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1. Definición de Matriz:
Por el uso constante de las matemáticas en la ciencia y la tecnología, así como en otros
campos del saber humano, se hace necesario el estudio de las matrices, las cuales
constituyen herramientas eminentemente útiles por su valor estructural y operativo. Las
matrices se utilizan en la mayoría de las ciencias y en la misma matemática para
resolver cálculos numéricos, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las
ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Una gran cantidad de las
operaciones realizadas por las computadoras se hacen tomando como elementos a las
matrices. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.
Definición: Una matriz es un arreglo rectangular de elementos ordenados en filas y
columnas. Estos elementos pueden ser números reales, complejos, funciones, etc. y se
acostumbran a colocar entre corchetes.
En este curso trataremos con matrices cuyas entradas serán números reales.
1.1. Notación:
Las matrices, en general, se denotan por letras mayúscula y sus elementos se designan
por letras minúsculas seguidas de dos subíndices i, j , el primero ( i ) indica la fila en que
está ese elemento y el segundo ( j ) la columna.
11 12 1 1 21 22 2 2
1 2
1 2
j n j n
i i ij in
m m mj mn
m n ij
a a a a a a a a
a a a a
a a a a
A a
En este caso, por ejemplo, Am n está denotando a una matriz que tiene m filas y n
columnas y el elemento a 12 nos indica que está en la fila 1 y la columna 2.
Fila i
Columna j
UNIDAD 1 : MATRICES
Sea i el número de filas y (^) j el número de columnas a que pertenece cada elemento de
la matriz; luego aij representa un elemento cualquiera de la matriz, donde 1 i m y
1 j n.
Es importante tener presente que una matriz no tiene valor numérico y que solo es una
manera de ordenar datos.
1.2. Ejemplos de algunos de los usos que se les da a las matrices:
- La matriz siguiente proporciona las distancias entre las ciudades indicadas (en
millas)
Londres Madrid New York Tokio Londres 0 785 3, 469 5, Madrid 785 0 3,593 6, 706 New York 3, 469 3,593 0 6, 757 Tokio 5,959 6, 706 6, 757 0
- Un supermercado tiene 4 sucursales en diferentes ciudades del país. La siguiente
matriz representa las ventas en pesos de cada una de ellas durante una semana:
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Sucursal A 83, 250 70, 275 93, 245 75,630 90, 465 105, 456 87, Sucursal B 54,750 50, 275 67, 436 61,930 73, 460 72,050 68, Sucursal C 64,348 60,380 71,125 73, Sucursal D
0 69,500 83,925 75, 58,780 55,895 65,750 63,685 56,800 67,945 62,
1.3. Tamaño u Orden de una Matriz:
Es el número de elementos que posee la matriz, el cual viene definido mediante el
producto indicado entre el número de filas y el número de columnas.
Ejemplos:
2 3 Matriz de orden 2 por 3
A
A ^ ^
^3
Matriz de orden 3 por 2
B
B
^
1 6 ^
Matriz de orden 1 por 6
C
C
3. Matrices Iguales :
Dos matrices son iguales si sus elementos correspondientes son iguales, es decir, sean
Am (^) n aij y Bm (^) n bij , entonces A y B son iguales si y sólo si aij bij.
Ejemplo : Si^2 4 7
^ ^
A y ^ B w^ z y t
¿cuáles son los valores de w, z, y y t para
que A B?
w 2, z 5, y 4 y t 7
4. Matrices Opuestas:
Son aquellas matrices cuyos elementos correspondientes son opuestos, es decir, sean
Am (^) n aij y Bm (^) n bij son opuestas si y sólo si aij^ bij.
Ejemplo:^3 4 0
^
A y
^
B (^) son dos matrices opuestas.
5. Diagonal Principal y Diagonal Secundaria de una Matriz Cuadrada :
Se llama diagonal principal de una matriz cuadrada a la línea definida por los
elementos aij donde i j ; es decir, a 11 , a 22 , a 33 ,..., ann. Y diagonal secundaria a la
línea definida por los elementos aij donde i j n 1 ; es decir,
a 1 n , a 2( n 1) , a 3( n 2),..., an 1.
