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Fundamentos F´ısicos y Tecnol´ogicos (G.I.I.)
Curso 2010/
Relaci´on de problemas 1
- Calcula los vectores unitarios que marcan la direcci´on y el sentido de los siguientes vec-
tores:
a) ~a = 2ˆi −
j +
k
b)
b = −7ˆi + 2ˆj −
k
c) ~c = 8ˆi − 3
k
- Determinar los ´angulos α, β y γ que el vector ~a = x
i + y
j + z
k forma con los sentidos
positivos de los ejes de coordenadas y demostras que cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ = 1.
- Dados los vectores ~a = 2ˆi −
j +
k,
b = ˆi + 3ˆj − 2
k y ~c = −2ˆi + 1ˆj − 3
k y
d = 3ˆi + 2ˆj + 5
k,
hallar los valores de los escalares r, s y t de forma que
d = r~a + s
b + t~c.
- Dados los vectores ~a = 2ˆi + 2ˆj −
k y
b = 6ˆi − 3ˆj + 2
k, calcular:
a) El ´angulo que forman los dos vectores
b) La proyecci´on del primero sobre el segundo
- Dados dos vectores ~a = 2ˆi + ˆj + 3
k y
b = −
i + 3ˆj −
k, calcular,
a) El ´angulo que forman.
b) El m´odulo del vector suma
c) Un vector unitario en la misma direcci´on de ~a.
d ) Un vector unitario en la misma direcci´on de
b.
e) Un vector unitario en la misma direcci´on de ~a ×
b.
f ) Un vector unitario en la misma direcci´on de
b × ~a.
- Dados los vectores ~a =
1
7
2ˆi + 3ˆj + 6
k
b =
1
7
3ˆi − 6ˆj + 2
k
y ~c =
1
7
6ˆi + 2ˆj − 3
k
demostrar que:
a) Son vectores unitarios.
b) Son perpendiculares entre s´ı.
c) ~c es el producto vectorial de ~a por
b.
- El vector ~a = 2ˆi −
j +
k multiplicado vectorialmente por un vector
b da como resultado
~a ×
b = −3ˆi − 3ˆj + 3
k. Por otra parte, el producto escalar es (~a ·
b = 3). Hallar el vector
b.
- Una part´ıcula se mueve a lo largo de la curva cuyas ecuaciones param´etricas son:
x = 2t
2
y = t
2 − 4 t
z = 3t − 5
siendo t el tiempo. Hallar las componentes de la velocidad y la aceleraci´on en el instante
t=1.
- Siendo ~v = ~v(x, y) una funci´on vectorial de dos variables escalares dada por ~v = (2x
2
y −
4 x
4 )ˆi + (e
xy − y sin x)ˆj + (x
2 cos y)
k se pide:
a)
∂~v
∂x
b)
∂~v
∂y
c)
∂
2 ~v
∂x
2
d )
∂
2 ~v
∂x∂y
e)
∂
2 ~v
∂y∂x
- Hallar
C
~v · d~r desde P 1
=(0,0,0) a P 2
=(1,1,1) siendo ~v = (3x
2
2
)
k
siendo C la curva cuya trayectoria viene dada por x = t, y = t
2 y z = t
3
- Calcular la circulaci´on del vector ~v = (x
2
− 2 yz)ˆi + (y + xz)ˆj + (1 − 2 xyz
2
)
k entre los
puntos (0,0,0) y (1,1,1).
a) A lo largo del segmento de vector que une (0,0,0) y (1,1,1).
b) A lo largo de los segmentos de (0,0,0) a (0,0,1), de (0,0,1) a (0,1,1) y de (0,1,1) a
c) A lo largo de la curva: x = t, y = t
2
, z = t
3
.
d ) A la vista de los resultados, ¿podr´ıa concluir si el campo definido por el vector ~a es
conservativo?
- Sea el campo vectorial ~a = x
i. Calcule el flujo de dicho campo a trav´es de los rect´angulos
de v´ertices:
a) (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0)
b) (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), (1,0,1)
- Expresa los siguientes puntos dados en coordenadas cartesianas en los sistemas de coor-
denadas que se indican en cada apartado:
a) P=(1,1,0) en cil´ındricas.
b) P=(1,1,0) en esf´ericas.
c) P=(1,1,1) en cil´ındricas.
d ) P=(1,1,1) en esf´ericas.
e) P=(-3,0,0) en esf´ericas.
f ) P=(-3,0,0) en cil´ındricas
- Exprese los siguientes puntos dados en coordenadas cil´ındricas y esf´ericas en el sistema
de coordenadas cartesianas:
a) P=(1,π,0) en cil´ındricas
b) P=(
3,π/4,π) en esf´ericas
c) P=(
2,0,1) en cil´ındricas
d ) P=(5,0,0) en esf´ericas
- Sea el campo escalar definido por U (x, y, z) =
x
2
2 .
