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4.- FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
1.- Concepto de función 8.- Derivabilidad.Interpretación geométrica. 2.- Funciones elementales. 9.- Derivadas laterales. 3.- Operaciones con funciones. 10.- Der. de las funciones compuestas. 4.- Límites funcionales. 11.- Derivadas de las funciones elementales. 5.- Continuidad. 12.- Der. de las funciones inversas. 6.- Funciones continuas. 13.- Propiedades locales de las funciones. 7.- Continuidad en intervalos cerrados. 14.- Teorema de L'Hôpital.
- Concepto.
Dedicamos este tema al estudio de las funciones reales de variable real. El concepto de función es algo fundamental no solo en el cálculo sino en todas las matemáticas en su conjunto.
De nición.- Una función es una regla cualquiera que hace corresponder un número real, y solo uno, a cada número de un cierto conjunto. Se escribe f (x) para indicar el valor de un función f en el punto x. Dicho de manera equivalente, una función es una colección de pares de números reales con la propiedad : si (x,y) y (x,z) pertenecen ambos a la colección, entonces y = z. Si (x,y) es uno de estos pares, se escribe y = f (x)
Ejemplos.- 1.- La regla que asigna a cada número real su cuadrado, f (x) = x^2.
2.- La regla que asigna a cada número real no nulo su inverso: f (x) =
x 3.- La regla que asigna a cada número irracional el 0 y al resto el 1
f (x) =
1 , si x ∈ Q 0 , si x /∈ Q
Una función no tiene porque estar de nida para todo número real, lo que nos hace de nir:
De nición.- El dominio de una función es el conjunto de números para los que está de nida. Lo designamos por Dom(f )
En los ejemplos dados anteriormente, el dominio en los casos primero y tercero es todo el conjunto de los números reales, R, mientras que en el segundo es el conjunto R- {0}. Es habitual escribir f : A −→ B para indicar que A es el dominio y B es el conjunto nal. A cada número de A, la función f le asocia un único número de B.
De nición.- La imágen de una función es el conjunto de los valores y tales que existe un número x con f (x) = y. Lo designamos por Im(f ).
En los ejemplos anteriores se tiene:
Im(f ) = [0, +∞), Im(f ) = R{ 0 } Im(f ) = { 0 , 1 }
- Funciones elementales
Algunos tipos de funciones elementales son: polinómicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc
x
y
Parábola f(x)=x^2 y= sen x
- Operaciones con funciones.
De nición.- i) Suma.(f + g)(x) = f (x) + g(x). Dom(f + g) = Dom(f ) ∩ Dom(g). ii) Producto. (f · g)(x) = f (x) · g(x). Dom(f · g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)
iii) Cociente.
(f g
(x) =
f (x) g(x)
Dom
f g
= Dom(f ) ∩
Dom(g) \ {x : g(x) 6 = 0}
iv) Composición.(f ◦ g)(x) = f (g(x)) Dom
f ◦ g
= {x ∈ R x ∈ Dom(g) y g(x) ∈ Dom(f )}
- La composición de funciones es asociativa: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) Ejemplo.- Sean las funciones: f (x) = senx, g(x) = x^2 Entonces, (f + g)(x) = sen x + x^2 ((f · g)(x) = (sen x) · x^2 = x^2 · sen x f g
(x) = senx 2 x (f ◦ g)(x) = sen
x^2
La composición de funciones, en general, no es conmutativa. (g ◦ f )(x) = sen^2 x,
- Límites funcionales.
El concepto de límite es esencial en el análisis matemátivo. No obstante puede ser com- plicado entenderlo; basta indicar que llegar a él fue una tarea larga y ardua, necesitándose varios siglos hasta poder precisarlo adecuadamente.
