¡Descarga Nociones básicas sobre vectores, valores propios y formas cuadráticas - Prof. 2527 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
BLOQUE 1: ÁLGEBRA LINEAL (continuación)
- Algunos conceptos sobre vectores.
- Planos en el espacio tridimensional.
- Valores propios de matrices.
- Formas cuadráticas. 1. Algunos conceptos sobre vectores.
Ya hemos utilizado vectores en la asignatura Matemáticas 1 (vector director de una recta, solución de un sistema de
ecuaciones, matriz fila o matriz columna) aunque sin dedicar un estudio especial a los mismos. Como sabemos, un
vector en R
n es un conjunto de n números reales ordenados v = ( x 1
, x 2
,..., x n
). En esta sección vamos a ver algunas
nociones básicas de vectores.
Operaciones con vectores
Sean v = ( x 1
, x 2
,..., x n
) y w = ( y 1
, y 2
,..., y n
) dos vectores y! un número real (en este contexto de vectores a los
números reales se les llama escalares)
La suma o resta de vectores se realiza coordenada a coordenada
v + w = ( x 1
, x 2
,..., x n
) + ( y 1
, y 2
,..., y n
) = ( x 1
, x 2
,..., x n
v! w = ( x 1
, x 2
,..., x n
)! ( y 1
, y 2
,..., y n
) = ( x 1
! y 1
, x 2
! y 2
,..., x n
! y n
Para multiplicar un vector por un escalar (número real) se multiplican todas las coordenadas del vector por
dicho número
! v = !( x 1
, x 2
,..., x n
) = (! x 1
,! x 2
,...,! x n
Cuando se multiplica un vector por un número el resultado es un vector en la misma dirección. Si el número es
mayor que 1 alargamos el vector, si el número está entre 0 y 1 lo acortamos. Además si el número es de signo
negativo también cambia de sentido.
- Combinación lineal de vectores
Dados dos vectores una combinación lineal de los mismos es cualquier vector que se puede expresar como
! v + " w !, "! R
- Producto escalar de vectores
El producto escalar de dos vectores da como resultado un número
v! w = ( x 1
, x 2
,..., x n
)! ( y 1
, y 2
,..., y n
) = x 1
y 1
y 2
y n
" R
Ejemplos:
Dados los vectores v = (^) ( 1 ,! 1 , (^2) ) y w = (^) ( 0 , 3 ,! (^2) )
3 v + 5 w = 3 1 ,! 1 , 2 ( )
( )
( )
( )
( )
v! w = 1 ," 1 , 2 ( )
( )
( )
( )
v! v = 1 ," 1 , 2 ( )
( )
2
2
2 = 6
Notemos que, en general, el producto escalar de dos vectores puede ser un valor positivo o negativo. Sin embargo,
cuando multiplicamos un vector por sí mismo el resultado será mayor o igual a cero ya que será la suma de sus
componentes al cuadrado. De hecho siempre que el vector sea distinto del vector nulo el producto por sí mismo será un
número estrictamente positivo (el único vector que cumple que v! v = 0 es el vector 0 , 0 ,..., 0 ( )
Distancia entre dos vectores
Dados dos vectores u = ( x 1
, x 2
,..., x n
) y v = ( y 1
, y 2
,..., y n
) llamamos distancia entre ellos al valor
d ( u , v ) = u! v = ( x 1
! y 1
2
! y n
2 .
Ejemplo:
v = (! 2 , 3 ) , u = 1 ,! 1 ( ) " d u , v ( )
( )
2
2 = 25 = 5
Ángulo entre dos vectores
Dados dos vectores no nulos v = ( x 1
, x 2
,..., x n
) y w = ( y 1
, y 2
,..., y n
) es posible demostrar que el producto escalar coincide
con el valor
v! w = v w cos!
siendo! el ángulo que forman los vectores v y w. Entonces
cos! =
v! w
v w
x 1
y 1
y 2
y n
x 1
2
2
n y 1
2
2
n
Estaremos particularmente interesados en ver si dos vectores son perpendiculares (ortogonales), esto es si el ángulo que
forman es de 90º (
radianes). Como cos
v! w
v w
entonces los vectores serán perpendiculares cuando
v! w = 0
Ejemplos:
Dados v = 1 ,! 1 ( ) y w =! 2 , 2 ( ) , como el producto v! w = 1 ," 1 ( )
( )
( )
( ) ! 2 = " 4 # 0 no son
perpendiculares.