Ejemplo:
Diagonal Principal
^
A
Diagonal secundaria
^
A
6. Traza de una Matriz:
La traza de una matriz cuadrada es la sumatoria de los elementos de la diagonal
principal; es decir, 1
(^)
n Tr An (^) i j aij para i j.
Ejemplos:
a) Hallar la traza de la matriz^2 4 7
^ ^
A . Tr (^) A (^) a 11 (^) a 22 2 7 9
b) Hallar la traza de la matriz^0 0 0
^ ^
B . Tr B (^) b 11 (^) b 22 0 0 0
c) Hallar la traza de la matriz
^
D
Tr D (^) d 11 (^) d 22 (^) d 33 3 7 4 0
7. Otros Tipos de Matrices:
7.1. Matriz Diagonal:
Se llama matriz diagonal a la matriz cuyos elementos que no están en la diagonal
principal son iguales a cero, es decir aij 0 para i j.
Ejemplos : 3 0 0 0 2 0 0 0 1
^
A
^
B
^
D
^
M
7.2. Matriz Escalar:
Se llama matriz escalar a la matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal
son iguales a una constante, es decir, aij 0 para i j aij k para i j
siendo k un escalar cualquiera.
EJERCICIOS PROPUESTOS
I.- 1) Forme la matriz A de orden 4 cuyos elementos correspondan a lo que se indica:
12 13 14 24 34 23 12 21 13 31 14 41 24 42 34 43 23 32
5 ( ) para 1,2,3, 3 4 2 6 7 5 5 5 6 8 10 15
a ii i j i a a a a a a a a a a a a a a a a a a
2) Forme una matriz B de orden 3 x 2 cuyos elementos vienen dados por
bij i^2 3 j
- Forme una matriz C de orden 2 x 4 cuyos elementos vienen dados por cij 2 i j
II- Dada la matriz
^
x A y w
determine los valores de las variables para
que:
- A sea igual a
^
B
- A sea opuesta a
^
C
- La traza de A sea igual a 4
III- Dada las matrices:
^
A
^
B
^
C
^
D^1
^ ^
E
^
F
^
G , determine:
¿Cuál es el orden de la matriz A? ___________
¿Cuál o cuáles matrices son?
Diagonal: _______________ Escalar:________________
Identidad o unidad: ________________ Nula: _________________
Triangular superior: _______________ Triangular inferior: _________________
IV- Escriba la matriz que se indica en cada caso:
Una matriz 5 x 3.
Una matriz diagonal de orden 4.
Una matriz escalar de orden 5.
Una matriz identidad de orden 6.
Ejemplo: Sean
^
A y
^
^
B , calcular A B y B A.
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
A B
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
B A
3. Para todas matrices A , B C , Mm n se cumple que ( A B ) C A ( B C ). Es
decir, que la suma de matrices es asociativa.
4. Para toda matriz A Mm n existe la matriz 0 Mm n tal que A + 0 = 0 + A = A
siendo 0 M^ m n la matriz nula que es la identidad o neutro para la suma de matrices.
Ejemplo: Sea
^
^
^ B , calcular B + 0
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^
B 0 B
5. Para toda matriz A Mm n existe A Mm n tal que A ( A ) 0 Mm n. La
matriz A es llamada la matriz opuesta o inversa aditiva de A.
Ejemplo: Sean
^
^ A y
^
^
^
^ A calcular A ( A )
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
A A
8.2. Resta o Diferencia:
Para restar dos matrices, que sean del mismo orden, se suma la matriz minuendo con la opuesta de la matriz sustraendo. Es decir, sean Am (^) n aij y Bm (^) n bij decimos
que A (^) m n Bm (^) n (^) A B (^) (^) m n ( aij bij ) ( aij ( bij ))
Ejemplo: Sea
^ ^
A (^) y
^
, hallar A B
^ ^ ^ ^ ^
^
A B A B
8.3. Producto de una Matriz por un Escalar:
Para multiplicar una matriz por un escalar, se multiplica el escalar por cada elemento de la matriz. Es decir, si Am (^) n aij y k un escalar, entonces kA (^) kaij .