f(x)=xsen(x−1)*
Parece que f tiende a 0 cerca de 0. ¾Es posible que f (x) esté tan próximo a 0 como se quiera, aunque sea distinto de 0? Supongamos, por ejemplo, que f (x) está a menos de 1/10 de 0. Esto quiere decir que:
< x · sen
x
∣x^ ·^ sen
x
∣ <^
Dado que
∣sen
x
∣ 6 1 para todo^ x^6 = 0, se tiene ∣ ∣ ∣ ∣x^ ·^ sen
x
∣ 6 |x|,^ para todo^ x^6 = 0
Esto signi ca que si |x| < 1 / 10 y x 6 = 0 entonces |xsen(1/x)| < 1 / 10. Si en lugar de 1/ se escoge un número ε > 0 arbitrario, entonces |f (x) − 0 | < ε siempre que |x| < ε y y x 6 = 0 Consideremos ahora la función
f (x) =
1 , si x ∈ Q 0 , si x /∈ Q
En este caso f no tiende cerca de a a ningún número `, cualquiera que sea a. En efecto, no
es posible hacer, por ejemplo, que se tenga |f (x) − `| <
, por mucho que x se aproxime
a a, pues se debería tener a un tiempo | 0 − | < 1 / 4 y | 1 −| < 1 / 4 , o de forma equivalente, − 1 / 4 < l < 1 / 4 y 3 / 4 < l < 5 / 4 , lo cual es imposible. Si bien sería posible citar algunos ejemplos más ya podemos considerar que estamos en condiciones de dar una de nición rigurosa del concepto de límite.
De nición.- La función f tiende hacia el límite en a, y se escribe lím x→a f (x) = o también f (x) −→ cuando x −→ a, signi ca: ∀ε > 0 existe algún δ(ε) > 0 tal que, para todo x , si: 0 < |x − a| < δ entonces | f (x) −| < ε
También existe la siguiente formulación equivalente:
De nición.- El número se llama límite de la función f (x) en el punto x = a (o para x −→ a), si para toda sucesión {xn} que converge al número a de los valores del argumento xn, distintas de a, la sucesión f (xn) converge a.
Para la negación de la de nición de límite escribimos:
De nición.- Decimos que la función f no tiende hacia el límite en a si existe ε > 0 tal que para todo δ > 0 existe algun x para el cual 0 < |x − a| < δ y, sin embargo, | f (x) −| > ε
Un primer teorema importante es el siguiente:
Teorema.- Una función no puede tender hacia dos límites distintos en a. Es decir, lím x→a f (x) = y lím x→a f (x) = m =⇒ = m.
Esta propiedad viene heredada de los límites de sucesiones. Demostración.- lím x→a f (x) = signi ca que si 0 < |x − a| < δ 1 entonces |f (x) −| < ε.
por otro lado, lím x→a f (x) = m signi ca que si 0 < |x − a| < δ 2 entonces |f (x) − m| < ε.
Si δ = min{δ 1 , δ 2 } se puede decir que si 0 < |x − a| < δ entonces |f (x) − `| < ε y
también |f (x) − m| < ε. Tomando ahora ε = |`− 2 m |> 0.
| | | m ︸ ︷︷ ︸ |−m| 2
|`−m| 2
Entonces,
|− m| = | − f (x) + f (x) − m| 6 |` − f (x)| + |f (x) − m| <
|` − m| 2
|` − m| 2
= |` − m|.
Se tendría |− m| < | − m|, lo que es una contradicción.
2.- Demostrar que: lím x→ 0 sen x = 0, siendo x > 0 Si 0 < x < π 2 =⇒ 0 < sen x < x Puesto que lím x→ 0 +^
0 = lím x→ 0 +^
x = 0, se tiene: lím x→ 0 +^
sen x = límx→ 0 x> 0
sen x = 0
Dos límites notables.
3.- lím x→ 0
sen x x
B C
O
x D A
r
De la gura se deduce: Si OA = r = 1
=⇒
sen x = BD tg x = AC área del sector OAB = 12 x ( s = 12 θr^2
Se tienen las desigualdades Como el ángulo central es igual al arco: sen x < x < tg x =⇒
1 2 sen^ x <^
1 2 x <^
1 2 tg^ x^ (0^ < x <^
π 2 ) sen x < x =⇒ senx x< 1 x < tg x =⇒ x < sen cos^ xx =⇒ cos x < senx^ x
de donde resulta
cos x <
sen x x
Al ser sen
(x 2
< 1 , se tiene que sen^2
(x 2
< sen
(x 2
y de aquí
1 − cos x = 1 −
cos^2
(x 2
− sen^2
(x 2
= 2 sen^2
(x 2
< 2 sen
(x 2
x 2
= x
De (1) se deduce que: 0 < 1 − senx^ x< 1 − cos x < x, para 0 < x < π/ 2 Sea ahora ε > 0 y δ = min{ε, π/ 2 }. Si 0 < x < δ se cumple x < ε, luego,
0 < 1 −
sen x x
< ε =⇒
sen x x
∣ < ε
Por tanto: límx→ 0 x> 0
sen x x
Observando ahora que f (x) = senx^ xes una función par (f(x) = f(-x)) se sobtiene el mismo resultado si x < 0. Por lo tanto,
lím x→ 0
sen x x
Con ayuda de este límite se pueden calcular otros.
