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Didáctica de la Matemática
Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 2. Resolución de problemas numéricos
Tema 2. Resolución de problemas numéricos
Objetivo
- Resolver problemas empleando las propiedades de los números y de las operaciones elementales.
Contenidos
- Problemas de combinatoria
- Problemas de paridad
- Problemas de divisibilidad
- Problemas de razón y proporción
- Problemas de identificación de patrones
Práctica 1 Resolución de problemas de combinatoria
Práctica 2 Resolución de problemas de paridad
Práctica 3 Resolución de problemas de divisibilidad
Práctica 4 Resolución de problemas de razón y proporción
Práctica 5 Resolución de problemas de identificación de patrones
Bibliografía
Círculos matemáticos. D. FOMIN, S. GENKIN y I. ITENBERG. Real Sociedad Matemática Española-SM. Madrid, 2012 (Or. En inglés 1996). Cómo plantear y resolver problemas. G. POLYA. Trillas, Méjico, 2002 (1ª edición en español, 1965). Investigando las matemáticas. R. FISHER y A. VINCE. Akal, Madrid, 1991 (4 volúmenes). Mathematics for Elementary Teachers. A Contemporary Approach. G.L. MUSSER, W.F. BURGER y B.E. PERERSON. John Wiley & Sons, Nueva York, 2003 Pensar matemáticamente. J. MASON L. BURTON y K. STACEY. Labor-MEC, Barcelona, 1992.
Problemas con pautas y números. SHELL CENTRE FOR MATHEMATICS EDUCATION.
Universidad del País Vasco, Bilbao, 1993 (Or. 1984). Para pensar mejor. M. de GUZMAN. Col. Ciencia hoy, Pirámide, Madrid, 1994. Resolver problemas: Estrategias. Unidades para desarrollar el razonamiento matemático. K. STACEY y S. GROVES. Narcea, Madrid, 2001.
Didáctica de la Matemática
Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 2. Resolución de problemas numéricos
B
Tema 2. Resolución de problemas numéricos
En este tema proponemos la resolución de distintos tipos de problemas empleando las propiedades de los números y de las operaciones.
1. Problemas de combinatoria
En estos problemas se pide contar el número de combinaciones posibles en la situación descrita en el enunicado. A continuación analizamos distintos problemas indicando algunas ideas para hacer el recuento.
El principal objetivo de los tres primeros problemas es identificar cuándo se debe sumar los números y cuándo multiplicarlos. La multiplicación aparece con el significado de número de combinaciones posibles (no de suma repetida).
La tienda del café
En “La tienda del café” hay cinco modelos de tazas de café y tres modelos de platos. ¿Cuántas maneras hay de combinar las tazas con los platos?
Pistas:
Se puede razonar así: Primero elegimos una taza; luego para completar la pareja podemos elegir cualquiera de los tres platos. También se puede hacer una tabla de doble entrada con 5 tazas (en horizontal) y 3 platos (en vertical). El número de combinaciones es el número de casillas de la tabla.
El país de las comunicaciones
En el país de las comunicaciones las ciudades A, B, C y D están conectacas como muestra la figura de abajo. ¿Cuántas formas distintas hay de llegar de A a C, pasando por B o por D?
Pista:
Considerar dos casos (caminos que pasen por B y caminos que pasen por D) es una idea útil.
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 2. Resolución de problemas numéricos
Pista:
Contar las conexiones de cada ciudad con las restantes y luego eliminar las que se han repetido.
Cifra par
¿Cuántos números de seis cifras tienen al menos una cifra par?
Pista:
Contar primero los números que no cumplen la condición pedida o “conjunto complementario”, es decir, los números que no tienen ninguna cifra par. Luego restar al total de números de seis cifras los que no tienen ninguna cifra par.
2. Problemas de paridad
El concepto de paridad (par o impar), a pesar de su gran simplicidad, aparece en la solución de diferentes tipos de problemas como los siguientes:
Engranajes
Once engranajes están colocados en el plano formando una cadena como la que se muestra en la figura. ¿Pueden girar todos ellos a la vez?
La idea principal en la solución de este problema es que los engranjes rotan en el sentido de las agujas del reloj o en el opuesto, de forma alternada. Encontrar objetos que se alternen es la idea básica de la solución de algunos problemas.
