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Introducción
*11.4 Ejercicios (pág. 9)
- (a) !b^3 (b) b^3
- (e) !ab^4 +bc bk+l
3. (b) Sn < k + 1 < s;
(d) !b^3 + b (e)^ lab^3 +^ be
abk+l
(e) -- + be
k + 1
12.5 Ejercicios (pág. 19)
1. A = {1, -1}, B = {1}, e = {l}, D = {2}, E = {l , -17},
F = {l, -17, -8 + y47, -8 - Y47}.
2. A s::: A, B s::: A, B s::: B, B s::: e, B s::: E, B s::: F, e s::: A, e s::: B, e s::: e, e s::: E, e
s::: F, D s::: D, E s::: E, E s::: F, F s::: F. (No tener en cuenta las inclusiones «propias », )
- (a) cierta (b) cierta (e) falsa (d) cierta (e) falsa (f) falsa
- (a) cierta (b) cierta (e) cierta (d) cierta (e) falsa (f) falsa
- 0,{1}, {2}, {3}, {4}, {l, 2}, {l, 3}, {l, 4}, {2, 3}, {2, 4},{3, 4}, {l, 2, 3}, {l, 2, 4}, {l, 3, 4},
{2, 3, 4}, S
- (a) falsa (g) cierta
17. (e) A e e
(b) (h) (d) si
falsa falsa
(e) falsa (i) cierta (e) Nc
(d) 'cierta (e) falsa (f) falsa
1 4.4 Ejercicios (pág. 44 )
2. 1 - 4 + 9 - 16 + ... + (_l)nHn 2 =' (_l)nH(l + 2 + 3 + ... + n)
2 4 2 n^2 n
n
n + 1
2n
- (b) A(l) falsa
(2n + 1)
(e) 1 + 2 + ... + n < 8
7. nI = 3
14.7 Ejercicios^ (pág.^ 49)
- (^) (a) 10 (b) 15 (e) 170 (d) 288 (e) 36 (f) Q. 6
8. (b)^ n + 1
9. constante^ =^2
- (^) (a) cierta (b) (^) falsa (e) (^) falsa (d) (^) falsa (e) (^) falsa (f) (^) falsa
n
n + 1
1 4.9 Ejercicios (pág. 53)
- (al' b2), (a 2 , bs), (aa, b7), (a4, blO), (as, ba), (a6, bs), (a7 , b 9 ), (as, b4), (a 9 , b6), (alO' b1)
- (a) falsa (b) cierta (e) cierta (d) falsa (e) falsa
*1 4.10 Ejercicios varios sobre la inducción (pág. 54)
- (a) 10 (I?) 1 (e) 7 (d) 21 (e) 680 (f) I
- (b) 17 (e) 9 (d) No o n+l n
- TI a¿ = 1; TI ak = an+I. TI ak k~l k~l k~l 8. 2 n
9. cierta si cada ak ¿ O
11. n ¿
Capítulo 1
1.5 Ejercicios (pág. 69)
1. f(2) =3,f(-2) = -1, -f(2) = -3,f(t) =1-, l/f(2) =t,f(a +b) =a +b + 1,
fea) + f(b) = a + b + 2,f(a)f(b) = ab + a + b + I
2. .f(2) + g(2) = 2,f(2) - g(2) = 4,f(2)g(2) = -3,f(2)fg(2) = -3,.f[g(2)] = O,
g[.f(2)] = -2,.f(a) + g( -a) = 2 + 2a,f(t)g( -t) = (1 + t}
3. <p(0) = 4, <p(l) = 2, <p(2) = 2, <p(3) = 2, <pe -1) = 6, <pe -2) = 8, t = 1.
