Apuntes de Álgebra Lineal - Método de Aprendizaje Activo - Término II 2019-2020 | Apuntes de Álgebra Lineal

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

FACULTAD DE CIENCIA NATURALES Y MATEMÁTICAS

ÁLGEBRA LINEAL ● MATG1003

METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE ACTIVO

TRABAJO AUTÓNOMO 6

TÉRMINO II 2019 – 2020

Cura y edición: Isaac Mancero Mosquera, 2019.

ESTUDIANTE: PARALELO:

FECHA:

0.- Carolina estudia el tráfico de vehículos en una zona central

de Guayaquil. Los números del mapa indican la cantidad de

autos por hora que entran o salen en el área mostrada, según

las direcciones indicadas por las flechas. Suponiendo que no

es posible parquear en la zona (es decir, todos los autos que

entran tienen que salir):

a) Encuentre expresiones para el tráfico por hora en los

tramos indicados por . ¿Cuántas soluciones

hay?

b) ¿Cuál el mínimo tráfico que puede soportar cada tramo

, bajo la premisa que las calles no pueden invertir el

sentido?

c) Hay que hacer reparaciones en la calle Clemente Ballén, en el tramo entre Av. Quito y Av.

Machala, y se tiene que interrumpir el tráfico. Ayude a Carolina a determinar cómo cambian

los resultados.

OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS

Las operaciones entre subespacios como conjuntos son la unión, intersección. Pero hay otras

operaciones definidas solo para subespacios, tales como la suma y la suma directa.

OBJETIVOS.- Se espera que un estudiante aprenda a:

• Describir el resultado de una operación entre subespacios (intersección, suma, etc.)

• Determinar si el resultado es un subespacio y, en tal caso, encontrar su base y su dimensión

Si alguna de estas tareas se le dificulta, por favor recurra al profesor, técnico o ayudante más

cercano.

1.- Sea V=M3X2. Sea W1 el conjunto de las matrices que tienen la primera y la última fila iguales;

sea W2 el conjunto de las matrices que tienen la primera columna igual a la segunda columna; y sea

W3 el conjunto de matrices A3X2 tales que ai2 = i – 1 , i=1, 2, 3. Determine:

a) Los conjuntos que son subespacios propios de V

b) La intersección entre los subespacios encontrados en el literal anterior

c) La suma entre los subespacios del primer literal

d) Bases para el espacio intersección y para el espacio suma, obtenidos en los literales b) y c).

2.- Sea el espacio vectorial real V=P3. Sean los subespacios de V:

a) Proporcione un ejemplo que muestre que HUW no es un subespacio de V.

b) ¿Es el polinomio p(x)=3+x–2x2+5x3 un elemento de ? Justifique su respuesta.

c) Halle la dimensión de H+W.

d) ¿Es H+W una suma directa? Justifique su respuesta.

x1, x2, x3, x4

H=a+bx +cx2+dx3∈P

3/ a−b+c=0∧a+2b−d=0

{ }

W=gen4+x+x2+3x3, −1−x2+2x3

{ }

H∩W

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIA NATURALES Y MATEMÁTICAS ÁLGEBRA LINEAL ● MATG METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE ACTIVO TRABAJO AUTÓNOMO 6 TÉRMINO II 2019 – 2020 Cura y edición : Isaac Mancero Mosquera, 201 9. (^1)

ESTUDIANTE: PARALELO:

FECHA:

0 .- Carolina estudia el tráfico de vehículos en una zona central

de Guayaquil. Los números del mapa indican la cantidad de autos por hora que entran o salen en el área mostrada, según las direcciones indicadas por las flechas. Suponiendo que no es posible parquear en la zona (es decir, todos los autos que entran tienen que salir): a) Encuentre expresiones para el tráfico por hora en los tramos indicados por. ¿Cuántas soluciones hay? b) ¿Cuál el mínimo tráfico que puede soportar cada tramo , bajo la premisa que las calles no pueden invertir el sentido? c) Hay que hacer reparaciones en la calle Clemente Ballén, en el tramo entre Av. Quito y Av. Machala, y se tiene que interrumpir el tráfico. Ayude a Carolina a determinar cómo cambian los resultados. OPERACIONES ENTRE SUBESPACIOS Las operaciones entre subespacios como conjuntos son la unión , intersección. Pero hay otras operaciones definidas solo para subespacios, tales como la suma y la suma directa. OBJETIVOS.- Se espera que un estudiante aprenda a:

Describir el resultado de una operación entre subespacios (intersección, suma, etc.)
Determinar si el resultado es un subespacio y, en tal caso, encontrar su base y su dimensión Si alguna de estas tareas se le dificulta, por favor recurra al profesor, técnico o ayudante más cercano. 1 .- Sea V=M3X2. Sea W 1 el conjunto de las matrices que tienen la primera y la última fila iguales; sea W 2 el conjunto de las matrices que tienen la primera columna igual a la segunda columna; y sea