4.- Hallar lím x→ 0
1 − cos x x
lím x→ 0
1 − cos x x
= lím x→ 0
2 sen^2 x 2 x
= lím x→ 0
sen x 2 x 2
· sen
x 2
= lím x→ 0
sen x 2 x 2
· lím x→ 0 sen
x 2
5.- Hallar lím x→ 0
tg x x
lím x→ 0
tg x x
= lím x→ 0
sen x x
lím x→ 0
cos x
Nota.- A partir de las desigualdades sen x < x y 1 − cos x < x si: 0 < x < π/ 2 es fácil probar que: lím x→ 0 sen x = 0, lím x→ 0 cos x = 1
6.- Otro límite importante:
lím n→∞
x
)x = e = lím f (x)→∞
f (x)
)f (x) = lím f (x)→ 0
1 + f (x)
) (^) f ( (^1) x)
Límites cuando x −→ ∞
De nición.- El número l se llama límite de la función f cuando x → ∞ (resp −∞ ) si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x tal que x > δ (resp x < −δ) se cumple |f (x) − l| < ε
Ejemplo.- lím x→∞
x + 1 2 x + 1
Dado ε > 0 debe existir δ > 0 tal que si |x| > δ, entonces
x + 1 2 x + 1
∣ < ε.
Se tiene:
x + 1 2 x + 1
∣ =^
| 2 x + 1|
< ε.
Puesto que: | 2 x + 1| > | 2 x| − 1 =⇒ (^) | 2 x^1 +1| < (^) | 2 x^1 |− 1 < ε
Por tanto despejando:
| 2 x| − 1
< ε =⇒ | 2 x| − 1 >
ε
=⇒ |x| >
ε
= δ
Basta tomar δ = (^12)
1 + (^1) ε
Ejemplos.- 1.- La función
f (x) =
x^2 si x 6 0 x + 1 si x > 0 no tiene límite en el punto x = 0. .
lím x→ 0 +^
f (x) = lím x→ 0 +
(x + 1) = lím x→ 0 (x + 1) = 1 lím x→ 0 −^
f (x) = lím x→ 0 −
(x^2 ) = lím x→ 0 (x^2 ) = 0
=⇒ como 1 6 = 0 =⇒ no existe el límite.
2.- La función
f (x) =
x si x < 0 sen x si x > 0 tiene límite en el punto x = 0
lím x→ 0 +^
f (x) = lím x→ 0 +^
sen x = lím x→ 0
sen x) = 0 lím x→ 0 −^
f (x) = lím x→ 0 −^
x = lím x→ 0 x = 0
=⇒ lím x→ 0 f (x) = 0
- Continuidad.
El concepto de continuidad de una función suele aparecer ligado, intuitivamente, con la idea de que la grá ca de la función puede trazarse " sin levantar el lápiz del papel"; es decir, que no se presentan interrupciones, ni saltos ni oscilaciones del tipo que se presentan en las siguientes guras:
.
a
f(a)
x
y
Sin embargo, la idea intuitiva no es rigurosa y puede haber excepciones. En los casos anteriores se tiene lím x→a f (x) 6 = f (a), lo que queremos evitar al dar la de nición
de continuidad:
De nición.- La función f es continua en a si: lím x→a f (x) = f (a)
Traducir esta última ecuación al lenguaje de los límites signi ca:
De nición.- La función f es continua en a si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que, para todo x, si |x − a| < δ, entonces |f (x) − f (a)| < ε
Nota.- En la de nición anterior se ha cambiado 0 < |x−a| < δ por la condición |x−a| < δ pues si x = a se cumple sin duda que |f (x) − f (a)| < ε.