4. a) Todo x b) Todo x y todo y e) Todo x y todo h d) Todo y
e) Todo t f) Todo a
5. (a) Ixl ~ 2 (b) IJI ~ I (e) Itl ¿ ~ (d) O ~ a ~ 4 (e) Isl ~ 4
(f) Ixl ~ 2, x r" O
- (b) {xlO ~x ~ I} (e) {x12 ~x ~4} d) El dominio es vacío
- Se cortan cuando x = O, 1, -
8. Se cortan cuando x = -1, -
10. (a) p(x) = I (b) p(x) = ix(x - 1) + 1 (e) p(x) = ax(x - 1) + 1, a arbitraric
(d) p(x) = ax(x - 1) + b, a y b arbitrarios
- -l(5v/S^ -^ 3)
- .:L 4^ 14.^5
- (^) "3^7
12. 1- 3 15. e = i
9V3 - 1
27 16.^ a^ =^ -
17. (a)^ 9Tr/2 (b)^ Tr/2^ (e)^ -6Tr
2.8 Ejercicios (pág. 129) Observación: En los ejercicios del 1 al 13, n es un entero cualquiera.
1. (b) iTr + nn
2. (a) iTr + 2nTr (b) 2nTr
tan x + tan y
6. tan (x + y) = -----
1 - tan x tan y
7. A = t B = h/
(e) h + 2nTr (d) (2n + I)Tr
eot x eot y - 1
eot (x + y) = ------
eot x + eot y
A = C eos IX, B = C sen IX e = (A2 + B2)1/2. si A2^ + B2 ~ O, elíjase IX de modo que IX = A/C, sen IX = Bl C. si A = B = O, elíjase cualquier: IX.
10. C = 2V2, IX = 5Tr/
11. C = V2, IX = -Tr/
12. !rr + nn
13. lrr + 2nrr; tr + 2nrr
- (a) 1 -lV3 (b) l -~V/ (h) l(V3 - V2)
18. lrr^2 + 2 21. 2V2 - 2
19. l + rr^3 /24 22. lrr
20. O 23. V3 + Tr/
24. V3 + lx + sen x + rr/6 si O ~ x ~ 2rr/3; 2V3 - lx - sen x + 5rr/6 si 2Tr/3 ~ x ~ tt
25. (x^6 - x^3 )/3 + eos x - eos (x^2 )
27. l
(e) ~ (d)^1 (e)^2 (f)^ O^ (g) O
2.11 Ejercicios (pág. 136)
5. 4rr^3 /3 9. 8Tr 13. 2
6. tt 10. Tr/8 14. 3rr/
7. 2rr 11.^ Tr/2 15. 9rr/
- 4rr^ 12. 2
2.13 Ejercicios (pág. 140)
1. rrc 2 b 3 /3 3. 2rr/3 5. rr 2 /2 7. rr 2
2. Tr/2 4. 33rr/5 6. rr^2 /4 8. rr/
Soluciones a los ejercicios
11. 27TV
12. t
13. e3^2 - 4V3)7Tr^3
14. a = t
9. 37T/1O
10. 7T/
h
17. (; (B 1 + 4M + B2)
- (a) 87T/5 (b) 27T (e) 107T/3 (d) 167T/
2.15 Ejercicios (pág. 144)
- 60 lb-pié
- 125 joules; 0,8 metros
- (a) 441 joules (b) 425joules
4. a = 3, b = -
- 3750 lb-pié
- 50001b·pié
- 20 000 lb-pié
- 21 800 lb-pié
6. 2/7T
7. 2/7T
8. 1/7T
9. i
ro. i
(e) w(x) = x
2.17 Ejercicios (pág. 147)
l. (a^2 + ab + b^2 )/
3. t
5. 2/7T
l1.c = a/V3; e = altn + I)l/n
- (a) w(x) = x (b) w(x) = x^2
- Las tres
- (a) L/2 (b) L^3 /3 (e) L/V
17. (a) 7L/12 (b) 5I}/8 (e) V15 L/
- (a) 2L/3 (b) L4/4 (e) V2 L/
- (a) llL/18 (b) 31L4/192 (e)\ V62L/
20. (a) 3L/4 (b) L^5 /5 (e) VI5 L/
- (a) 21LI32 (b) 19L^5 /240 (e) V190L/
22. p(x) = x^2 para O ~ x ~ L da x = 3LI
- (a) 6/7T (b) 3V2/ 24. T = 27Tseg; 80V
2.19 Ejercicios (pág. 153)
1. x + x^2 /2 + x^3 /
2. 2y + 2y 2 + 8y3/
3. .~ + 2x + 2x^2 + 8x^3 /
4. -2x + 2x^2 - x^3
5. (3x^5 + 5x^3 + 136)/
6. x^1 o/5 + 2x^6 /3 - x^5 /5 - 2x^3 /3 + x^2 - x
7. x + iX^3 /^2 - %
8. Hx^3 - X^3 /^2 ) + !(X^5 /^2 _ X^5 /^4 )
- senx
10. tx^2 + sen (x^2 )
15. 16V3/
16. 4a^5 /
22. 1 si 1 ::;;Ixl ::;;Y3; O en los demas valores de x.
