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Un capítulo de un libro de texto de matemáticas que aborda la representación gráfica de funciones. Incluye ejemplos detallados de cómo analizar el dominio, cortes con los ejes, simetría, signo, monotonía, asíntotas, curvatura y puntos de inflexión de diferentes tipos de funciones. El objetivo es proporcionar a los estudiantes las herramientas necesarias para comprender y representar gráficamente funciones matemáticas. El documento cubre una amplia variedad de funciones, como polinómicas, racionales, exponenciales y trigonométricas, lo que lo convierte en un recurso valioso para estudiantes de matemáticas de nivel universitario o de bachillerato.
Tipo: Resúmenes
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Matemáticas II. Capítulo 9: Representación de funciones Autora: Leticia González Pascual Revisores: Álvaro Valdés, Javier Rodrigo y Luis Carlo Vidal
Dominio y conjunto imagen o recorrido Puntos de corte con los ejes Simetrías Periodicidad Asíntotas y ramas parabólicas 1.2. INFORMACION EXTRAÍDA DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA Monotonía. Crecimiento y decrecimiento Puntos críticos. Máximos y mínimos Curvatura. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión 1.3. ESTUDIO DE REGIONES
El concepto de función es la piedra angular de las Matemáticas. Sirve para modelar experiencias tanto de Física, como de Biología, como del resto de las Ciencias. Sin embargo su génesis ha sido lenta.
En el famoso trabajo sobre la difusión del calor d e Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) comenzado en 1807 y publicado en 1822, indicaba que las funciones que podían representarse como una suma infinita de funciones trigonométricas es amplia.
Por entonces las tres grandes L ( Lagrange, Laplace y Legendre ) criticaron la memoria de Fourier por sus lagunas y vaguedad de razonamiento, y quizás esta sea la causa para que comenzara en Matemáticas la época del rigor. El trabajo de Fourier desempeñó un papel catalizador en la nueva fundamentación, pues suscitó cuestiones como las condiciones exactas de representabilidad de funciones mediante series trigonométricas. El primer resultado riguroso en esta línea fue obtenido por Dirichlet , en 1829, un año antes de la muerte de Fourier.
Matemáticas II. Capítulo 9: Representación de funciones Autora: Leticia González Pascual Revisores: Álvaro Valdés, Javier Rodrigo y Luis Carlo Vidal
Logaritmos: el argumento debe ser rigurosamente mayor que cero. Con el fin de determinar el dominio de una función real de variable real (las funciones con las que trabajamos normalmente), estudiamos el dominio de las funciones más usuales: Funciones polinómicas: El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales. f ( x ) = P ( x ) Dom f = R Ejemplo Para f ( x ) = 3 x^3 – 2 x^2 + 5, Dom f = R.
Funciones racionales (fraccionarias): Son de la forma ( )
( ) ( ) Q x
f x P x
Su dominio es el conjunto de los reales excepto los ceros o raíces del denominador.
Dom { ( ) 0 } { ( ) 0 } ( )
( ) ( ) f x Q x x Q x Q x
f x P x R; R R;
Ejemplos
x
x x sen
cotg cos , y sen x = 0 cuando x = k , con k .
Si 4
x
f x x , es fácil ver que para x = –2 y +2 el denominador se anula, por tanto:
Dom f (, 2 )( 2 , 2 )( 2 ,)R{ 2 , 2 }
Funciones irracionales: Son de la forma f ( x ) n^ g ( x ). Como ya se dijo, hay dos casos posibles:
Si n es impar el dominio de la función coincidirá con el dominio del radicando: Dom f = Dom g. Si n es par el dominio de la función estará formado por todos los valores de x que hagan que el
Ejemplos
Si se trata de la función (^3 ) 4
x
x f x , en este caso el dominio de la función coincide con
el dominio del radicando, y éste está visto en el ejemplo anterior: Dom f (, 2 )( 2 , 2 )( 2 ,)R{ 2 , 2 }
dominio de estas funciones coincide con el dominio de la función que aparece en el exponente: Dom f = Dom g. Ejemplo
Sea 3
2 ( ) 2
x
x f x. El dominio de f ( x ) coincidirá con el dominio del exponente que, como se trata de una función racional, será todos los números reales excepto los que anulan el denominador. Por tanto: Dom f (, 3 )( 3 ,)R{ 3 } Funciones logarítmicas: Son de la forma (^) f ( x ) log a [ g ( x )], siendo a positivo y distinto de 1. Como
Ejemplo Si f ( x ) log( x 1 ), el dominio de la función serán todos los valores de x que hagan que el argumento sea positivo: x + 1 > 0 x > –1, por tanto:
Matemáticas II. Capítulo 9: Representación de funciones Autora: Leticia González Pascual Revisores: Álvaro Valdés, Javier Rodrigo y Luis Carlo Vidal
El conjunto imagen o recorrido de una función es el conjunto de valores de R que toma la variable dependiente:
La forma más habitual y sencilla de determinar el recorrido de una función es a partir de su representación gráfica, si bien puede hallarse conociendo la forma general de la función. El recorrido está formado por el conjunto de valores del eje de ordenadas o eje OY que son alcanzados por la función.