Ejemplo: Sea^2 3 1 3 2
^ ^
A una matriz y k 2 , hallar kA.
2 2 ^ 1 3 2 ^ 2( 1)^ 2(3) 2(2) ^ ^ 2 6 4
kA A
8.3.1. Propiedades de la Multiplicación de una Matriz por un Escalar:
Sean A , B Mm n y k t , R , entonces se cumple lo siguiente:
1. k A. Mm n
2. k t A .(. ) (. ). k t A
11 12 1 21 22 2 11 12 1 1 11 12 1 21 22 2 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2
^
^ ^
^
^
^ ^
^ ^
p p j^ n n j n n i i ip ij p p pj pn m m mn m m mp
m p p n
a a a a a a b^ b^ b^ b c c c b b b b c c c a a a c b b b b c c c a a a
A B
Es decir; para multiplicar dos matrices cualesquiera es necesario que el número de
columnas de la primera matriz factor sea igual al número de filas de la segunda
matriz factor , siendo la matriz producto de orden igual al producto indicado entre el
número de filas de la primera matriz factor y el número de columnas de la segunda
matriz; y cada elemento de la matriz producto resulta de multiplicar la i^ esima fila de
la primera matriz por la j esima columna de la segunda matriz. O sea hay que
multiplicar cada fila de la primera matriz por cada una de las columnas de la segunda
matriz.
Ejemplo: Sean^2 3 4 0 2
^
A y
B
^
1) Hallar AB.
El producto AB está definido ya que el número de columnas
de A es igual al número de filas de B.
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^
AB
^ ^ ^
AB
2) Hallar BA.
El producto BA está definido ya que el número de columnas de B es igual al número de filas de A.
2 x 3 3 x 2
A B
3 x 2 2 x 3
B A
BA
^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
^
Observe que AB BA ; es decir, la multiplicación de matrices no es conmutativa.
Además y
8.5.3. Potencia Entera de una Matriz Cuadrada:
Sea A ( aij )una matriz cuadrada de orden n , si queremos obtener una potencia entera
positiva de A solo tenemos que multiplicar por sí misma tantas veces como lo indique
la potencia. En general A^2^ AA , A^3^ A A^2 , A^4^ A A^2 2^ A A^3 , An AAn ^1.
Ejemplo: Sea^2 1 3
^ ^
A (^) hallar A^2^ , A^3^ y A^4
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
A AA
^
A A A
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
A A A
8.5.4. Propiedades de la Multiplicación de Matrices:
Sean A B y C , matrices conformes con la multiplicación; es decir que está definida la multiplicación entre ellas:
- A BC ^ AB C propiedad asociativa.
- A B ^ ^ C^ ^ AB^ AC 1ra. propiedad distributiva
- ( A B C ) AC BC 2da. propiedad distributiva
2 x 3 3 x 2
A B
tamaño de AB
3 x 2 2 x 3
B A
tamaño de BA
4) A B 5) BA 2 D 6) BE
- D^^2 ^3 BA 8)^^ C^3 9) ^ tr D ^^ ^ AB^ ^ tr C ^^ C
10) La matriz X si X 7 C AE 11) La matriz X si 2 X 3 D 5 F
9. Matriz Transpuesta (^) AT :
Dada una matriz A , la matriz transpuesta de A que se denota AT es la matriz que se
obtiene al intercambiar las filas por las columnas y las columnas por las filas de A. Si
A (^) aij es una matriz de orden m x n , la matriz transpuesta de A es la matriz de orden
n x m AT (^) aij (^) ^ T aji .
Ejemplo: Si
^
(^) A entonces
3 1 4 2 3 0 4 5 1 7 6 2
^ ^ (^)
A^ T.