23. x^2 si x ~ O; O si x < O
3.15 Ejercicios (pág. 183)
- g(y) = y - 1; todo y
2. g(y) = Hy - 5); todo y
- g(y) = 1 - y; todo _y
- g(y)_ = y1/^3 ; todo _y __
5. g(y) = y si y < 1; yy si 1 ::;; Y ::;; 16; (y/8)2 si y > 16
3.20 Ejercicios (pág. 190)
- 0,099 669 con error menor que una millonésima.
Capítulo 4
Ejercicios (pág. 204)
reO) = 1, rm = 0,f'(1) = -l,r( -10) =
(a) 1, -2 (b) O, -1 (e) 3,-
2x + 3
4x^3 + eos x
4x^3 sen x + x^4 eos x
-1/(x + 1)
-2x/(x^2 + .1)2 + 5x^4 eos x - x^5 sen x
-1/(x - 1)
sen x/(2 + eos X)
2x^5 + 9x^4 + 8x^3 + 3x^2 + 2x - 3
(x^4 + x^2 + 1)
1 - 2(senx + eos x)
(2 - eos x)
senx + x eos x 2x^2 senx
1 + x^2 (1 + X^2 )
13. (b) vo/32 seg (e) -vo píé/seg (d)
(f) fU) = vot - IOt^2 es un ejemplo
14. 3x^2 , donde x es la longitud de una arista 16. !X-^1 /^2 -
17. 2Y~(1 + y~)
16 pié/seg'; 160 pié/seg ,; 16T pié/seg
1 - x
22. _
2y x(1 + X)
2 +y~
23. _
2(1 +YX)
26. sec. x(1 + 2 tan- x)
18. fX^1 /^2
19. -i-x-5/
20. tx-^1 /^2 + iX-^2 /^2 + lx-^3 /^4
21. -tx-^3 /2^ - tx-4/3^ _ +r5/
27. x sec'' x + tan x
28. -(x-^2 + 4x-^3 + 9r^4 )
2(1 + x^2 )
29. (1 _ X2)
2(1 - 2x)
30. (1 _ x + X2)
x^ eos^ x^ -^ sen^ x x^2
1 + eos x
(x + sen X)
ad - be
(ex + d)
(2x^2 + 3)sen x + 4x eos x
(2x^2 + 3)
(2ax + b)(senx + eos x) + (ax^2 + bx + e)(sen x - eos x)
35. 1 + sen 2x
36. a = d = 1; b = e = °
37. a=e=e=O; b=f=2; d=-
nxn+l^ - (n + l)xn^ + 1
- (a) _(x __ 1)
n2x";3 - (2n^2 + 2n - 1)x"+2 + (n + 1)2X"-tl - x^2 - X
(b) _(x __ 1)
4.9 Ejercicios (pág. 211)
- 1, 3
- (a) -1,+ (b) -i, ° (e) -2,t
3. (2n + 1)7T, donde n es un entero cualquiera
4. a = -2, b = 4
5. a = 1, b = 0, e = -
6. (a) Xl + x 2 + a (b) ~(XI + X2)
- Tangente en(3, -3); corta la curva en (O, O)
8. m = -2, b = -2, a = t, e = i
9. a = 2e, b = _e^2 3 1 10. a = 2e ' b = - 2e 3 11. a = eos e, b = sen e - e eos e
1
Y~(l + y~)2'
13. a = -4, b = 5,
1 + 3Y~ 3 1 + 4Y~ + 5x
2(x + y~)3' 4 y~(x + y:i)
e = -1, d = -
14. (a) 4 (b) 2 (e) t
- (a) cierta (b) cierta (e) Falsa si l'(a) "'" O. El límite es 2('(a) (d) Falsa si l'(a) "'" O. El límite es t['(a)
18. x g'(x) g"(x)
o
1 2
o
o
- (a) 2x('(x^2 ) (b) [f'lsen^2 x) - f'(eos^2 x)] sen 2x
- (a) 75 em^3 /seg (b) 300 em^3 /seg
- 400 Km/h
- (a) 20V5piés/seg (b) 50V2 piés/seg
- 7,2 rni/h
- (a) y (b) 5/(47T) piés/min
25. e = 1 + 367T
26. dV/dh = 757T piés'/piés; drjdt v« 1/(l57T)píés/seg
(e) f'[f(x)]f'(x) (d) f'(x)f' [f(x)]f'{f[f(x)]]
(e) 3x^2 em^3 /seg
- n = 33
29. (a) x = l, y = t (b) lV
4.15 Ejercicios (pág. 227)
3. (b) e = l, e = V
6. (a) e = l, e-l
x + ~h
(b) o = 3 ; o -~ si x > o
x + V x^2 + xh + th^2
7. (b) ftiene a 10 sumo k + r ceros en [a, b]
4.19 Ejercicios (pág. 233)
1. a) ~ b) decrece si x <~; crece si x>! e) f' crece para todo x.