Cubrir el tablero
¿Podemos cubrir un tablero como el de de ajedrez pero de dimensiones 5 x 5 con fichas de dominó de dimensiones 1 x 2?
La idea de este problema es hacer parejas: si podemos agrupar los objetos de una familia por parejas, entonces habrá un número par de ellos.
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 2. Resolución de problemas numéricos
Rublos
¿Es posible cambiar un billete de 25 rublos utilizando en total 10 billetes de 1, 3 o 5 rublos?
Las siguientes propiedades se usan para resolver el problema de los rublos y otros problemas: a) Si se suma un número par de sumandos impares en resultado es un número par. b) Si se suma un número impar de sumandos impares en resultado es un número impar.
Tablero recortado
En un tablero de ajedrez 8 x 8 se han quitado dos casillas de extremos opuestos. ¿Se puede recubrir con fichas de dominó de tamaño 1 x 2?
En algunos problemas, además de utilizar la idea de paridad hay que hacer consideracionesa adicionales, por ejemplo en el problema anterior el color de las casillas que se han eliminado.
3. Problemas de divisibilidad
Resolver el siguiente problema usando ensayo y error es laborioso, pero la solución es inmediata conociendo el concepto de divisibilidad y sus propiedades:
Premio en el supermercado
Una cadena de supermercados ha ideado la siguiente promoción de ventas:
Por cada compra de 10 euros o fracción ofrece al cliente una tarjeta con un número menor que 100. A quien presente varias tarjetas cuyos números sumen 100 le regalan 100 euros. Las tarjetas que ofrece son las siguientes: 9, 12, 15, 18, 27, 51, 72 y 84
¿Puedes encontrar una combinación ganadora?
Solución: Si observamos los números de las tarjetas, son todos múltiplos de 3. Los múltiplos de 3 (o de cualquier otro número) tienen la propiedad de que la suma es tambien un múltiplo de 3. Pero 100 no es múltiplo de 3, por tanto no hay ninguna combinación ganadora. Por tanto el supermercado está cometiendo un fraude.
Algunos de los conceptos y propiedades importantes sobre la divisibilidad son los siguientes:
Números primos y compuestos
Un número que sólo es divisible por si mismo y la unidad se llama primo.
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 2. Resolución de problemas numéricos
Reglas de divisibilidad
Un número es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par. Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Un número es divisible por 4 si el número formado por las dos últimas cifras es divisible por 4. Un número es divisible por 8 si el número formado por las dos últimas cifras es divisible por 8. Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3. Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9. Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y las que ocupan lugar impar es 0, 11 o múltiplo de 11.
El siguiente problema se puede resolver aplicando la regla de divisibilidad por 11:
Capicúas
Algunos números capicúas de cuatro cifras son divisibles por 11, por ejemplo 1221 o
- ¿Esta propiedad la tienen todos los números capicúas de cuatro cifras?
También se puede resolver escribiendo el numero como abba=1000a+100b+10b+a y luego como múltiplo de 11, o escribiendo la sucesión ordenada que números capicúas de cuatro cifras y viendo el crecimiento de la sucesión.
Teorema
Un número es divisible por el producto ab , si es divisible por a y por b y a y b son primos entre sí o coprimos.
Aplicando este teorema se obtienen las siguientes reglas de divisibilidad:
Más reglas de divisibilidad
Un número es divisible por 10 si termina en 0. Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3. Un número es divisible por 36 si lo es por 4 y por 9.
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 2. Resolución de problemas numéricos
4. Problemas de razón y proporción
Los conceptos de razón y proporción son útiles para resolver algunos problemas como el siguiente:
Jugando al baloncesto
Daniel y Carlos son jugadores de baloncesto y ocupan la misma posición en el equipo. El entrenador quiere conocer qué jugador es más eficaz, para ello tiene las anotaciones del último partido disputado: Daniel Carlos Aciertos en tiros libres 4 de 6 6 de 9 Aciertos en lanzamientos a canasta 5 de 10 10 de Aciertos en triples 2 de 4 2 de 3
¿Cómo puede averiguar quién ha conseguido mejores resultados en cada uno de los apartados de las anotaciones?
La relación entre los 4 tiros libres acertados y los 6 tiros libres lanzados se llama razón:
Para averiguar qué jugador es el más eficaz habrá que comparar las razones.
