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de probabilidad LADE
MODELOS DE DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
Una de las preocupaciones de los cient´ıficos dedicados al C´alculo de Probabilidades ha sido construir modelos de distribuciones de probabilidad que pudieran representar el com- portamiento te´orico de diferentes fen´omenos aleatorios que aparec´ıan en el mundo real. En este apartado estudiaremos los modelos de distribuciones de probabilidad que subya- cen m´as frecuentemente en los fen´omenos aleatorios que nos podemos encontrar.
MODELOS DISCRETOS.
Distribuci´on Binomial
Un experimento de Bernoulli es aquel que s´olo tiene dos posibles resultados: o ´exito (suceso A), con probabilidad p, o fracaso (suceso A¯), con probabilidad q = 1 − p. Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribuci´on binomial con par´ametros n y p , y lo denotaremos por X ∼ B(n, p), si cuenta el n´umero de ´exitos obtenidos al repetir n veces (de forma independiente) un experimento de Bernoulli.
Su funci´on de masa de probabilidad es
P (X = k) =
n k
· pk^ · qn−k^ k = 0, 1 ,... , n
Siendo
(n k
= (^) k!(nn−!k)!.
La expresi´on de su funci´on de distribuci´on es:
F (x) =
∑^ x
k=
n k
· pk^ · qn−k
La funci´on generatriz de momentos es:
gX (t) =
∑^ n
x=
n x
(pet)xqn−x^ = (pet^ + q)n
De la funci´on generatriz de momentos, se deducen las expresiones para la esperanza y la varianza de una binomial:
- E[X] = n · p
- V ar(X) = n · p · (1 − p)
Dpto. Estad´ıstica y Mat. Aplicada 1
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Ejemplo 1 Un examen consta de 15 preguntas que presentan cuatro posibles respuestas cada una. Una persona, sin conocimientos de la materia, responde al azar.
- ¿Cu´al es la probabilidad de que acierte con la respuesta v´alida al contestar una pregun- ta?.
- Hallar la probabilidad de que no conteste correctamente ninguna pregunta. Calcular la probabilidad de que acierte alguna pregunta.
- Obtener la probabilidad de que responda bien a todas las preguntas.
- ¿Cu´al es la probabilidad de que el n´umero de preguntas contestadas correctamente sea distinto de tres?.
Distribuci´on Hipergeom´etrica
Supongamos una poblaci´on finita de tama˜no N , en la que M individuos tienen una determinada caracter´ıstica de inter´es. Si se escoge una muestra aleatoria de tama˜no n sin reemplazamiento, entonces , el n´umero de individuos seleccionados con la caracter´ıstica de inter´es, sigue una distribuci´on Hipergeom´etrica y se representa por X ∼ H(N, M, n).
La funci´on de masa de probabilidad es :
P (X = k) =
M
k
N − M
n − k
N
n
La esperanza y la varianza de la distribuci´on son:
M
N
M
N
M
N
N − n N − 1
A medida que en un modelo discreto aumenta el n´umero de par´ametros, resulta m´as dif´ıcil resumir en unas tablas la funci´on de masa de probabilidad. Este problema puede resolverse aproximando el modelo hipergeom´etrico a uno binomial: si el tama˜no de la poblaci´on es suficientemente grande (N > 50) y se muestrea menos del 10 % de la poblaci´on ( (^) Nn < 0 ,1), entonces podemos calcular de modo aproximado P (X = k)
utilizando P (X∗^ = k) donde X∗^ ∼ B
n,
M
N
Dpto. Estad´ıstica y Mat. Aplicada 2
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La esperanza y la varianza de una Poisson son:
E[X] = V ar(X) = λ
Si X ∼ B(n; p), y la probabilidad de ocurrencia es peque˜na, p ≤ 0 ,1, n·p ≤ 5, podemos aproximar la probabilidad P (X = k) utilizando P (X∗^ = k), siendo X∗^ ∼ P (n · p).