cos! =
( )
( )
entonces! = " ( 180 º )
v = 1 ,! 1 ( ) y u = 1 , 1 ( ) sí son perpendiculares ya que v! w = 1 ," 1 ( )
( )
u
v
d ( u , v )
2. Planos en el espacio tridimensional.
En R
3 , dado un vector n = p 1
, p 2
, p 3 ( ) ! 0 el conjunto
!! x , y , z ( )
! R
3 : p 1
, p 2
, p ( 3 ) ! x , y , z ( ) = c! R { } = x , y , z ( )
! R
3 : p 1
x + p 2
y + p 3
z = c { }
forma un plano.
Dado un punto x 0
, y 0
, z ( 0 )
! R
3 y un vector no nulo n = p 1
, p 2
, p ( 3 ) , el único plano que pasa por x 0
, y 0
, z ( 0 ) y es
perpendicular al vector n = p 1
, p 2
, p ( 3 ) tiene la ecuación
p 1
, p 2
, p ( 3 ) ! x , y , z ( ) = p 1
, p 2
, p ( 3 ) ! x 0
, y 0
, z ( 0 )
Al vector n = p 1
, p 2
, p 3 ( ) se le llama vector perpendicular o normal al plano.
Ejemplos:
a) Ecuación del plano que pasa por 1 ,! 1 , 2 ( ) y es perpendicular al vector p =! 2 , 2 ,! 1 ( )
( ) " x , y , z ( )
( )
( ) #! 2 x + 2 y! z =! 6
b) Dado el plano 3 x! y + 5 z =! 2 , calcula un vector perpendicular al plano y un punto con las tres coordenadas
iguales que pertenezca al plano.
Un vector perpendicular será el que tiene como coordenadas los coeficientes de las variables en la ecuación del plano
p = 3 ,! 1 , 5 ( )
. El punto que se pide será de la forma a , a , a ( ) y debe cumplir la ecuación
3 a! a + 5 a =! 2 " 7 a =! 2 " a =
Posición de dos planos en el espacio tridimensional
Dos planos en el espacio tridimensional se cortan en una recta o son paralelos. En caso de ser paralelos, sus vectores
normales (perpendiculares) son proporcionales. Un caso particular de planos que se cortan son los planos
perpendiculares (forman un ángulo de 90º), en este caso sus vectores normales son perpendiculares entre si. Por lo tanto
el producto escalar de los vectores normales de dos planos perpendiculares es cero.
4. Formas cuadráticas.
Dada una matriz simétrica A se llama forma cuadrática asociada a dicha matriz a una función que a cada vector v le
asigna el número
Q v ( ) = v ' Av
Caso dos variables:
Q x , y ( ) = x y ( )
a 11
a 12
a 12
a 22
x
y
= a 11
x
2
xy + a 22
y
2
Caso tres variables:
Q x , y , z ( ) = x y z ( )
a 11
a 12
a 13
a 12
a 22
a 23
a 13
a 23
a 33
x
y
z
= a 11
x
2
xy + 2 a 13
xz + a 22
y
2
yz + a 33
z
2
Ejemplos:
a) Dada la matriz A =
define la forma cuadrática
Q x , y ( ) = x
2
2
b) Dada la matriz A =
define la forma cuadrática
Q (^) ( x , y , z ) =! 2 xy + 2 y
2
2
c) Dada la forma cuadrática Q^ ( x ,^ y ,^ z ) =^ x
2
2 ! yz + 2 z
2 la matriz simétrica que la define es
A =
Signo de una forma cuadrática
Una forma cuadrática Q v ( ) = v ' Av decimos que es
- Definida positiva si para cualquier v no nulo Q v ( ) = v ' Av > 0
- Definida negativa si para cualquier v no nulo Q v ( ) = v ' Av < 0
- Semidefinida positiva si para cualquier v, Q v ( ) = v ' Av! 0 y existe un vector no nulo para el cual
Q (^) ( v ) = v ' Av = 0
- Semidefinida negativa si para cualquier v, Q v ( ) = v ' Av! 0 y existe un vector no nulo para el cual
Q v ( ) = v ' Av = 0
- Indefinida en cualquier otro caso, esto es, existen vectores v y w tales que Q v ( ) = v ' Av > 0 y
Q w ( ) = w ' Aw < 0
Ejemplos:
a) Q x , y , z ( ) = x
2
2
2 es definida positiva ya que al ser suma de cuadrados multiplicados por números positivos
es siempre positivo y únicamente se anula cuando las tres coordenadas son ceros.