W 3 el conjunto de matrices A3X2 tales que ai2 = i – 1 , i=1, 2, 3. Determine:

a) Los conjuntos que son subespacios propios de V b) La intersección entre los subespacios encontrados en el literal anterior c) La suma entre los subespacios del primer literal d) Bases para el espacio intersección y para el espacio suma, obtenidos en los literales b) y c). 2 .- Sea el espacio vectorial real V=P 3. Sean los subespacios de V: y a) Proporcione un ejemplo que muestre que HUW no es un subespacio de V. b) ¿Es el polinomio p(x)=3+x–2x^2 +5x^3 un elemento de? Justifique su respuesta. c) Halle la dimensión de H+W. d) ¿Es H+W una suma directa? Justifique su respuesta. x 1 , x 2 , x 3 , x 4 xi

H = { a + bx + cx^2 + dx^3 ∈ P 3 / a − b + c = 0 ∧ a + 2 b − d = 0 } W = gen { 4 + x + x^2 + 3 x^3 , − 1 − x^2 + 2 x^3 }

H ∩ W

Cura y edición : Isaac Mancero Mosquera, 201 9. (^2) 3 .- Sea. Dados los subconjuntos: a) ¿Cuáles son subespacios de V? (Justifique su respuesta) b) Halle una base y la dimensión de dos de los subespacios obtenidos en a), así como su intersección. c) Sean y. Determine si A+B pertenece a la unión de los subespacios hallados en a) TEMAS SUMATIVOS 4 .- Sea V=MnXn , sea H el subconjunto de matrices simétricas nxn, y W el subconjunto de matrices antisimétricas nxn. a) Muestre que cualquier matriz nxn puede escribirse como la suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. b) Si , hallar una matriz simétrica y una antisimétrica que sumadas sean igual a A. 5 .- Sean W 1 ={f / f es par} y W 2 = {f /f(x)+f(–x)=0} dos subespacios de. a) Muestre que (o, toda función f puede escribirse como la suma de una función par y una impar) b) Sea f(x)=eX, halle una función par y una impar que sumadas sean igual a f(x) 6 .- Califique como Verdadero o Falso las siguientes afirmaciones. En caso de ser verdadera, demuéstrela; caso contrario, dé un contraejemplo: a) Si H es un subespacio de V, entonces HC^ también es un subespacio de V. b) Si V = H+W, entonces dim(V)=dim(H)+dim(W) c) Si H y W son dos subespacios distintos de V, entonces =Ø d) Si ={ n } entonces V= 7 .- Sea V=R^4. Sea H={(x,y,z,w)/ x–2y–3z+w=0} y W=gen{(-3,0,1,0) , (0,1,1,1)} : e) Si v = (0,-1,-1,1), hallar, de ser posible, un vector v 1 en H, y un vector v 2 en W, tal que v = v 1 + v 2 f) Determine si V = H+W g) Determine dim(H), dim(W), dim(H+W) y dim( ) ] V = M 2 x 2 H 1 = a^ b c d ⎛ ⎝^ ⎜ ⎞ ⎠^ ⎟^ ∈ M 2 x 2 / 2 a + 1 = 3 + b + d − 2 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ H 2 = gen^1 0 − 1 ⎛ ⎝^ ⎜ ⎞ ⎠^ ⎟^ , 1 1 0 0 ⎛ ⎝^ ⎜ ⎞ ⎠^ ⎟ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ H 3 = a^ +^ b^ a^ +^ c a + d 1 ⎛ ⎝^ ⎜ ⎞ ⎠^ ⎟^ ∈ M 2 x 2 / a , b , c , d ∈ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ H 4 = a^ b c d ⎛ ⎝^ ⎜ ⎞ ⎠^ ⎟^ ∈ M 2 x 2 / det( A ) ≠ 0 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ 2 1 2 1 æ ö = (^) ç ÷ è ø A 3 1 0 2 æ ö = (^) ç ÷ è - ø B A = 1 3 − 2 − 4 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ H ∩ W H ∩ W H ∩ W

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FECHA:

0 .- Carolina estudia el tráfico de vehículos en una zona central

W 3 el conjunto de matrices A3X2 tales que ai2 = i – 1 , i=1, 2, 3. Determine:

H = { a + bx + cx^2 + dx^3 ∈ P 3 / a − b + c = 0 ∧ a + 2 b − d = 0 } W = gen { 4 + x + x^2 + 3 x^3 , − 1 − x^2 + 2 x^3 }

H ∩ W