Ejemplo 4 La experiencia muestra que las llamadas recibidas en un parque de bomberos durante una guardia de 24 horas siguen un modelo de Poisson con media 1.2.
- ¿Cu´al es la probabilidad de que durante una guardia sean atendidos exactamente 4 casos?, ¿y m´as de esa cifra?
- Si debido a circunstancias excepcionales una guardia se prolongase durante 36 horas, ¿cu´al ser´ıa el n´umero esperado de casos atendidos?
Dpto. Estad´ıstica y Mat. Aplicada 4
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MODELOS CONTINUOS
Distribuci´on Uniforme
Existen magnitudes aleatorias en las que ninguna evidencia favorece a unos resultados u otros.
Una v.a. continua sigue la distribuci´on uniforme en el intervalo [a, b], y la denotaremos por X ∼ U (a, b), si su funci´on de densidad es:
f (x) =
b − a
si a ≤ x ≤ b 0 en otro caso
La funci´on de distribuci´on es:
F (x) =
0 si x < a x − a b − a
si a ≤ x ≤ b 1 si x > b
La esperanza y la varianza son:
• E[X] =
a + b 2
(b − a)^2 12 La funci´on generatriz de momentos es:
gX (t) =
ebt^ − eat t(b − a)
si t 6 = 0 1 si t = 0
Dpto. Estad´ıstica y Mat. Aplicada 5
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Relaci´on con la distribuci´on de Poisson: Sea X una variable aleatoria que mide el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos de Poisson. Si α es el n´umero medio de ocurrencias por unidad de tiempo, entonces X ∼ exp(α).
Distribuci´on Gamma
Se utiliza en el estudio de la duraci´on de elementos f´ısicos (tiempos de vida) y para describir el comportamiento de la renta.
Una v.a. sigue una distribuci´on Gamma con par´ametros p y a, denot´andose por X ∼ G(p; a), si su funci´on de densidad viene dada por :
f (x) =
ap Γ(p)
xp−^1 e−ax^ si x > 0
0 en otro caso
donde:
Γ(p) =
0 x
p− (^1) e−xdx
Los par´ametros p y a son siempre positivos y recogen caracter´ısticas de forma y escala respectivamente.
Si p = 1 tenemos el modelo exponencial de par´ametro a.
Las expresiones de la esperanza y varianza son:
p a
p a^2
Dpto. Estad´ıstica y Mat. Aplicada 7
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Distribuci´on Normal
Es la distribuci´on continua m´as importante que se conoce. Fue introducida por Gauss en el siglo XIX y desde entonces se utiliza como modelo para multitud de variables (como el peso, la altura o la calificaci´on obtenida en un examen) cuya distribuci´on es sim´etrica respecto a un valor central alrededor del cual toma valores con gran probabilidad y en la que apenas aparecen valores extremos.
Una v.a. X sigue una distribuci´on Normal, de media μ y desviaci´on t´ıpica σ, X ∼ N (μ; σ), si su funci´on de densidad es
f (x) =
σ
2 π
· e−^
1 2 (^ x−μ σ )^2 − ∞ < x < +∞
La funci´on generatriz de momentos de una distribuci´on normal viene dada por la expresi´on:
gX (t) = e
μt +
σ^2 t^2 t ∈ IR
Si X ∼ N (μ, σ) y definimos Y = aX + b, entonces Y ∼ N (aμ + b; |a|σ).
De aqu´ı deducimos que si X ∼ N (μ, σ) y definimos Z =
X − μ σ
, entonces Z ∼ N (0; 1), denominada Distribuci´on Normal estandar.
Regla del 68-95-99: Todas las curvas normales satisfacen la siguiente propiedad:
- El 68.26 % de las observaciones se encuentran entre μ − σ y μ + σ
- El 95.44 % de las observaciones se encuentran entre μ − 2 σ y μ + 2σ
- El 99,74 % de las observaciones se encuentran entre μ − 3 σ y μ + 3σ
Dpto. Estad´ıstica y Mat. Aplicada 8