Se puede afirmar que acertar 4 tiros libres de 6 intentos es equivalente a acertar 6 tiros libres de 9 lanzamientos porque:
Esta igualdad es una proporción.
Al ser estas razones equivalentes se puede decir que la efectividad en los tiros libres de ambos jugadores es la misma y por tanto los resultados de los tiros libres son proporcionales.
Sin embargo, en los lanzamientos a canasta y en los triples, la efectividad de los jugadores no es la misma y por tanto los resultados no son proporcionales.
El valor constante de una proporción se conoce como constante de proporcionalidad.
Razón y proporción
Una razón es un par ordenado de cantidades de magnitudes, de la misma o distinta magnitud.
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 2. Resolución de problemas numéricos
5. Problemas de identificación de patrones
Los patrones gráficos se presentan como una sucesión de figuras en la que se pueden identificar patrones, pautas o regularidades para:
Extender la sucesión. Reproducir la figura de un término cualquiera de la sucesión. Calcular un término ‘cercano’. Calcular un término ‘lejano’. Expresar verbalmente la regla que permite calcular los diferentes términos. Expresar simbólicamente la regla que permite encontrar el término enésimo de la sucesión.
Para ello se puede utilizar un método recursivo , a partir de los términos anteriores de una sucesión o un método directo analizando la estructura de una configuración.
Aplicamos estos métodos a la resolución del siguiente problema:
Configuraciones puntuales
Figura 1 Figura 2 Figura 3
a) Continúa dibujando hasta la figura 5. b) ¿Cuántos círculos forman la figura 7? Justifica la respuesta. c) ¿Cuántos círculos forman la figura 25? Responde a esta cuestión utilizando dos procedimientos diferentes. d) Busca una regla general para calcular el número de círculos necesarios para construir la figura n. Justifica la respuesta.
Solución con un método recursivo:
Se continúan los dibujos, se cuentan los círculos y se escribe la sucesión numérica:
5, 9, 13, 17, 21,…
Se puede ver que el número de puntos aumenta en 4.
La figura 7 es el número de círculos de la primera más 6 veces cuatro círculos: 5 + 6 x 4 = 31 círculos.
La figura 25 tiene 5 + 24 x 4 = 101 círculos.
La regla general es: “5 más 4 veces el número de la figura menos 1” o “5 + (n-1) x 4”
Solución con un método directo:
Se puede ver que cada configuración está formada por 4 configuraciones iguales de 2, 3 o 4 puntos respectivamente en las figuras 1, 2 y 3 (ver Figura 2). Como tres círculos se han contado dos ves, hay que restar 3:
Figura 1 Figura 2 Figura 3 En la Figura 2 el recuento sería 4 x 3 círculos de cada configuración menos 3 que se contaron dos veces: 4 x 3 – 3 = 9. En general: 4 x (n+1) – 3.
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 2. Resolución de problemas numéricos
B
Práctica 1. Problemas de combinatoria
Objetivo :
Resolver problemas de conteo utilizando operaciones aritméticas elementales
I. Problemas para discutir en clase
La tienda del café
En “La tienda del café” hay cinco modelos de tazas de café y tres modelos de platos. ¿Cuántas maneras hay de combinar las tazas con los platos?
El país de las comunicaciones
En el país de las comunicaciones las ciudades A, B, C y D están conectadas como muestra la figura de abajo. ¿Cuántas formas distintas hay de llegar de A a C, pasando por B o por D?
Juguetes
En una juguetería hay 5 modelos de coches, 3 modelos de motos y 4 tipos de balones. ¿Cuántas formas hay de comprar dos objetos diferentes?
Jugando al corro
Siete niños están jugando al corro. ¿De cuántas maneras distintas los niños pueden formar el corro?
Monedas
Cada vez que lanzamos una moneda al aire nos sale cara o cruz. Si lanzamos tres veces una moneda y anotamos los resultados, ¿cuántas secuencias diferentes de cara y/o cruz podemos obtener?
Elegir suplente
Un equipo de baloncesto debe elegir al capitán titular y a un capitán suplente entre 5 jugadores. ¿Cuántas maneras tiene de hacerlo?
Líneas de ferrocarril
En un cierto país hay 20 ciudades, y cada par de ciudades está conectada por ferrocarril. ¿Cuántas líneas de ferrocarril hay?
