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MATEM ´ATICAS
GADE-DCHO
Curso 2017/
Relaci´on de Ejercicios
No^7
- Dada la matriz A =
A (^) ; se pide:
(a) Estudia si el vectoru⃗ = ( 6 ; 2 ; 3) es o no un vector propio de la matriz A. En caso afirmativo, determina el valor propio asociado. (b) Lo mismo para el vectorv⃗ = ( 1 ; 0 ; 1): Soluci´on: u⃗ s´ı es vector propio de A, siendo = 1 el valor propio asociado. v⃗ no es vector propio.
- Determina los valores propios de las matrices A y A^4 , donde A =
A.
Soluci´on: Los valores propios de A son: 1 = 1, 2 = 3 y 3 = 2. Los valores propios de A^4 son: 1 = 1^4 = 1, 2 = ( 3)^4 = 81 y 3 = 2^4 = 16.
- Para cada una de las matrices siguientes, analiza si es o no diagonalizable y, si es posible, diagonal´ızalas:
(a) A =
; (b) A =
; (c) A =
(d) A =
; (e) A =
A (^) ; (f ) A =
A
(g) A =
A (^) ; (h) A =
A :
Soluci´on: Son diagonalizables las matrices de los apartados (b), (c), (f) y (g). La diagonalizaci´on de estas matrices es: (b) P =
; D =
; (c) P =
( p 2 p 2 1 1
; D =
( p 2 0 0 p 2
(f ) P =
A ; D =
A ;
(g) P =
A ; D =
A :
- Sea la matriz A =
. Calcula Ak, para k un n´umero impar. Soluci´on: Ak^ = A:
- Calcula A^100 y, en general, Ak, con k 2 N, para la matriz A del apartado (b) del ejercicio 3.
Soluci´on: A^100 =^13
; Ak^ =^13
( (^) 2( 2)k (^) 1 ( 2)k^2
- La matriz A =
a 1 p b 2 q c 1 r
A (^) admite como vectores propios:v⃗ 1 = ( 1 ; 1 ; 0);⃗v 2 = (1; 0 ; 2);⃗ v 3 = (0; 1 ; 1); asociados a los valores propios 1 = 3, 2 = 0; 3 = 3=2, respectivamente. (a) Halla los elementos desconocidos de A. (b) ¿Es A diagonalizable? En caso afirmativo, diagonal´ızala. Soluci´on: a) a = 2, b = 1, c = 1, p = 1, q = 1=2, r = 1=2.
b) D =
A ; P =
A :
- Se sabe que la matriz cuadrada de orden tres, A, admite como vectores propiosv⃗ 1 = ( 1 ; 1 ; 0);⃗ v 2 = (0; 1 ; 1);⃗v 3 = ( 1 ; 0 ; 1); los dos primeros asociados al valor propio 1 = 1 y el ´ultimo a 3 = 1. ¿Puedes hallar la matriz A? Calcula tambi´en A^67. Soluci´on: A =
A ; A^67 =
A :
- Discute para qu´e valores del par´ametro t la matriz A =
0 0 t
A (^) es diagonalizable.
Soluci´on: A es diagonalizable para cualquier valor real de t.
- Discute para qu´e valores del par´ametro t la matriz A =
0 4 t 1 0 3
A (^) ; es diagonalizable.
Soluci´on: Caso 1: Si t = 0, la matriz A es diagonalizable y las matrices P y D de la relaci´on A = P DP −^1 son:
P =
A ; D =
A :
Caso 2: Si t ̸= 0, la matriz A no es diagonalizable.
