Tema 10: Components Principals i correspondències
OBJECTIUS DE LES COMPONENTES PRINCIPALS:
• Reduir un gran nombre de variables a unes quantes (poques) NOVES variables (Components
Principals=Principal Components=PC) que són combinacions lineals de les variables originals i
que expliquen tota la variació de les dades
• Interpretar el significat de les CP per a descriure el patró de comportament dels individus
10.1.- Obtenció i interpretació de les Components Principals
Per a un banc de dades, amb i=1,..n objectes i Y1, Y2, … Yp variables, la primera component
principal serà una variable de de màxima variança
Els coeficients de la combinació (a11,.., a1p) són les coordenades del primer vector propi de la
matriu de var-covar, C, de Y, amb les variables Y centrades. (Mitjana de cada variable és 0)
La segona component principal, incorrelada amb l’anterior (no repeteix informació) i
de màxima variança entre les que queden, resultaria ser la combinació lineal
Amb (a21,..,a2p) coordenades del segon vector propi de C (matriu de var-covar de Y, Y
centrades).
Y així fins a p.
IMPORTANT: Si les variances de les variables originals són molt distintes (el valor de la més
gran és més de quatre vegades el valor de la menor), per a l’obtenció de les CP treballarem
amb les dades estandarditzades, equivalentment amb la matriu de correlacions R
Els valors propis obtinguts corresponen a les variances de les noves variables (CP) i la
suma dels valors propis és igual a la suma de les variances de les variables originals (Suma de
la diagonal de la matriu emprada, ja siga C=variances-covariances de Y centrades, o R=Matriu
de correlacions de Y)
Si hem treballat amb R (correlacions) els elements de la diagonal són tots 1 la suma
dels valors propis serà p=nº de variables originals.
Cada valor propi dividit per la suma total representa la variança explicada per la corresponent CP
Com les CP s’obtenen en ordre decreixent de variança per a cada CP s’indica % variança
acumulada=% de variança de les dades originals si només utilitzem aquesta CP i totes les anteriors.
INTERPRETACIÓ DE LES COMPONENTS PRINCIPALS
Bàsica:
1.-Tots els coeficientes positius=”DE GRANDÀRIA” valors grans de la CP apareixen per a
individus que tenen valors grans en totes les variables originals, en canvi valors menuts de la
CP corresponen a individus amb valors menuts en totes les variables originals: Separa
“individus grans” dels “individus menuts”
2.-Amb coeficientes positius i coeficients negatius =”DE FORMA”
Adicional:
Interpretem el significat a partir dels coeficients i els “Pesos” (loadings) aquests últims són les
correlacions entre la CP i les variables originals (indiquen quines de les Yi influeixen més i com
fan canviar el valor de la CP) Però, els valors i els signes dels coeficients (i els pesos) de les
components i de les puntuacions de PC no tenen significat aïlladament. Ens fixarem únicament
en les diferències relatives i els signes contraposats entre variables.
PUNTUACIONS DE CP: Són les noves coordenades de cada individu en les noves variables (CP) Per obtenir les
puntuacions de PC de cada individu (coordenades en cada component principal) cal substituir els valors
estandarditzats que l’individu pren per a cada variable original
1 11 1 12 2 1
..
i i i p ip
Z a Y a Y a Y
2 21 1 22 2 2
..
i i i p ip
Z a Y a Y a Y