- Calcular el campo el´ectrico y el potencial creados por una esfera diel´ectrica de radio R
cargada uniformemente con una carga Q a una distancia r de su centro:
a) si r>R
b) si r<R
- Calcular el campo el´ectrico y el potencial creados por una esfera conductora de radio R
cargada con una densidad de carga σ a una distancia r de su centro:
a) si r>R
b) si r<R
- Calcular la expresi´on de la capacidad de un condensador formado por dos placas conduc-
toras paralelas de superficie S y separadas entre s´ı una distancia d. Exprese el valor del
campo el´ectrico que se crea entre ambas placas en funci´on de la densidad de carga de
cada una de ellas.
- Calcular la capacidad de un condensador esf´erico formado por dos esferas conductoras
conc´entricas de radios R A
y R B
. Exprese el valor del campo el´ectrico que se crea entre
ambas esferas en funci´on de la densidad de carga de cada una de ellas.
- Calcular la capacidad por unidad de longitud de un condensador cil´ındrico formado
por dos l´aminas conductoras cil´ındricas conc´entricas de radios R 1
y R 2
respectivamente.
Suponer que las l´aminas son infinitas.
- Calcular la intensidad de corriente que circula por una resistencia de plomo ( ρ =
− 7
Ωm ) con forma de paralelep´ıpedo, con secci´on transversal de 510
− 4
mm
2
y longi-
tud de 3cm cuando se aplica una diferencia de potencial de V 1
- V
2
= 5 V. ¿Cu´anto vale el
campo el´ectrico en el interior de la resistencia? Indica el valor de su m´odulo, direcci´on y
sentido.
- Calcular el campo magn´etico creado por un hilo conductor infinito de radio a por el que
circula una corriente I a una distancia d de su centro.
- Calcular el campo magn´etico creado por un hilo conductor circular por el que circula una
corriente I en su centro.
- Demostrar que el m´odulo de la fuerza por unidad de longitud de atracci´on entre dos
corrientes rectil´ıneas por las que circulan unas intensidades I e I’ respectivamente y que
est´an separadas una distancia d es μ 0 II
′
/ 2 πa
- Dos conductores fijos rectil´ıneos y paralelos de gran longitud A y C distan entre s´ı 10cm.
Por el conductor A circula una corriente de 10 A y por el C una de 15 A en el mismo
sentido. Hallar la inducci´on magn´etica en los siguientes puntos:
a) En P 1
situado a 5cm de A y a 15cm de C.
b) En P 2
equidistante de los dos conductores.
c) En P 3
a 15cm de A y 5cm de C.
- Razona la trayectoria que sigue una part´ıcula cargada que se mueve en el seno de un campo
magn´etico con una velocidad perpendicular a dicho campo es una circunferencia.¿Cu´al
es el radio de dicha circunferencia? ¿Cu´al es el periodo de revoluci´on? ¿C´omo cambiar´ıa
el resultado si se cambia el signo de la carga? ¿Cu´al ser´ıa la trayectoria si la velocidad
no fuese totalmente perpendicular al campo magn´etico, sino que tuviese una componente
perpendicular y otra paralela al mismo?
- Una carga de 0.1 C se encuentra en el instante t=0 en el origen del sistema de referencia.
En dicho punto existe un campo el´ectrico
E = 300
kN/C y un campo magn´etico igual a
B = − 3
kT.
a) Calcular el vector de la fuerza experimentada por la carga si se encuentra inm´ovil
en el instante inicial.
b) Calcular el vector de la fuerza experimentada por la carga si se desplazaba a lo largo
del eje Z con una velocidad ~v = 2
k m/s en dicho instante inicial.
- Por una bobina de 1000 espiras circula una corriente constante de 5 A que produce un
flujo de 10
− 4 Wb. Calcular:
a) El valor medio de la fem inducida, si se interrumpe la corriente en 0.02 s.
b) La autoinducci´on de la bobina.
- Sobre un hilo en forma de U como el de la figura 1 hecho de un material conductor se
desplaza una barra de resistencia 5Ω tal y como muestra la figura (L=1m). Dicho montaje
se encuentra inmerso en un campo magn´etico de valor 100 gauss (10000 gauss=1T).
a) Calcular la fuerza electromotriz inducida en el circuito cuando la barra se desplaza
a una velocidad de 1m/s tal y como se muestra en la figura.
b) Calcular la intensidad de corriente que pasa por la barra m´ovil. Indica cu´al ser´ıa el
sentido de la corriente inducida.
c) ¿En qu´e cambiar´ıa el problema si el movimiento de la barra fuese en sentido con-
trario?
Figura 1:
- Una bobina de 50 espiras, de 200 cm
2
cada una, gira alrededor de un eje contenido en su
plano con una velocidad constante de 300 rpm perpendicularmente a un campo magn´etico
uniforme de 0.5 T. Hallar la fem inducida.