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 2. Resolución de problemas numéricos
Práctica 2. Problemas de paridad
Objetivo :
Resolver problemas utilizando el concepto de paridad.
I. Problemas para discutir en clase
Engranajes
Once engranajes están colocados en el plano formando una cadena como la que se muestra en la figura. ¿Pueden girar todos ellos a la vez?
Cubrir el tablero
¿Podemos cubrir un tablero como el de de ajedrez pero de dimensiones 5 x 5 con fichas de dominó de dimensiones 1 x 2?
Rublos
¿Es posible cambiar un billete de 25 rublos utilizando en total 10 billetes de 1, 3 o 5 rublos?
Tablero recortado
En un tablero de ajedrez 8 x 8 se han quitado dos casillas de extremos opuestos. ¿Se puede recubrir con fichas de dominó de tamaño 1 x 2?
II. Más problemas
Caballo saltarín
En un tablero de ajedrez un caballo comienza en la casilla a1 (inferior izquierda) y vuelve a ella después de muchos movimientos. Demuestra que el caballo realiza un número par de movimientos.
Cati y sus amigos
Cati y sus amigos y amigas están de pie en círculo, de forma que cada uno está entre dos del mismo sexo. Si hay cinco niños en el círculo, ¿cuántas niñas hay?
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 2. Resolución de problemas numéricos
Polígonos
Probar que si un polígono de 7 lados (heptágono) tiene un eje de simetría, dicho eje de simetría pasa por uno de sus vértices.
¿Qué podría decirse del eje de simetría si el polígono tuviese 8 lados (octógono)?
Partida de dominó
Al terminar una partida de dominó en la que se han colocado todas las fichas observamos que el primer número de la cadena es un 5. ¿Qué número aparece al final?
La libreta de Pedro
Pedro compró una libreta que tenía 96 hojas y las numeró del 1 al 192. Víctor arrancó 25 hojas del cuaderno de Pedro y sumó los 50 números de dichas hojas. ¿El resultado de la esa suma puede ser igual a 1990?
Del 1 al 10
Escribimos los números del 1 al 10 en una fila. ¿Podemos distribuir los signos + y – entre ellos de manera que el resultado de efectuar las operaciones que aparecen en la expresión final sea igual a 0? (Nota: los números negativos también pueden ser pares e impares).
Caracol
Un caracol se mueve en un plano con velocidad constante y en línea recta. Cada 15 minutos gira un ángulo recto. Demuestra que solo podrá volver a su posición inicial tras un número entero de horas.
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 2. Resolución de problemas numéricos
Tres números consecutivos
Rellena los huecos en blanco: La suma de tres números naturales consecutivos siempre tiene como divisor (distinto de 1) _____________. La suma de cinco números naturales consecutivos siempre tiene como divisor (distinto de 1) _____________. Demué stralo.
Suma de dos primos
¿Es posible que la suma de dos números primos sea un número primo? ¿Por qué?
Un número menor que 40
“Soy un número de dos dígitos menor que 40. Soy divisible sólo por un número primo. La suma de mis dígitos es un primo y la diferencia entre mis dígitos también es un número primo. ¿Qué número soy?”
Sumando
Elige un número de cuatro dígitos. Invierte los dígitos. Suma los dos números. ¿El resultado es divisible por 11? Si la respuesta es afirmativa intenta explicar por qué.
Restando
Elige un número. Invierte sus dígitos. Resta el menor del mayor. Identifica qué propiedad tiene la diferencia en los siguientes casos:
El número es de dos dígitos. El número es de tres dígitos. El número es de cuatro dígitos.
Primos gemelos
Dos primos que difieren en 2 unidades son primos gemelos. Por ejemplo 5 y 7, 11 y 13, 29 y 31 son primos gemelos.
Busca los primos gemelos menores de 100. Demuestra que la suma de dos primos gemelos, excepto un caso, es un múltiplo de 6. Demuestra que el producto de dos primos gemelos, excepto un caso, es el anterior a un número cuadrado.
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Práctica 4. Problemas de razón y proporción
Objetivos :
Resolver problemas de razón y proporción Identificar situaciones de proporcionalidad directa
I. Problemas para discutir en clase
Jugando al baloncesto
Daniel y Carlos son jugadores de baloncesto y ocupan la misma posición en el equipo. El entrenador quiere conocer qué jugador es más eficaz, para ello tiene las anotaciones del último partido disputado:
Daniel Carlos Aciertos en tiros libres 4 de 6 6 de 9 Aciertos en lanzamientos a canasta 5 de 10 10 de Aciertos en triples 2 de 4 2 de 3
¿Cómo puede averiguar quién ha conseguido mejores resultados en cada uno de los apartados de las anotaciones?