Ejemplos
Ya representamos antes la función (^) f ( x ) xx. De la gráfica deducimos:
Si (^) f ( x ) x^2 2 x 3 , sabemos que es una parábola con forma de “U”, que el vértice es un mínimo y se encuentra en: 1 2 1
x a
x b y f ( 1 )( 1 )^2 2 ( 1 ) 3 4
Por tanto: Dom f (,) R e Im f [ 4 ,)
Se denominan puntos de corte o puntos de intersección con los ejes coordenados a los puntos en los cuales la gráfica de la función corta al eje de abscisas y/o al eje de ordenadas.
Cortes con el eje OX : Para determinar los puntos de corte con el eje de abscisas se iguala a cero la función y se resuelve la ecuación resultante: Dada y = f ( x ) Si y = 0 f ( x ) = 0
Corte con el eje OY : Para determinar el punto de corte con el eje de ordenadas (será uno como máximo) se sustituye la x por cero y se halla el valor de y :
Matemáticas II. Capítulo 9: Representación de funciones Autora: Leticia González Pascual Revisores: Álvaro Valdés, Javier Rodrigo y Luis Carlo Vidal
f ( x ) f ( x ) x Dom f
Las funciones con este tipo de simetría se llaman funciones impares. Una función con este tipo de simetría define una inversión respecto del origen de coordenadas , pero desde un punto de vista práctico, dado que estamos trabajando con funciones en el plano, podemos buscar un giro de centro en el origen y amplitud 180.
Ejemplo La función (^) f ( x ) x^3 es una función simétrica respecto al origen, como se puede observar viendo su gráfica.
Girando 180 con un eje que pasa por el origen
Algebraicamente se cumple que: f ( x )( x )^3 x^3 f ( x )
Hay funciones que no son pares ni impares y que no presentan ningún tipo de simetría. Otras funciones, algunas de ellas ya estudiadas, aunque no son ni pares ni impares son simétricas respecto a otras rectas.
Ejemplo La función (^) f ( x ) x^2 6 x 5 , o en general todas las funciones cuadráticas, son simétricas respecto a la recta vertical que pasa por su vértice, como se puede ver observando su gráfica:
Matemáticas II. Capítulo 9: Representación de funciones Autora: Leticia González Pascual Revisores: Álvaro Valdés, Javier Rodrigo y Luis Carlo Vidal
Una función f ( x ) se dice que es periódica de período T , si para todo x perteneciente a su dominio se cumple que f ( x ) = f ( x + T ) = f ( x + 2 T ) = … = f ( x + k∙T ), con k un número entero. Para poder representar las funciones periódicas basta con estudiarlas en el intervalo [ 0 , T ].
Las funciones periódicas más fáciles de determinar a partir de su expresión cartesiana son las que están formadas únicamente por funciones trigonométricas con argumentos lineales, pero hay muchas más.
Ejemplos Las funciones f ( x ) = sen x y f ( x ) = cos x son periódicas de período T = 2 , por lo que sus gráficas se estudiarían en el intervalo [ 0 , 2 ].
sen( 4 3 ) 4
sen cos 1 ( )
x
x x f x es periódica de período
T = , como puede verse en su gráfica, en la que vemos cómo la región sombreada se repite indefinidamente.
Sin embargo, f^ (^ x )^ sen( x^2 ^1 ) no es periódica al tener un argumento de grado dos, y vemos cómo las oscilaciones están cada vez más próximas.
La función mantisa, que devuelve la parte decimal de un número y se define restando a cada número su parte entera: M ( x ) x E ( x )es periódica con T = 1:
Otras funciones pueden ser periódicas por el contexto al que hace referencia. Por ejemplo, el ciclo de explosión o combustión de un motor, la modelización de un circuito de calefacción, la cuenta corriente de una persona a lo largo de un mes,…:
Matemáticas II. Capítulo 9: Representación de funciones Autora: Leticia González Pascual Revisores: Álvaro Valdés, Javier Rodrigo y Luis Carlo Vidal
Una función puede no tener asíntotas verticales (por ejemplo, las funciones polinómicas) o tener cualquier número de ellas. Las ramas de la curva que se aproximan a una asíntota vertical se llaman ramas infinitas verticales.