2. a) ±!V3 b) f crece si [xl> h/3; decrece si Ixl< iV
c) f' crece si x > O; decrece si x < O.
3. a) ±1 b) f crece si Ixl > 1; decrece si Ixl < 1 e) r crece si x > O; decrece si x < O
4. a) 1,3 b) f crece si x < 1 o si x > 3; decrece si 1 < x < 3 e) t' crece
si x > 2; decrece si x < 2
- (a) 1 (b) f crece si x > 1; decrece si x < 1 (e) r crece para todo x
6. a) ninguno b) f crece si x < O; decrece si x > O
e) f' crece si x < O, o si x > O
7. a)^2 1/^3 b)^ f crece si x < O, o si^ x^ >^ 21/3;^ decrece si O < x < 21 /^3
e) (^) r crece si x < O, o si (^) x>O
8. a) 2 b)^ f crece si x < 1, o si^1 <^ x^ <^ 2;^ decrece si 2 < x < 3, o si
x> 3
e) r crece si x < 1, o si x > 3; decrece si 1 < x < 3
- a) ±1 b) f crece si ¡xl < 1; decrece si Ixl > 1 e) r crece si -V3 < x < O,
o si x > V3; decrece si x < -V3, o si O < x < V
10. a) O b) f crece si x < -3 o si -3 < x < O; decrece si O < x < 3,
o si x > 3 e) r crece si ¡xl> 3; decrece si Ixl < 3
Observación: En los ejercicios 11, 12 Y 13, n representa un entero cualquiera.
11. (a) in1T (b) f crece si n1T < x < (n + i)1T; decrece si (n - t)1T < x < n1T
(e) r crece si (n - t)1T < x < (n + t)1T; decrece si (n + t)1T < x < (n + !)1T
12. (a) 2n1T (b) f crece para todo x
(e) r crece si 2n1T < x < (2n + 1)1T; decrece si (2n - 1)1T < x < 2n1T
13. (a) (2n + i)1T (b) f crece para todo x
(e) r crece si (2n + i)1T < x < (2n + ~-)1T; decrece si (2n - i)1T < x < (2n + ~)1T
- (a) O (b) f crece si x > O; dec;ece si x < O (e) r crece para todo x
4.21 Ejercicios (pág. 237)
2. tLm anche, iLml1argo
3. ancho iV2A, largo V2A
7. V2L -
10. r = h = R!V
12. r = iR, h = _iH
- r_ = 2R!3, h = H!
14. h = tR, r = iV2 R
- Un rectángulo cuya base es doble de la altura
- Trapecio isósceles, base inferior el diámetro, base superior igual al radio
17. (a) 6i,6i.~
(b) 8 + 2V7, 2 + 2V7, 5 - -y/
18. V
- (a) 35 Km/h; 519 ptas. (b) 20YSKm/h; 669 ptas. (e) 20V?Km/h; 792 ptas. (d) ';5 Km/h; 902 ptas.