9.1. Propiedades que Cumple la Transposición de Matrices:
- ^ A^ ^ B^ ^ T^ ^ AT^ BT
- T^ T A A
- ^ kA^ ^ T^ kAT si k es un escalar.
- ^ AB^ ^ T^ B AT^ T 10. Matriz Simétrica:
Una matriz cuadrada An es simétrica si y sólo si An AnT. En una matriz simétrica se
cumple que aij aji para todos los valores de i y j. Es decir, los elementos que
equidistan de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
^
(^) A es simétrica ya que
^
A A^ T
Además a 12 (^) a 21 (^) 4, a 13 (^) a 31 (^) 5 y a 23 (^) a 32 2.
11. Matriz Antisimétrica:
Una matriz cuadrada es antisimétrica si y sólo si An AnT. En una matriz antisimétrica
se cumple que aij 0 si i j y aij aji si i j. Es decir, los elementos de la
diagonal principal son iguales a cero y los elementos que equidistan de ella son
opuestos.
Ejemplo:
Sea
^
A , entonces
^
A^ T y
^
A A^ T.
Además a 11 (^) a 22 (^) a 33 0 y a 12 (^) a 21 (^) , a 13 (^) a 31 (^) y a 23 (^) a 32
12. Matriz Normal:
Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta, esto es, si AAT A AT. Observe
que si A es simétrica o antisimétrica, es necesariamente normal.
Ejemplo: Sea
A. Entonces:
AA^ T y
6 3 6 3 45 0 3 6 3 6 0 45
^ ^ ^ ^
A A^ T.
Puesto que AAT A AT , la matriz A es normal.
Compruebe si la matriz
^
^ A es normal.
15. Dependencia Lineal de las Filas y Columnas de una Matriz:
Una fila o columna de una matriz es linealmente dependiente de otras cuando es una
combinación lineal de las mismas.
Ejemplo: En el ejemplo anterior, la fila 3 es linealmente dependiente porque es
combinación lineal de las filas 1 y 2.
16. Independencia Lineal de las Filas y Columnas de una Matriz:
Varias filas o columnas de una matriz son linealmente independientes, o no existe una
relación lineal entre ellas, cuando ninguna se puede expresar como combinación lineal
de las otras.
Ejemplo: La matriz
^
A tiene sus tres filas linealmente
independientes.
17. Rango o Característica de una Matriz h A :
Es el número máximo de filas o columnas linealmente independiente que posee la
matriz. Si una fila o columna de una matriz es combinación lineal de otras paralelas a
ella, al suprimirla se obtiene otra matriz de igual característica.
Ejemplo: En la matriz
^
^ A se verifica que F 3^ ^2 F 1^ F 2 por tanto la
característica de A es igual a 2 es decir que h A ^2.
18. Matriz Ampliada:
Es aquella que resulta al agregar por la derecha, a una matriz dada, otra matriz de igual
número de filas.
Ejemplos:
- sean las matrices
^ ^
^ A (^) y
^ ^
^ B la matriz ampliada A / B viene
dada por / 3 2 4 :^2 5 1 7 : 1 1
^ ^
A B
- Sea la matriz
^
A , la matriz ampliada
^
A I
19. Transformaciones u Operaciones Elementales en una Matriz:
Son operaciones que se realizan sobre las filas o columnas de una matriz sin alterar ni
su orden ni su característica o rango. Las tres transformaciones elementales son:
Intercambio de dos filas o columnas.
Multiplicar una fila o columna por un escalar diferente de cero.
Sumar a una fila o columna una o más filas o columnas previamente multiplicadas por un escalar diferente de cero.
20. Matrices Equivalentes:
Dos matrices A B son equivalentes ( A B )si una es obtenida de la otra mediante una
o más transformaciones elementales. Las matrices equivalentes tienen el mismo orden e
igual característica.
Ejemplo:
Sean
^
^ A ,
^
^ B ,
^
^ C y
^
D