b) Q (^) ( x , y ) =! x
2 ! 2 y
2 es definida negativa ya que al ser cuadrados multiplicados por números negativos es siempre
negativo y únicamente se anula cuando todas las coordenadas son ceros.
c) Q x , y , z ( ) = x
2 ! 2 y
2
2 es indefinida ya que por ejemplo Q 1 , 0 , 0 ( ) = 1 > 0 mientras que Q 0 , 1 , 0 ( )
d) Q x , y , z ( ) = x
2
2 es semidefinida positiva ya que siempre da un valor positivo pero por ejemplo Q 0 , 1 , 0 ( )
Cuando en la expresión de la forma cuadrática aparecen únicamente los términos de las variables que están al cuadrado
es fácil calcular su signo. Los siguientes resultados nos dan maneras sencillas de calcular el signo de las formas
cuadráticas.
Método de los menores principales izquierda
Dada una matriz A =
a 11
a 12
a 13
... a 1 n
a 21
a 22
a 23
... a 2 n
a 31
a 32
a 33
... a 3 n
a n 1
a n 2
a n 3
... a nn
los menores principales izquierda son
D
1
= a 11
, D
2
a 11
a 12
a 21
a 22
, D
3
a 11
a 12
a 13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
, …, D
n
= A
Dada una matriz simétrica A , si D i
! 0 para todos los i = 1 , 2 ,..., n! 1 entonces
Q v ( ) = v ' Av = D 1
x 1
2
D
2
D
1
x 2
2
D
3
D
2
x 3
2
D
n
D
n! 1
x n
2
Por lo tanto si
0 será definida positiva
• D
1
< 0 , D
2
> 0 , D
3
< 0 ,.... y los signos siguen alternando será definida negativa ya que todos los coeficientes
serán negativos
- se anula el determinante y los patrones anteriores se cumplen, será semidefinida positiva si los demás menores
son positivos y semidefinida negativa si los signos alternan empezando por negativo
Ejemplos:
a) La matriz A =
tiene como valores propios 3, - 2 y 0, por lo tanto tiene asociada una forma cuadrática
indefinida.
b) Una matriz simétrica que tiene como valores propios - 2, - 1,0 y - 3 tiene asociada una forma cuadrática
semidefinida negativa.
Formas cuadráticas restringidas
En muchas ocasiones queremos estudiar el signo de una forma cuadrática no en cualquier vector sino en un conjunto de
vectores que cumplen alguna condición particular. En estos casos se restringe la forma cuadrática al tipo particular de
vectores que nos interesan y ello nos lleva a que algunas variable desaparecen y se reduce el orden de la matriz que
define la nueva forma cuadrática restringida.
Si la forma cuadrática de partida tenia un sigo determinado, la restringida tendrá el mismo signo. Si la forma era
semidefinida o indefinida puede que en algunos conjuntos tenga un signo concreto.
Ejemplos:
Estudiar la forma cuadrática definida por A =
en los vectores que tienen las dos últimas coordenadas
iguales pero de signo opuesto.
Q (^) ( x , y , z ) = x
2
2 ! 12 yz! z
2 es en general una forma cuadrática indefinida pero si la analizamos en vectores
de la forma x , y ,! y ( )
Q x , y ,! y ( ) = x
2
2 ! 12 y! y ( ) !! y ( )
2
= x
2
2
Notemos que ahora sólo hay dos variables y la matriz de esta nueva forma cuadrática será (^) B =
que es
definida positiva ya que D 1
= 1 > 0 y D 2
= det (^) ( B ) = 13 > 0_._