20. 1T/
- pliegue =11'43. V3 cm; ángulo = arctan tV
22. (a) max = 3V3 r; min = 4r
(b) tL
19. r(1) = 2; J'" (1) = 5
20. (a) (1 + X^2 )-3 (b) 2x(l + x^4 )-
2X^13 3x^20
21. 1 + x8 - I + X
- (a) 16 (b) I +~V2 (e) (36)1/3 (d) A
23. fea) = a(3 - eos a)l/t
- (a) -7T (b) I - 7T (e) O (d) -7T2^ (e) 37T/
25. (a) 7T- k (b) k (e)·~ + (7T- D(t - 1) (d) ~(t - 1) + (1T - DCt - 1)2/
26. (a) ninguna (b) un ejemplo es f(x) = x + x^2 (e) ninguna
(d) Un ejemplo es f(x) = 1 + x + x^2 para'x ¿ O,f(x) = l/O - x) para x ~ O
- (a) implica IX y ó; (b) implica IX; (e) implica IX y í y; (d) implica IX y ,5; (e) implica IX, ,5, Y E.
5.8 Ejercicios (pág. 264)
1. 1(2x + 1)3/2 + C
2. (15)(1 + 3X)5/2 - <fi)(1 + 3X)3/2 + e
3.~(x + 1)7/2 - t(x + 1)5/2 + ~(x + 1)3/2 + e
4. -ji
1 12. 2(eos 2 - eos 3)
- (^) - +C
4(x^2 + 2x + 2)2 eos xn
6. 1 cos" x - eos x + e
13. ---+C
n
7. ~(z - 1)7/3 + i(z - 1)4/3 + e 14. -}VI -x 6 + e
8. -i ese" x + C 15. W + t)9/4 - f(1 + t)5/4 + e
9. g - V3 16. x(x 2 + 1)-1/2 + e
1 17. }o(8x^3 +^ 27)5/3 +^ e
3 + eos x
+c 18. ~(senx - eos X)2/3 + e
2 19.^ 2VI^ +^ VI+"?^ +^ e
11. ---= + e 20. -t(x - 1)2/5 + e
veosx
5.10 Ejercicios (pág. 269)
1. sen x - x eos x + C
2. 2x sen x + 2 eos x - x^2 eos x + C
3. x^3 senx + 3x^2 eosx:- 6xsenx - 6cosx + e
4. -x^3 eosx + 3x^2 senx + 6xeosx - 6senx + C
5. isen^2 x + e
6. t sen 2x - tx eos 2x + e
15. (b) (51T/32)a^6
17. !(3V31 + V3 - 11.35)
18. tan x -x; itan^3 x -tanx +x
19. -cotx -x; -1eot^3 x +cotx +x
20. (a) n = 4 (b) 2
*5.11 Ejercicios de repaso (pág. 272)
1. gUd(O) = O si O S k S n - 1; g<n)(o) = n!
2. 6x^5 - 15x^4 + lOx^3 + 1
7. !ll
9. Y = 16x^2 /
- (b) ['(O) = O
11. -~ cos 5x + 235 sen5x - tx cos 5x
12. 1(1 + X^2 )3/
13. -3^10 /
15. lo(1 + X^5 )
- cos! - cos 1 18. [12(x - 1)1/2 - 24] sen (x - 1)1/4 - 4[(x - 1)3/4 - 6(x - 1)1/4] cos (x - 1)1/
19. lsen^2 x^2
20. -i(1 + 3cos'' X)3/
22. a = 9, b = J.¡
23. 1' H, tU, Uf
24. lax13 + tx12 + l\xll
27.~(~ + _1 __ A)
2 2 7T + 2
34. (a) p(x) = -x^2 + x - 1
35. (a) P 1 (x) = x - t; P 2 (x) = x^2 - x + t; P 3 (x) = x^3 - tx^2 + tx;
Pix) = x^4 - 2x^3 + x^2 - ••l·o; P 5 (x) = x^5 - jx^4 + iX3^ - tx
Capítulo 6
(j.9 (^) Ejercicios (pág. 289)
1. (a) 1 (b) (a + b)/(l + ab)
e - 1 (e2^ .:...^ 1)
- (a) O (b)
e + 1
(e) (^4) (d) 4e^2
3. crece si O < x < e, decrece si x > e; convexa si x > e^3 /^2 , cóncava si O < x < e3/
(2x)/(1 + x^2 ) 10.