María y Pablo
María y Pablo están cogiendo manzanas. Empezaron al mismo tiempo pero María es más rápida. Cuando Pablo ha cogido 40 manzanas María ha cogido 60. Si María ha cogido 90 manzanas, ¿cuántas ha cogido Pablo?
Músicos
Un grupo de 5 músicos interpretan una pieza musical en 10 minutos. Otro grupo de 35 músicos interpretarán mañana la misma pieza musical, ¿cuánto tiempo tardarán en interpretarla?
Tren
Una locomotora de tren mide 12 metros de longitud. Si se enganchan 4 vagones el tren mide 52 metros. Si se conectan 8 vagones, ¿cuánto medirá el tren?
II. Más problemas
Recetas
Se tienen dos recetas para realizar un mismo pastel. La receta A pone que se debe utilizar 50 g de chocolate por cada 200 g de azúcar y la receta B pone que por cada 100 g de azúcar hay que añadir 25 g de chocolate. ¿Se puede tratar realmente del mismo pastel?
Pintando la clase
Los alumnos quieren pintar la clase de color celeste. Ana ha mezclado 4 botes de pintura azul con 3 botes de pintura blanca y Pablo ha mezclado 8 botes de pintura azul con 6 botes de pintura blanca. ¿Qué mezcla es más oscura?
Didáctica de la Matemática
Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 2. Resolución de problemas numéricos
Práctica 5. Problemas de identificación de patrones
Objetivo :
Resolver problemas de recuento en los que se pide:
- Continuar la sucesión.
- Calcular un término ‘cercano’.
- Calcular un término ‘lejano’.
- Expresar verbalmente la regla que permite calcular los diferentes términos.
- Expresar simbólicamente la regla que permite encontrar el término enésimo de la sucesión.
I. Problema para discutir en clase
Configuraciones puntuales
Figura 1 Figura 2 Figura 3 e) Continúa dibujando hasta la figura 5. f) ¿Cuántos círculos forman la figura 7? Justifica la respuesta. g) ¿Cuántos círculos forman la figura 25? Responde a esta cuestión utilizando dos procedimientos diferentes. h) Busca una regla general para calcular el número de círculos necesarios para construir la figura n. Justifica la respuesta.
II. Más problemas
Cerillas 1
Continúa la sucesión hasta tener 6 cuadrados alineados:
Si el lado de cada cuadrado es una cerilla:
a) ¿Cuántas cerillas se necesitan para construir 6 cuadrados alineados como los del dibujo? b) ¿Cuántas cerillas se necesitan para construir 28 cuadrados alineados? c) Busca una regla general para calcular el número de cerillas necesarias para tener n cuadrados alineados.
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Aprendizaje de la Aritmética (17213). Tema 2. Resolución de problemas numéricos
Triángulos 1
Continúa la sucesión hasta la Figura 5:
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Si el lado de cada triángulo es una cerilla:
a) ¿Cuántas cerillas se necesitan para construir la Figura 8? b) ¿Cuántas cerillas se necesitan para construir la Figura 23? c) Busca una regla general para calcular el número de cerillas necesarias para tener la figura n.
Pentágonos
Figura 1 Figura 2 Figura 3
a) Continúa dibujando hasta la figura 5. b) ¿Cuántos segmentos forman la figura 7? Justifica la respuesta. c) ¿Cuántos segmentos forman la figura 25? Responde a esta cuestión utilizando dos procedimientos diferentes. d) Busca una regla general para calcular el número de segmentos necesarios para construir la figura n. Justifica la respuesta.
Hexágonos 1
Figura 1 Figura 2 Figura 3
a) Continúa dibujando hasta la figura 5. b) ¿Cuántos segmentos forman la figura 7? Justifica la respuesta. c) ¿Cuántos segmentos forman la figura 25? Responde a esta cuestión utilizando dos procedimientos diferentes. d) Busca una regla general para calcular el número de segmentos necesarios para construir la figura n. Justifica la respuesta.
