + j b
z = (a,b)
Re
Im
a
b z r θ
z Æ (r,θ)
a
b r θ
b = r sinθ (perquè sinθ = b/r)
Llavors: z = a + j b = r cosθ + j r sinθ = r (cosθ + j sinθ)
4.2. Impedància
En aquesta secció veurem la relació que hi ha entre les tensions i els corrents sinusoïdals, en circuits que continguin resistències, condensadors o bobines.
La relació entre les tensions i els corrents ve donada en general, per a cada element, per:
- Resistència: v(t) = R i(t)
- Condensador:
dt
dvt
i t C
dt
di t
v t L
Això ho apliquem ara a les tensions i corrents sinusoïdals. Per aixó hem de treballar amb els fasors tensió i corrent. En tots tres casos hi ha una relació proporcional entre el fasor tensió i el fasor corrent. Aquesta proporcionalitat ve donada per un terme que s’anomena fasor impedància Z :
Z = V / I
La impedància és, des del punt de vista de les equacions que descriuen els circuits, una generalització de la resistència a circuits que també
Les associacions d’impedàncies es calculen igual que les de resistències, tenint en compte que en general són nombres complexes. Per tant, les impedàncies en sèrie es sumen, i per a les impedàncies en paral·lel, l’invers de l’equivalent és igual a la suma dels inversos.
Exemple:
a) Trobar la impedància equivalent del següent circuit:
i calcular-la per a una freqüència angular de ω = 3 rad/s.
b) Si s’hi fa passar un corrent i(t) = 10 cos(3 t + π/4), calcular la diferència de potencial entre els extrems de la impedància, i representar el corrent i el potencial.
a) El primer que cal fer és substituir els components per les seves impedàncies:
L Æ L jω ; R Æ R ; C Æ 1 / (C jω)
Queda (sense posar les unitats):
L2 = 5/6 H
L1 = 1/3 H C =^ 1/3^ F
R = 2 Ω
El condensador està en sèrie amb la resistència. La impedància equivalent del dos elements serà:
ω ω ω
2
j
j
j
j
Z CR = + = + = −
per tant ara ens queda:
Ara aquesta impedància està en paral·lel amb la bobina L2. per tant el seu equivalent serà:
j ω / 3 3 / (j^ ω)
L2 = 5/6 H
R = 2
5 j ω / 6
j ω / 3
5 j ω / 6 2 – j 3/ω
Això són ja només dues impedàncies en serie. La impedància total és doncs:
ZTOT = j + (2 + j) = 2 + 2j (Ω)
Aquesta impedància la podem també posar en forma polar (mòdul i fase). Això ens farà falta per a resoldre l’apartat (b) de l’exemple:
rZ = 2 2 + 22 = 8 = 2 2 (Ω)
arctan
π
Z =
La impedància com a fasor serà doncs:
ZTOT = (^22) π/ 4
2 + 2j
La representació al pla complex es:
b) Ara fem passar un corrent i(t) = 10 cos(3 t + π/4) per aquesta impedància, i hem de calcular el potencial.
Notem que aquest corrent té ω = 3 i per tant podem fer servir el valor calculat de la impedància!
La diferència de potencial serà:
V (t) = Z TOT I
El producte de dos nombres complexes es fa més fàcilment en forma polar, fent servir fasors. Per això farem servir la representació del corrent, que és un sinus, per el seu fasor:
I = (^10) π/
i farem servir també el fasor de la impedància.
Tenim doncs:
Re
Im
π/
ZTOT
ZTOT
i(t)
v(t)
Per altra banda, el corrent i el potencial estan desfasats, perquè la impedància té una fase que no és zero. El desfasament és d’un angle de θ = π/4. Per a calcular a quin temps “t 0 “ equival aquest angle hem de tenir en compte que, en aquest exemple, les funcions sinusoïdals tenen una freqüència angular ω = 3 rad/s. Això vol dir que:
3 t 0 = π/4 , i per tant t 0 = π/12 = 0,26 s
que és el desfasament que s’observa a la gràfica.
4.3. Filtres passius de primer ordre
L’estudi de la resposta en freqüència dels circuits té interès especialment en el cas dels anomenats filtres : són circuits que deixen passar els senyals elèctrics sinusoïdals que tenen unes determinades freqüències i no deixen passar els senyals que en tenen d’altres.
En aquesta secció anem a estudiar els filtres passius de primer ordre. S’anomenen filtres passius els filtres que estan construïts només amb elements passius (resistències, condensadors i bobines) (a més de les fonts de tensió o corrent). Són de primer ordre els filtres que només tenen un condensador o una bobina.
4.3.1. Circuits RC i CR:
a) El filtre RC és de la forma:
on v (^) i(t) = V cos(ωt).
Per a trobar la resposta en freqüència hem de conèixer la funció de transferència H(jω). Per definició:
i
o
v
v
H ( j ω)≡
v (^) i (t) (^) ∼
R
C
v o(t)
Notem que per a freqüències baixes, el circuit dóna un guany |H(jω)| igual a la unitat, i per tant la sortida és igual a l’entrada per a freqüències baixes:
v (^) o = |H(jω)| v (^) i = 1 · vi = v (^) i
en canvi, per a freqüències altes, el guany |H(jω)| es menor que la unitat. Per tant la sortida està multiplicada per un factor menor que 1 i és menor que l’entrada. Aquest factor és, a més, més petit com més gran és la freqüència. El circuit, doncs, retalla la sortida per a freqüències altes , i la retalla més com més alta és la freqüència.
Com que el circuit deixa passar els senyals de freqüències baixes sense afectar-los, i en canvi retalla els senyals de freqüències altes, es diu filtre passa-baixos.
El canvi de comportament entre deixar passar i no deixar passar es fa aproximadament per a la “freqüència de tall”. En aquest cas és:
ωC = 1/RC (rad/s)
Aquesta freqüència s’anomena freqüència de tall , perquè és la freqüència a partir de la qual el circuit talla la sortida del senyal que li entra.
Notem que a la freqüència de tall el circuit té un guany de:
2 2 2
c
c
R C
H j
ω
ω
(ω Æ 0)
b) El filtre CR és:
Cal fer com en el cas anterior. La funció de transferència és:
i
o v
v H ( j ω)≡
En funció de les impedàncies el circuit queda:
Aquest circuit és també un divisor de tensió. Tenim que:
o V i
C j
R
R
V
ω
v (^) i (t) (^) ∼
C
R
v o(t)
v (^) i ∼
R v o
C j ω