n(x + VI + x^2 )n
VI + x^2
5. x/O + x^2 ) 11. 1/[2(1 + V x + 1)]
- x/(x^2 - 4)
7. 1/(x log x) 12.^ log^ (x^ +^ V x^2 +^ 1)
8. (2/x) + 1/(x log x) 13.^ 1/(a - bx^2 )
- x/(x^4 -1) (^) 14. 2 sen (log x)
29. 2x-l+1og^ x lag x
(lag X)X-l
30. x1+log x [x - 2(lag X)2 + x lag x lag (lag x)]
31. (senx)l+C08X [eat^2 x -lag (senx)] - (cos x)1+'''x [tan" x - lag (ca s x)]
32. x-^2 +l/X(1 - lag x)
54x - 36x^2 + 4x^3 + 2x^4
33. 3(1 _ x)2(3 _ X)2/3(3 + X)5/
6.19 Ejercicios (pág. 308)
5 (^33) " senh x = 15 2' eosh x = }~ -ª-Z. 12 ti 25
6.22 Ejercicios (pág. 314)
1
12. --- si Ixl < 2
V4 - x^2
13. • /vi + 2x - x 2 si Ix - 11 < V
14 ---- si Ixl > I
. Ixl Vx^2 - 1
cos x
leas xl
si x ~ (k + V1T, k entero
V~
si
2(1 + x)
x~O
1 + x^4
1 + x^6
2x
Ixl (1 + x^2 )
si (^) x ~ O
x
29. arcsen ~ + e
x + I
30. arcsen V2 + e
sen 2x
19. serr' x + eas 4 x si x ~ (k + i)1T
I
2(1 + x^2 )
cos x + senx
21. ----- si k1T < x < (k + t)1T
Vsen2x
x
22. ---- si O < Ixl < I
[xl VI -x^2
23. 1/(1 + x^2 ) si x ~ 1
4x
24. ------ si Ixl < 1
Vi - x^4 (areeas X^2 )
I
25. --------- si x > 1
2x V x - 1 arceas (1/V/~)
27. 3x + (1 + 2x^2 ) arcsen x
(1 - X^2 )2 (1 - X^2 )5/
1 x
31. - aretan - + e
a a
32. )ab arctanj J~x) + e si ab > o;
----^ a^ log IV~_ +xvTbTI + e si ab < o
2 laJV -ab vial - x vlb!
2 2x-
33. V7 aretan V7 + e
34. H(I + x^2 ) aretan x - x] + e
x^3 2 + x^2 .--
35. - areeos x - -- v' 1 - x^2 + e
36.~(I + x^2 )(aretan X)2 - x aretan x + ~lag (1 + x^2 ) + e
37. (1 + x) aretan /:; - /:; + e 42. 1 (- aretan x - --x )
38. (aretan /:;)2 + e 2 1 + x^2
39. Harcsen x + x/ 1 - x^2 ) + e 43. aretan eX + e
(x - 1 )e'If('t:lll x
40. ---====-- + e
2/1 + x^2
(x + 1 )e'"'('(:lll x
41. • /__ + C
2v 1 + x^2
+c
areeot e"
44. ~ log (1 + e-2x) - x + C
e
x /---
45. a arcsen - - \ a^2 - x^2 + C
a
2(b - ti) Jx - a
46. I b-a 1 arcsen -- b-a + e
- 1 lb - al (b - a)arcsen J: =; + lV(x - a)(b - x) [2x - (a + b)] + e
6.25 Ejercicios (pág. 326)
1. lag Ix - 21 + lag [x + 51 + e
I
(>; + 2)4 I
2. ~ lag (x; 1 )(x + W + e
- 3(x 1_ 1) + ~lag I : : ~ I + C
4.~X2 _ x + lag I x
3 ;x _+
) I + e
3 3
- lag Ix + 11 - (2x + 1)2 + 2x + 1 + e
6. 21ag Ix - 11 + lag (x^2 + x + 1) + e
7. x + k aretan x - .~ aretan (xj2) + C
8. 21ag ¡xl - lag Ix + 11 + e
30. :b aretan Ütan x) + C
eos x
31. - -.----- + C