La gráfica de una función no suele cortar a una asíntota vertical, salvo en el caso de funciones definidas
a trozos como:
0 si 0
(^1) si 0 ( ) x
x f x x.
Asíntotas horizontales: Una recta de ecuación y = y 0 es asíntota horizontal de la función cuando existe, al menos, uno de los siguientes límites:
x lím ^ f ( x )^ y^0 x lím^ f ( x )^ y^0 Para determinar, por tanto, la existencia y la ecuación de una asíntota horizontal basta con hallar los límites cuando x tiende a más o menos infinito. Los valores de dichos límites serán las ecuaciones de la asíntota.
Una función puede tener como máximo dos asíntotas horizontales.
Las ramas de la curva que se aproximan a una asíntota horizontal se llaman ramas infinitas horizontales.
Asíntotas oblicuas: Una asíntota oblicua es una recta de la forma y = mꞏx + n , con m 0 , a la cual tiende a aproximarse la función en el infinito.
Para determinar la ecuación de la asíntota oblicua tenemos que hallar su pendiente, m , y su ordenada en el origen, n. Estos valores se obtienen calculando los siguientes límites:
x
m f x x lím (^ ) (^) . Para que exista la asíntota, este límite debe ser un número real distinto de cero.
Si m R*, n lím ( f ( x ) mx ) x
Una función puede tener una asíntota oblicua en un sentido si no tiene asíntota horizontal en ese sentido. Además, en el caso de tener asíntota oblicua, tendrá como máximo dos.
lím x
f x m (^) x 0
lím x
f x m (^) x
Matemáticas II. Capítulo 9: Representación de funciones Autora: Leticia González Pascual Revisores: Álvaro Valdés, Javier Rodrigo y Luis Carlo Vidal
La rama de la función que se acerca a una asíntota oblicua se llama rama hiperbólica.
Ramas parabólicas: Dada una función f ( x ), diremos que una de sus ramas infinitas es una rama parabólica si no se acerca a ninguna recta y se cumple alguna de estas igualdades.
x lím^ f ( x^ )^ x lím^ f ( x^ )^
x lím^ f ( x^ )^ x lím^ f ( x^ )^
Una función tiene ramas parabólicas si no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.
Ejemplo
Calcula las asíntotas de la función 2
x
f x x.
Asíntotas verticales:
Como
2
lím^22 2 x
x x
, la función tiene una asíntota vertical, x = 2.
Asíntotas horizontales:
Como
lím^22 x
x x^ y^
lím^22 x
x x^ , la función no tiene asíntotas horizontales.
Asíntotas oblicuas: Como no hay asíntotas horizontales, analizamos que pueda haber asíntotas oblicuas.
(^2) lím
lím
lím (^2)
2
2
x x
x x
x
x
x
f x m (^) x x x
El valor de m es un real no nulo, así que hallamos el valor de n :
x x
n f x x x x x 2
lím( ( ) 1 ) lím^22
lím^22 2
lím^2222
x
x x
x x x x x
Por tanto, y = x + 2 es una asíntota oblicua.
La representación gráfica confirma los resultados obtenidos
Matemáticas II. Capítulo 9: Representación de funciones Autora: Leticia González Pascual Revisores: Álvaro Valdés, Javier Rodrigo y Luis Carlo Vidal
Ejemplo Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( x ) 2 x^3 9 x^2 12 x 5.
Seguimos los pasos que acabamos de enumerar:
f ( x ) 0 6 x^2 18 x 12 0 x
Estos puntos determinarán los intervalos de crecimiento, que son: (^ ,^1 ), (^1 ,^2 ) y^ (^2 ,).
(1, 2) Consideramos el punto x = 1.5 f’(x) = 1.5 < 0 f ( x ) es decreciente. (2, +) Consideramos el punto x 3 f (^3 ) 12 0 f ( x ) es creciente.
Intervalo (,^1 ) (1, 2) (^) (2, +) f (^ x ) > 0 < 0 > 0
f ( x ) que, como no puede ser de otro modo, coincide con lo que encontramos al representar la función con GeoGebra:
En el capítulo anterior hemos visto las aplicaciones de la derivada, entre las que se explica qué ocurre cuando la derivada es nula:
Una función y = f ( x ) derivable en x = a tiene un máximo o mínimo relativo en el punto x = a cuando f (^ a ) 0.
