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3.- SERIES DE NÚMEROS REALES
- Concepto de serie convergente. 2. Series geométrica y armónica.
- Series telescópicas. 4. Criterio de Cauchy.
- Series de términos no negativos. 6. Convergencia absoluta.
- Series alternadas.
- Concepto.
Definición.- La sucesión {xn} es sumable si la sucesión {sn} converge, siendo
sn = x 1 + · · · + xn
en este caso, se designa: lím n→∞ sn por:
n=
xn suma de la sucesión {xn}
Condición del resto.
Teorema.- Si la sucesión {xn} es sumable, entonces: lím n→∞ xn = 0
2.- Series geométrica y armónica.
Este tipo de serie es de la forma:
∑^ ∞ n=
rn^ = 1 + r + r^2 + r^3 + · · ·
Unicamente son interesantes los casos en los que | r| < 1 , pues si | r| > 1 los términos individuales no tienden a cero. Sus sumas parciales pueden operarse de manera fácil.
∑^ ∞
n=
rn^ = lím n→∞
1 − rn+ 1 − r
1 − r
| r| < 1
La serie
∑^ ∞
n=
n
no es sumable, y lím n→∞
1 n = 0
︸ ︷︷ ︸^4
2 · 14 = (^12)
4 · 18 = (^12)
8 · 161 = (^12)
Esto demuestra que
n=
1 n no converge. Esta serie recibe el nombre de^ serie armónica
3.- Series telescópicas.
Definición.- Una serie
n=
xn es telescópica si se puede escribir:
xn = yn − yn+1 para alguna sucesión {yn} y para todo n ∈ N. En cuyo caso la serie es convergente ⇐⇒ {yn} tiene límite finito, y entonces,
∑^ ∞
n=
xn =
∑^ ∞
n=
(yn − yn+1) = y 1 − lím n→∞ yn
4.- Criterio de Cauchy
Teorema.- Sean a =
n=
xn y b=
n=
yn dos series convergentes. Entonces, para cada
par de constantes α y β, la serie
∑^ ∞
n=
αxn + βyn
converge hacia la suma αa + βb
Teorema.- (Criterio de Cauchy) La serie
n=
xn converge si, y sólo si, para cada ε > 0 existe N ∈ IN tal que si n > N ,
=⇒ | xn+1 + · · · + xn+p | < ε para cada p = 1, 2 , 3 , · · ·
5.- Series de términos no negativos.
Teorema.- (Criterio de acotación) Una sucesión no negativa {xn} es sumable si, y sólo si, el conjunto de las suma parciales sn es acotado.
Teorema.- (Criterio de comparación I). Supongamos que 0 6 xn 6 yn para todo n ∈ N. Entonces: i) si
n=
yn converge⇒ converge
n=
xn. ii) Si
n=
xn diverge ⇒
n=
yn diverge
Teorema.- (Criterio de condensación de Cauchy) Si {xn} es monótona decreciente con xn > 0 , entonces la serie
n=
xn converge si, y sólo si, la serie
n=
2 nx 2 n es con- vergente.
Teorema.- (Criterio o prueba de Raabe). En una serie de términos positivos, si lím n→∞
n
xn+ xn
= r existe, entonces
n=
xn converge si r > 1 y diverge si r < 1.
Si r = 1 y, además, n
xn+ xn
< 1 a partir de un cierto índice, entonces la serie diverge.
Teorema.- (Criterio logarítmico). En una serie de términos positivos, Si lím n→∞
− log xn log n
= r existe, entonces
n=
xn converge si r > 1. En el caso de que r < 1 la serie es divergente.
Teorema.- (Criterio o prueba de Gauss). Si xn > 0 (n ∈ N) y
xn xn+
= α +
β n
γn n1+δ^
, donde | γn| < c, y δ > 0 , entonces:
i) Con α > 1 la serie
n=
xn converge, y con α < 1 , diverge.
ii) con α = 1 la serie
n=
xn converge si β > 1 y diverge si β 6 1.
6.- Convergencia absoluta.
Definición.- La serie
n=
xn es absolutamente convergente si la serie
∑^ ∞
n=
| xn| es con-
vergente.
Teorema.- Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Corolario.- Una serie es absolutamente convergente si, y sólo si la serie formada con sus términos positivos y la serie formada con sus términos negativos son ambas convergentes.
7.- Series alternadas.
Teorema.- (Criterio o prueba de Leibniz). Supóngase que x 1 > x 2 > x 3 > · · · > 0 , y que lím n→∞ xn = 0. Entonces es convergente la serie:
∑^ ∞
n=
(−1)n+1xn = x 1 − x 2 + x 3 − · · ·
Definición.- Las series del tipo de las que aparecen en el criterio de Leibniz se llaman series alternadas
Otros resultados de interés.
Definición.- Una reordenación de una sucesión {xn} es otra sucesión que contiene todos los términos de {xn} , y sólo estos, pero en distinto orden.
Teorema.- Si
n=
xn converge, pero no converge absolutamente, entonces para cualquier
α ∈R existe una reordenación {yn} de {xn} tal que
n=
yn= α.
Teorema.- Si
n=
xn converge absolutamente, e {yn} es una reordenación cualquiera
de {xn} , entonces
n=
yn también converge (absolutamente), y
∑^ ∞
n=
xn =
∑^ ∞
n=
yn
Teorema.- Si las series
n=
xn= A ;
n=
yn= B convergen absolutamente, entonces:
i) La suma es absolutamente convergente y
∑^ ∞
n=
xn + yn
= A + B
ii) Si {zn} es una sucesión cualquiera que contiene los productos xi · yj para cada par (i, j), entonces es absolutamente convergente y
∑^ ∞
n=
zn =
∑^ ∞
n=
xn ·
∑^ ∞
n=
yn = A · B