a(a.sen x + b eos x)
- (7T/4) - llog 2
- lxV3 - x^2 + ~ arcsen (;3) + C
34. -V3 -x^2 + C
./-- .r (V3 _x^2 +v/l)
35. v 3 - x^2 - v 3 log x + C
- V x2^ + x + llog (2V x^2 + x + 2x + 1) + C
- lxv~ + ·~Iog(x + vx^2 + 5) + C
- V x2 + x + 1 - llog (2x + 1 + 2v'-x-2^ -+-x-+-I) + C
- log (2x + 1 + 2V x^2 + 1) + C V2 -x -x^2 V2 (V2 _-x x^2 V2) (2x + 1)
40. - x + 4""" log x - 4""" - arcsen -3-
6.26 Ejercicios de repaso (pág. 328)
1. f(x) + fO/x) = lOog X)
2. f(x) = log V3/(2 + cos x)
- 1 7 14 7T(4x· + 2)
5. (a) -1~ (b) V = ----- dx
1 x(x + 1)(x + 2)
6. (a) x ~ 1 (e) F(ax) - F(a); F(x) - ~ + e; xe'!" - e - FG)
7. (a) No existe tal función (b) _2x^ lag 2 (e) lx ± 1
- (a) g(3x) = 3e2Xg(x) (b) g(nx) = ne(n-l)Xg(x) (e) 2 (d) C = 2 10. f(x) = bxiag(x), siendo g una función periódica con período a.
12. (a) -Ae-a^ (b) lA (e) A + 1 - le (d) e lag 2 - A
- (b) Co + nC 1 + n(n - l)c2 + n(n - 1)(n - 2)c m 1n (e) Sip(x) = ¿>kXk, entonces f(n)(o) =¿k!(;)Ck k~O k~O
16. (a) ix^2 (x + Ixl)
(b) x - !x^3 si Ixl ~^ 1;^ x-lx^ Ixl^ + ~~ 6x^ si Ixl > 1
(e) 1 - e-X si x ~ O; eX - 1 si
(d) x si Ixl ~ 1; lx 3^3 + ~~ 3 x si
x < O
Ixl > 1
+C
17. f(x) = V(2x + I)/Tr
18. (a) W - e-2t) (b) !Tr(1 - e-4t) (e) ~Tr[l - e-2t(2t + 1)]
- (a) lag 3 - 2 lag 2 (b) No existe ningún x real
20. (a) cierta (b) falsa (e) cierta (d) falsa si x < O
(d) Tr
- (d) (xe-ttn^ dt = n!e-x( eX - i:~) Jo k=O
27. (a) f(t) = 2Vl - I si t > O
(b) f(t) = t - !t^2 +! si O ~ t ~ 1
(e) fU) = t - it^3 + t si [r] ~ 1
(d) f(t) = t si t ~ O; f(t) = el - 1 si t > O
..!!;(k - 1)!
28. (b) en = -2 ¿ lo k 2 (e) b = log 2
k=1 g
29. g(y) = -eY; todoy
30. (b) constante = i
Capítulo 7
7.8 Ejercicios (pág. 348) 55V2 V
8. (b) 672 + R, donde IRI ~ 7680 < 2. 10-^4
9. 0.9461 + R, donde IRI < 2. 10-^4
7.11 Ejercicios (pág. 356)
1. 1 + x log 2 + !x^2 log2 2
2. eos 1 + (eos 1 - sen 1)(x - 1) - l(2sen 1 + eos I)(x - 1)2 + i(sen 1 - 3 eos 1)(x - 1)
x^3 x^4 59x^5 x^6
3. x - x^2 - - +- - - +-
7.13 Ejercicios (pág. 362)
1. \
a = O, b = 1, e = -!
-i 10.^1 15.^ l 6 20.^ -2^ 25.^ -e/
a/b 11.^1 16. -1^ 21.^ i loga 26.^ e-I/
~ 3 12. log a/log b 17. -1 22. J. 6 27. el/
-i 13. "3I^ 18.^ "6I^ 23.^ l/e 28.^ I 2
I"2 14. ! 19. 24. e 3 29. 12
a = 2; límite = l
feO) = O; /,(0)^ =^ O;^ reO) = 4; límite = e^2
3. t
4. -i
5. (a/W
6. i