La función tiene un máximo relativo en el punto x = a si f ( a ) > f ( x ) para valores de x en un entorno reducido de a , y tiene un mínimo relativo en el punto x = a si f ( a ) < f ( x ) para valores de x en un entorno reducido de a.
La recta tangente a la función en los máximos o mínimos relativos es horizontal, su pendiente vale 0 , ya que la derivada de la función en dichos puntos es igual a cero.
Matemáticas II. Capítulo 9: Representación de funciones Autora: Leticia González Pascual Revisores: Álvaro Valdés, Javier Rodrigo y Luis Carlo Vidal
Ejemplo Determina los máximos y mínimos relativos de la función f ( x ) 2 x^3 9 x^2 12 x 5.
Ya calculamos la derivada en el ejemplo anterior: f ( x ) 6 x^2 18 x 12 , y hallamos los valores de x que la anulan:
f ( x ) 0 6 x^2 18 x 12 0 x
Por tanto, x = 1 y x = 2 son los puntos críticos de la función. Aunque ya tenemos la gráfica de f ( x ) en la página anterior, vamos a analizar qué ocurre en un entorno de ambos puntos: x 0.9^ 0.95^1 1.05^ 1.1^ x 1.9^ 1.95^2 2.05^ 2. f ( x ) 9.968^ 9.99225^10 9.99275^ 9.972^ f ( x ) 9.028^ 9.00725^9 9.00775^ 9.
Por tanto, (1, 10) es un máximo relativo y (2, 9) es un mínimo relativo.
A la derecha tenemos la representación de la gráfica de la función, y es fácil observar que el mínimo relativo no es el punto más bajo de la gráfica, es mínimo sólo en relación con los puntos muy próximos a él. De la misma forma, el máximo relativo no es el punto más alto de la gráfica sólo en relación con los puntos muy próximos a él.
Hemos visto en el ejemplo que la condición de anular la derivada no hace que dichos puntos sean los valores más altos o bajos que toma la función en todo su dominio, ni siquiera asegura que cambie la monotonía de la función. Es por eso que se les da el nombre de máximos y mínimos relativos.
Pero la derivada puede anularse en un punto y la función puede no tener en él máximo ni mínimo relativo. Es decir, ni siquiera que la derivada se anule en un punto garantiza que cambie la monotonía de la función. Así sucede con la función (^) f ( x ) x^3 , cuya derivada es
f (^ x ) 3 x^2.
f (^ x ) 0 x R*, de modo que la función es siempre creciente. f ( x ) se anula en el punto x = 0, pero en la gráfica (a la derecha)
vemos que no tiene máximo relativo ni mínimo relativo en ese punto.
Los puntos del dominio en los cuales la derivada es cero o bien no está definida, se llaman puntos críticos.
Por tanto, los posibles máximos y mínimos relativos se encuentran necesariamente en el conjunto de puntos críticos.
Para caracterizar un punto crítico disponemos de dos criterios:
Matemáticas II. Capítulo 9: Representación de funciones Autora: Leticia González Pascual Revisores: Álvaro Valdés, Javier Rodrigo y Luis Carlo Vidal
Una función y = f ( x ) es convexa (o cóncava hacia arriba) en un intervalo ( a , b )si en todos los puntos del intervalo la curva está por encima de las tangentes en dichos puntos.
Una función y = f ( x ) es cóncava (o cóncava hacia abajo) en un intervalo ( a , b )si en todos los puntos del intervalo la curva está por debajo de las tangentes en dichos puntos.
Estas definiciones pueden cambiar según los autores y los textos.
Convexa o cóncava hacia arriba (^) Cóncava hacia abajo
La diferencia entre cóncavo y convexo radica en nuestro punto de vista de la curvatura. Para unos autores nuestra función cóncava se denomina cóncava hacia abajo, y la convexa, cóncava hacia arriba.
El proceso de trazar tangentes y comprobar su posición respecto a la función es demasiado laborioso para determinar la curvatura de f ( x ).
Por ello, para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función y = f ( x ), supuesta la existencia de la derivada segunda, seguiremos estos pasos:
f ^ ( x ) 12 x 18 0 x
Definimos dos intervalos, ( , 23 )y ( 23 , ). Como con la derivada primera, para analizar el signo de la derivada segunda tomamos un valor en cada intervalo: ( , 23 ) Consideramos el punto (^) x 0 f ( 0 ) 18 0 f ( x ) es cóncava.