Ejemplos.-
- La función f (x) = x sen(1/x) no es continua en x = 0 al no estar de nida en ese punto.
- La función:
g(x) =
x sen( (^1) x ) si x 6 = 0 0 si x = 0 si es continua en 0 puesto que lím x→ 0 x^ sen(1/x) = 0 =^ g(0).
- Las funciones f (x) = c con (c ∈ R), g(x) = x y h(x) = x^2 son continuas en todo punto pues se cumple la de nición de continuidad.
- Funciones continuas
A través de los dos próximos teoremas se pueden obtener más ejemplos de funciones con- tinuas:
Teorema.- Si f y g son continuas en a, entonces: i) f + g es continua en a. ii) f · ges continua en a. Además, si g(a) 6 = 0, entonces: iii) 1 /g es continua en a. Como consecuencia de ii) y iii) se tiene: iv) fg es continua en a si g(a) 6 = 0.
Demostración.- (Únicamente veremos i)) Puesto que f y g son continuas en a,
lím x→a (f + g)(x) = lím x→a f (x) + lím x→a g(x) = f (a) + g(a) = (f + g)(a).
- Propiedades de las funciones continuas en intervalos cerrados.
Teorema.- (De Bolzano) Si f es continua en [a, b] y f (a) · f (b) < 0 , entonces existe algún número x en [a, b] tal que f (x) = 0
a α b
A
y
x
Demostración.- Supongámos que f (a) < 0 < f (b). De namos el conjunto A como sigue:
A =
x ∈ R : a 6 x 6 b, y f es negativa en [a, x]
A 6 = ∅ pues a ∈ A y, además, al ser f continua en [a, b] y f (a) < 0 se sigue que existe δ > 0 tal que A contiene todos los puntos x que cumplen a 6 x < a + δ. Además, b es una cota superior de A y, al ser f continua en [a, b] y f (b) > 0 existe δ > 0 tal que todos los puntos x que satisfacen b − δ < x 6 b son cotas superiores de A. Por lo tanto, A tiene una cota superior mínima, que designamos por α, y a < α < b.
Hay que demostrar que f (α) = 0, descartando los casos f (α) < 0 y f (α) > 0. Supongámos primero que f (α) < 0. Dado que f es continua, existe δ > 0 tal que f (α) < 0 para α − δ < x < α + δ. Ahora bien, existe x 0 ∈ A tal que α − δ < x 0 < α (de otra forma α no sería el supremo de A). En tal caso, f es negativa en [a, x 0 ]. Pero si x 1 esta en (α, α + δ) entonces f es negativa en [a, x 1 ], de tal suerte que x 1 ∈ A, lo que contradice el hecho de que α es una cota superior de A. Por tanto, no puede ser cierto que f (α) < 0. Supongamos ahora que f (x) > 0. Entonces existe α > 0 tal que f (α) > 0 para α − δ < x < α + δ. En tal caso existe x 0 ∈ A tal que α − δ < x 0 < α; esto signi ca que f es negativa en [a, x 0 ], lo que es imposible, pues f (α) > 0. Así pues no puede ocurrir que f (x) > 0 , y sólo cabe suponer que f (α) = 0
a x 0^ α x 1 b
f
x
y
a x 0 α b
f
Este teorema tiene consecuencias interesantes.
Teorema.- (Teorema del valor intermedio). Si f es continua en [a, b] y: i) f (a) < c < f (b), entonces existe algún x ∈ [a, b] tal que f (x) = c. ii) f (a) > c > f (b), entonces existe algún x ∈ [a, b] tal que f (x) = c.
Demostración.- i) Sea g = f − c. Entonces g es continua, y g(a) < 0 < g(b). Según el teorema de Bolzano, existe algún x ∈ [a, b] tal que g(x) = 0. Esto signi ca que f (x) = c. ii) La función (−f ) es continua en [a, b] y (−f )(a) = −f (a) < −c < −f (b) = (−f )(b). Por tanto, existe algún x ∈ [a, b] tal que −f (x) = −c, o también f (x) = c.
Nota.- Este teorema demuestra que f toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b).
