UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR
Departamento de Matemáticas
APUNTES DE CÁLCULO I
Primer curso de E.T.S DE TELECOMUNICACIONES
CURSO 2005–06
Apuntes elaborados por:
Alberto Portal Ruiz
Juan José Teixidó Gómez
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Apuntes de Cálculo I: Propiedades de los Números Reales - Prof. Portal Ruiz, Resúmenes de Cálculo
Documento de apuntes elaborados por alberto portal ruiz y juan josé teixidó gómez durante el curso 2005-06 del primer curso de e.t.s de telecomunicaciones de la escuela politécnica superior de la universidad carlos iii de madrid. Contiene la descripción de distintas clases de números reales, sus propiedades y operaciones como suma y producto.
Tipo: Resúmenes
Antes del 2010
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UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR
Departamento de Matemáticas
APUNTES DE CÁLCULO I
Primer curso de E.T.S DE TELECOMUNICACIONES
CURSO 2005–
Apuntes elaborados por:
Alberto Portal Ruiz
Juan José Teixidó Gómez
1 EL CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES
1. Clases de números. Describimos distintas clases de números y sus propiedades.
- Los números más sencillos son los números naturales. Representaremos dicho conjunto con el símbolo N. Así, podemos escribir: N = { 1 , 2 , 3 ,.. .} (excluimos el 0).
Se pueden definir en N dos operaciones: La SUMA (+) y el PRODUCTO (·)
PROPIEDADES
SUMA: Cerrada, Asociativa, Conmutativa, sin Elemento neutro (pues 0 ∈/ N) PRODUCTO: Cerrada, Asociativa, Conmutativa, Elemento neutro (pues 1 ∈ N) DISTRIBUTIVA del producto respecto de la suma.
La propiedad más interesante de N es el principio de INDUCCIÓN MATEMÁTICA. Supongamos que P(x) significa que la propiedad P se cumple para el número x. Entonces el principio de inducción afirma que: P(x) es cierta ∀x ∈ N, siempre que: a) P(1) se cumple. b) Si P(k) se cumple, también P(k + 1).
Otra formulación del principio de inducción afirma que: Si A es un conjunto de números naturales y a) 1 ∈ A b) k + 1 ∈ A siempre que k ∈ A entonces A = N.
- Otro conjunto de números son los números enteros, que representamos mediante el símbolo Z, (del alemán "Zahl", número) Z= {... − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ,.. .} PROPIEDADES
SUMA: Cerrada, Asociativa, Conmutativa, Elemento neutro, (pues 0 ∈Z), Elemento Simétrico (opuesto). PRODUCTO: Cerrada, Asociativa, Conmutativa, Elemento neutro (pues 1 ∈Z). DISTRIBUTIVA del producto respecto de la suma.
- Un conjunto aún más amplio es el formado por cocientes de números enteros (con denom- inadores no nulos). Este conjunto es el de los números racionales que se designa por Q, (del inglés "quotient", cociente) Q=
p q :^ p, q^ ∈^ Z,^ con^ q^6 = 0
Definición.- Un conjunto A de números reales (A ⊂R) se dice que está acotado supe- riormente si existe un número x tal que x > a ∀ a ∈ A. Definición.- Un número x con esta propiedad se dice que es una cota superior de A.
Definición.- Se dice que un número x es una cota superior mínima o SUPREMO de A, y lo escribiremos sup A si: i) x es una cota superior de A ii) si y es una cota superior de A =⇒ x 6 y
Definición.- Un conjunto A de números reales (A ⊂R) se dice que está acotado infe- riormente si existe un número x tal que x > a ∀ a ∈ A. Definición.- Un número x con esta propiedad se dice que es una cota inferior de A.
Definición.- Se dice que un número x es una cota inferior máxima o ÍNFIMO de A y lo escribiremos ínf A si: i) x es una cota inferior de A ii) si y es una cota inferior de A =⇒ y 6 x
2.2 PROPIEDAD DE COMPLETITUD DE R (del supremo)
Proposición.- SiA es un conjunto no vacío de números reales, y A está acotado superior- mente, entonces A tiene una cota superior mínima; es decir, tiene SUPREMO
Propiedad arquimediana de N.- N no está acotado superiormente.
Teorema.- ∀ε > 0 existe un número natural n tal que: (^) n^1 < ε.
Teorema.- (de los intervalos encajados de Cantor). Sean los números reales: a 1 , a 2 , · · · , an, · · · y b 1 , b 2 , · · · , bn, · · · tales que: a 1 6 a 2 6... 6 an 6... 6 bn 6... 6 b 2 6 b 1 entonces: (^) ∞ ⋂
i=
[ai, bi] contiene al menos un punto.
NOTA: El teorema no se cumple en general si los intervalos no son cerrados.
2.3 MÉTRICA DE R
Definición.- Se llama valor absoluto (o módulo) del número real x al mismo número x, si x > 0 y −x si x < 0. Usando símbolos matemáticos: |x|
|x| =
x si x > 0 −x si x < 0
Propiedades. ∀x ∈R Se cumple: i) |x| > 0 ii) |x| = | − x| iii) −|x| 6 x 6 |x| iv) Si ε > 0 entonces las desigualdades: |x| 6 ε y − ε 6 x 6 ε son equivalentes
Teorema.- Propiedad Triangular x, y ∈R entonces: |x + y| 6 |x| + |y|
Teorema.- x, y ∈R entonces |x − y| > |x| − |y|
Teorema.- i) Si x, y ∈R entonces |x · y| = |x| · |y| ii) Si x, y ∈R con y 6 = 0 entonces |xy | = ||xy||
Definición.- La distancia entre dos números reales, x, y, se define por d(x, y) = |x−y|
PROPIEDADES
i) d(x, y) > 0 , d(x, y) = 0, si y sólo si x = y ii) d(x, y) = d(y, x) iii) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y); ∀x, y, z ∈ R (Desigualdad triangular)
2.4 NUMERABILIDAD
Definición.- Se dice que un conjunto A es numerable si es posible disponer sus ele- mentos en una sucesión: a 1 , a 2 , a 3 ,... , an,...
Teorema.- R no es numerable.