( 23 , ) Consideramos el punto x 2 f ^ ( 2 ) 6 0 f ( x ) es convexa. Como antes, podemos recopilar la información en una tabla:
Intervalo (^ ,^23 ) (^23 ,) f ( x ) < 0 > 0
f ( x )
Matemáticas II. Capítulo 9: Representación de funciones Autora: Leticia González Pascual Revisores: Álvaro Valdés, Javier Rodrigo y Luis Carlo Vidal
Se llaman puntos de inflexión de una curva a aquellos en los que se produce un cambio de concavidad. La curva pasa de ser cóncava a ser convexa o viceversa, y la tangente en dichos puntos atraviesa a la curva.
Cuando una función es convexa en un intervalo, su derivada segunda es positiva, y cuando es cóncava, su derivada segunda es negativa, por tanto, en un punto de inflexión el valor de la derivada segunda debe ser igual a 0. Las raíces de la derivada segunda pueden ser las abscisas de los puntos de inflexión.
Si observamos la gráfica adjunta, vemos que en el punto de abscisa a la recta tangente estaría por encima de la curva, por lo que la función es cóncava. En el punto de abscisa c la recta tangente estaría por debajo de la curva, por lo que la función es convexa. Sin embargo, en el punto b la recta tangente atraviesa a la curva, por lo que b será un punto de inflexión.
La condición de anulación de la derivada segunda es necesaria pero no suficiente. Para confirmar la existencia de un punto de inflexión en x = a podemos seguir dos caminos:
1. Comprobamos que hay cambio de signo de f^ ^ ( x ) cuando x toma valores a la izquierda y a la derecha de a. 2. Calculamos la tercera derivada, f ^ ( x ), y comprobamos que f ^ ( a ) 0. Si f ^ ( a ) 0 estaremos ante un caso dudoso y se deben estudiar las derivadas de orden superior.
Ejemplo Si retomamos el caso de la función f ( x ) x^3 , cuyas derivadas sucesivas son: f ( x ) 3 x^2 f ^ ( x ) 6 x y f ^ ( x ) 6
f ( x ) 0 x R*, así que la función es siempre creciente.
f ^ ( x ) se anula en el punto x = 0, y f ^ ( x ) 0 , luego (0, 0) es un punto de inflexión. Su tangente es la recta y = 0_._ Además: f ^ ( x ) 0 si x > 0, f ( x ) es convexa en R+.
f ^ ( x ) 0 si x < 0, f ( x ) es cóncava en R–.
Matemáticas II. Capítulo 9: Representación de funciones Autora: Leticia González Pascual Revisores: Álvaro Valdés, Javier Rodrigo y Luis Carlo Vidal
Para determinar el signo de la función en cada intervalo, se toma cualquier valor del mismo y se sustituye en la función.
Intervalo (^ ,^ ^2 ) (2, +1) (+1, +2)^ (+2, +)
f ( x ) Negativa Positiva Negativa Positiva
Este punto, combinado con todos los estudiados anteriormente, nos será de una gran utilidad a la hora de representar gráficamente una función. En nuestro caso, la función tendrá la siguiente representación gráfica:
Matemáticas II. Capítulo 9: Representación de funciones Autora: Leticia González Pascual Revisores: Álvaro Valdés, Javier Rodrigo y Luis Carlo Vidal
Llegados a este punto, es conveniente tener un conocimiento previo de las características y aspecto de ciertos tipos de funciones.
Son de la forma: y = a x n^ + b x n^ – 1^ + c x n^ – 2^ + … + k
Su dominio es R.
Son continuas y derivables en todo R.
Si todos sus términos son de grado par, son simétricas respecto al eje Y , y si todos sus términos son de grado impar son simétricas respecto al origen de coordenadas.
No son periódicas.
No tienen asíntotas de ningún tipo. Por tanto, tienen ramas parabólicas.
Representa la gráfica de la función f ( x ) x^3 3 x 2.
o Eje X :
x
x x x
o Eje Y : x 0 f ( 0 ) 2 ( 0 , 2 )
f ( x ) Negativa Positiva Positiva
e igualamos a cero:
x
x x
Consideramos los intervalos: , 1 , 1 , 1 y 1 , . Intervalo (, 1) (1, +1) (+1, +) f ( x 0 ) f ( 2 ) 9 0 f ( 0 ) 3 0 f ( 2 ) 9 0
f ( x )
Creciente (^) Decreciente Creciente