Ejemplos.-
- La ecuación x^5 − 18 x + 2 = 0 tiene al menos una raiz en el intervalo [− 1 , 1]. Sea f (x) = x^5 − 18 x + 2 que es continua en [− 1 , 1]. Además, f (−1) = 19, f (1) = − 15. Por lo tanto f (−1) · f (1) < 0. ⇒ existe algún x ∈ [− 1 , 1] tal que f (x) = 0.
- La función f (x) = x 3 4 −^ sen^ πx^ + 3^ toma el valor 3 cuando^ x^ ∈^ [−^2 ,^ 2] Se tiene f (−2) = 1, f (2) = 5, y f es continua en[− 2 , −2] Puesto que 1 < 3 < 5 existe x ∈ [− 2 , 2] tal que f (x) = 3
Teorema.- Si f es continua en a ⇒ ∃δ > 0 tal que f está acotada superiormente en el intervalo (a − δ, a + δ).
Demostración.- Puesto que f es continua en a, existe, para todo ≤ > 0 , un δ > 0 tal que, para todo x, si |x − a| < δ, entonces |f (x) − f (a)| < ≤. Sea, por ejemplo, ε = 1. En tal caso, existe δ > 0 tal que, para todo x si |x − a| < δ, entonces |f (x)−f (a)| < 1. Entonces, en el intervalo (a−δ, a+δ) la función f está acotada superiormente por f (a) + 1.
Teorema.- Si f es continua en [a, b], entonces f está acotada superiormente en [a, b]
Demostración.- Sea A = {x ∈ R : a 6 x 6 b y f está acotada superiormente en (a, x)} Es evidente que A 6 = ∅ (a ∈ A), y está acotado superiormente (por b), de modo que A tiene una cota superior mínima, β. Hay que probar que, en realidad, β = b. Supongámos, lo contrario,que β < b. Según el teorema anterior, existe δ > 0 tal que f está acotada en (β − δ, β + δ).
Teorema.- Si f es continua en [a, b], entonces existe un número y ∈ [a, b] tal que f (y) > f (x) para todo x ∈ [a, b]
Demostración.- Ya sabemos que f está acotada en [a, b], lo que signi ca que el con- junto {f (x) : x ∈ [a, b]} está acotado. Es evidente que es no vacío (de otra forma f no estaría de nida en [a, b]) y, por tanto, tiene una cota superior mínima. Sea α = sup{f (x) : x ∈ [a, b]}, de forma que α > f (x) para todo x ∈ [a, b]. Hay que ver que α = f (y) para algún y ∈ [a, b]. Supongámos lo contrario; es decir que α 6 = f (y) para todo y ∈ [a, b]. Se de ne la función g como : g(x) = (^) α−^1 f (x) , con x ∈ [a, b].
Esta función es continua en [a, b] (el denominador no se anula). Puesto que α es el supremo de f (x) : x ∈ [a, b] ⇒ ∀≤ > 0 existe x ∈ [a, b] con α − f (x) < ≤, ⇒ ∀≤ > 0 existe x ∈ [a, b] con g(x) > (^1) ≤. Hemos construido una función, g, continua en [a, b] pero que no está acotada en este intervalo, lo cual es una contradicción.
Corolario.- Si f es continua en [a, b], entonces existe algún y ∈ [a, b] tal que f (y) 6 f (x) para todo x ∈ [a, b].
Demostración.- La función (−f ) es continua en [a, b]; de modo que existe y ∈ [a, b] tal que −f (y) > −f (x) para todo x ∈ [a, b] ⇒ f (y) 6 f (x) para todo x ∈ [a, b].
Los dos teoremas anteriores dan el siguiente resultado.
Teorema.- De Weierstrass Si f es continua en [a, b], entonces alcanza su máximo y su mínimo en este intervalo.
Para nalizar citemos, sin prueba, algunos resultados de interés que son consecuencia de los teoremas anteriores.
Teorema.- Todo número positivo posee raiz cuadrada. Es decir, si α > 0 , entonces existe algún número x tal que x^2 = α.
Teorema.- Si n es impar, entonces la ecuación xn^ + an− 1 · xn−^1 + · · · + a 0 = 0 posee, al menos, una raiz.
Teorema.- Si n es par y f (x) = xn^ + an− 1 · xn−^1 + · · · + a 0 , entonces existe un número y tal que f (y) 6 f (x) para todo x.
