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5.- ESTUDIO LOCAL DE UNA FUNCIÓN
Definición.- El polinomio p (una notación mejor sería pn,a o incluso pn(x, f, a)) se llama polinomio
de Taylor de grado n para f en a pn(x, f, a) =
∑^ n
k=
f k)(a) k!
(x − a)k
Teorema.- Si existe f ′(a), ...., f n)(a) y se define: pn,a(x) = a 0 + a 1 (x − a) + .... + an(x − a)n, siendo ak = f^
k)(a) k! para^ k^ = 0,^1 , ..., n; entonces
x^ lim→a
f (x) − pn− 1 ,a(x) (x − a)n^
f n)(a) n!
y lim x→a
f (x) − pn,a(x) (x − a)n^
Notación de Landau ("o minúscula") Se escribe:
f ︸ (x) = o︷︷(( x − a)n︸ x→a
) cuando: (^) xlim→a
f (x) (x − a)n^
= 0 en tal caso : (^) xlim→a o((x − a)n) = 0
Teorema.- (Infinitésimos equivalentes) Si f (a) = f ′(a) = ...... = f n−1))(a) = 0 y f n)(a) 6 = 0
entonces: lim x→a
f (x) · h(x) g(x)
f n)(a) n! xlim→a
(x − a)n^ · h(x) g(x) El resultado es cierto si se sustituye x → a por x → a+^ o bien x → a−
Nota.- el resultado es igualmente cierto para límites laterales. La expresión:
f n)(a) · (x − a)n n!
suele llamarse infinitésimo equivalente de f cuando x tiende hacia a
Teorema.- Sea pn(x, f, a) el polinomio de Taylor n-ésimo (de grado n) de la función f en el punto a. Entonces: i) Si α ∈R, pn(x, αf, a) = αpn(x, f, a) ii) pn(x, f + g, a) = pn(x, f, a) + pn(x, g, a)
iii) pn(x, f · g, a) = pn
x, pn(x, f, a) · pn(x, g, a), a
iv) pn(x, f ′, a) = p′ n+1(x, f, a) v) pn(x,
∫ (^) x a f, a) =^
∫ (^) x a pn−^1 (t, f, a)dt vi) Siα ∈R, pnm(x, f (αxm), 0) = pn(αxm, f, 0) vii) pn+m(x, (x − a)mf, a) = (x − a)mpn(x, f, a) viii) Si pn(x, f, a) no contiene potencias de (x − a) de orden 0 , 1 , 2 , · · · , m − 1 y n ≥ m,entonces:
pn−m
x,
f (x − a)m^
, a
pn(x, f, a) (x − a)m
Teorema.- Supóngase que f ′(a) = .... = f n−1)(a) = 0, f n)(a) 6 = 0. Entonces:
i) Si n es par y f n)(a) > 0 , entonces f tiene un mínimo local en a ii) Si n es par y f n)(a) < 0 , entonces f tiene un máximo local en a iii) Si n es impar, entonces f no tiene ni máximo ni mínimo local en a, es punto de inflexión
Nota.- Este teorema tiene algunas limitaciones, pues puede ocurrir que las derivadas f k)(a) sean nulas para todo k.
Teorema.- (de Taylor) Si f tiene n + 1 derivadas en el intervalo [a, x], y que Rn,a(x) está definido por: f (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) + ... +
f n)(a) n!
(x − a)n^ + Rn,a(x)
Entonces: i) Rn,a(x) = f^
n+1)(ξ) (n+1)! ·^ (x^ −^ a)
n+1 (^) para algún ξ ∈ (a, x).
ii) Rn,a(x) = f^
n+1)(ξ) n! ·^ (x^ −^ ξ)
n (^) · (x − a) para algún ξ ∈ (a, x).
iii) Si f n+1)^ es integrable sobre [a, x], entonces:
Rn,a(x) =
∫ (^) x
a
f n+1)(t) n!
· (x − t)ndt
Notas.-
i) Si x < a entonces debe suponerse que f tiene n + 1 derivadas en [x, a], y el número ξ estará entonces en (x, a). Para el último caso, f n+1)^ debe ser integrable sobre [x, a]. ii) La fórmula (i) recibe el nombre de resto de Lagrange, la (ii) es el resto de Cauchy, mientras que (iii) es la expresión integral del resto. iii) Observamos también que Rn,a(x) = o((x − a)n).