- Derivabilidad. Interpretación geométrica
Las funciones continuas presentan un comportamiento "regular" (no hay interrupciones, ni saltos, ni oscilaciones en su grá ca) pero, aún así, se puede advertir alguna irregualridad en ellas.
f(x)=|x|
f(x)=x^2 f(x)=2x
f(x)=|x| 1/
Estas grá cas no son "suaves" en (0, 0).
De nición.- La función f es derivable en a si
lím h→ 0
f (a + h) − f (a) h
existe.
En este caso el límite se designa por f ′(a) y recibe el nombre de derivada de f en a. (Decimos también que f es derivable si f es derivable en a para todo a del dominio de f )
Derivadas de algunas funciones.
- f (x) = c, siendo c ∈ R
f ′(a) = lím h→ 0
f (a + h) − f (a) h
= lím h→ 0
c − c h
- f (x) = x f ′(a) = lím h→ 0
f (a + h) − f (a) h
= lím h→ 0
a + h − a h
- f (x) = x^2
f ′(a) = lím h→ 0
f (a + h) − f (a) h
= lím h→ 0
(a + h)^2 − a^2 h
= 2a
- f (x) = xn, siendo n ∈ IN
f ′(a) = n · an−^1 (se usa el binomio de Newton en la prueba)
Notación de Leibniz Para designar f ′(x) se emplean los símbolos:
df (x) dx
o bien
df dx
Para indicar la derivada en un punto, f ′(a), se escribe:
df dx
x=a
- Derivadas laterales
De nición.- La función f es derivable por la derecha en a si
lím h→ 0 +
f (a + h) − f (a) h
existe.
En este caso el límite se dsigna por f (^) +′(a) y recibe el nombre de derivada por la derecha de f en a.
De nición.- La función f es derivable por la izquierda en a si
lím h→ 0 −
f (a + h) − f (a) h
existe.
En este caso el límite se dsigna por f (^) −′(a) y recibe el nombre de derivada por la izquierda de f en a.
Ejemplo.- La función f (x) = |x| no es derivable para x = 0.
f ′(0) = lím h→ 0
f (0 + h) − f (0) h
= lím h→ 0
|h| h
no existe.
En efecto,
lím h→ 0 +
|h| h
= 1 6 = lím h→ 0 −
|h| h
(Estos dos límites son llamados derivada por la derecha y derivada por la izquierda respectivamente de f en 0 ) Un primer resultado importante es:
Teorema.- Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.
Demostración.-
lím h→ 0
f (a + h) − f (a)
= lím h→ 0
(a + h) − f (a) h
· h
= f ′(a) · lím h→ 0
h = f ′(a) · 0 = 0
⇒ lím h→ 0
f (a + h) − f (a)
= 0 ⇔ lím x→a
f (x) = f (a) ⇒ f es continua en a
Nota.- Todas las funciones examinadas hasta el momento han sido derivables en todos los puntos, con una excepción a lo sumo. Sin embargo, es fácil dar ejemplos de funciones que dejan de ser derivables en varios puntos, e incluso en un número in nito de ellos. Peor aún: existe un ejemplo de una función continua en todo punto y en ninguno derivable
(función de Weierstrass: f (x) =
n=
1 2 n^ cos(
nx)).
Es importante decir que el recíproco del teorema anterior es falso en general. Basta recor- dar un ejemplo previo: f (x) = |x|
Derivadas de orden superior. Para una función f , al considerar la derivada, se obtiene una nueva función, f ′. La noción de derivabilidad puede aplicarse a f ′^ obteniéndose otra función, (f ′)′, que suele escribirse f ′′^ y recibe el nombre de derivada segunda de f. Podemos proceder de manera idéntica para de nir las derivadas tercera, cuarta, etc., siempre y cuando existan. Se escriben f ′′′, f iv, etc. Como esta notación se complica, se usa la siguiente de nición recursiva. f 1)^ = f (1)^ = f ′, f 2)^ = f (2)^ = f ′′,... f k+1)^ = f (k+1)^ = (f k)′
También puede usarse la notación de Leibniz para escribir:
d^2 f dx^2
d^3 f dx^3
dnf dxn^
