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2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES
- Concepto de sucesión. Convergencia
Definición.- x : N −→ R n 7 → xn
xn = x(n)
n∈N x 1 , x 2 , x 3 , · · · , xn, · · · se llama sucesión infinita de números reales o, simplemente sucesión.
Las sucesiones se pueden definir:
a) Por extensión. Es decir enumerando sus términos.
b) Por comprensión. Es decir, dando una ley de recurrencia, o dando el tér- mino general xn.
Símbolos equivalentes de las sucesiones
{xn}∞ n=
xn
n∈N {xn}
Definición.- Una sucesión {xn} converge hacia ` ∈R, y escribiremos:
nlím→∞ xn^ =^ ^ o también^ xn^ −→^^ cuando^ n^ −→ ∞ Si para todo ε > 0 existe un número natural n 0 (ε) tal que, para todo n ∈N, si n > n 0 entonces |xn − `| < ε
Definición.- Se dice que la sucesión {xn} es convergente, si converge a un valor finito `, y se dice que es no convergente, si no tiene límite.
Teorema.- Si una sucesión {xn} es convergente el límite es único
Teorema.- Si lím n→∞ xn y lím n→∞ yn existen y son ambos finitos, entonces: i) (^) nlím→∞(xn ± yn) = (^) nlím→∞ xn ± (^) nlím→∞ yn ii) lím n→∞ (xn · yn) = lím n→∞ xn · lím n→∞ yn
iii) lím n→∞
(xn yn
lím n→∞ xn
n^ lím→∞ yn
si: lím n→∞ yn 6 = 0
iv) lím n→∞ (xn)yn^ =
lím n→∞ xn
) (^) lím n→∞ yn si: lím n→∞ xn 6 = 0 ó lím n→∞ yn 6 = 0
v) lím n→∞
√ kxn = k
lím n→∞ xn
vi) lím n→∞
log xn
= log
lím n→∞ xn
si log xn > 0 vii) Si lím n→∞ log xn = c entonces: lím n→∞ xn = ec viii) Regla del "bocadillo". Si (^) nlím→∞ xn = (^) nlím→∞ yn = y xn 6 zn 6 yn entonces: (^) nlím→∞ zn =
Tipos de indeterminaciones de las sucesiones
0
0 ,^
∞
∞,^0
- Propiedades de acotación
Definición.- La sucesión {xn} es acotada superiormente (resp. infe- riormente) si existe a ∈ R tal que xn 6 a (resp. xn 6 a) para todo n ∈ N Definición.- Se dice que {xn} es acotada si es acotada superior e inferiormente.
Teorema.- Toda sucesión convergente es acotada; es decir, existe a ∈R tal que |xn| 6 a para todo n ∈N
Nota.- Una sucesión acotada puede no ser convergente, con lo que el recíproco del teorema anterior es falso.
Teorema.- (Completitud ) En R, {xn} es una sucesión de Cauchy ⇐⇒ es convergente
- Sucesiones monótonas.
Definición.- i) Una sucesión xn se llama creciente si: x 1 < x 2 < x 3 < · · · < xn < · · · ii) Se llama no decreciente si: x 1 6 x 2 6 x 3 6 · · · 6 xn ≤ · · · iii) Se llama decreciente si: x 1 > x 2 > x 3 > · · · > xn > · · · iv) Se llama no creciente six 1 > x 2 > x 3 > · · · > xn > · · · Todas estas sucesiones reciben el nombre común de monótonas. Las sucesiones crecientes y decrecientes se llaman también estricta- mente monótonas.
Teorema.- Toda sucesión monótona acotada tiene límite.
El número e. Consideramos la sucesión xn que tiene por término general
xn =
n
)n
El límite de esta sucesión se llama "e". Así pues,
lím n→∞
n
)n = e
De forma análoga, si lím n→∞ xn = ±∞,
e = lím n→∞
xn
)xn
- Subsucesiones.
Definición.- Una subsucesión de una sucesión xn es una sucesión de la forma: xn 1 , xn 2 , xn 3 , · · · , xnk , · · · donde ni ∈ N son tales que:
n 1 < n 2 < · · · < nk < · · ·
Teorema.- Cualquier sucesión xn contiene una subsucesión que es bien no decreciente o bien no creciente.
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Corolario.- Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
Regla de Stolz
Teorema.- Criterio de Stolz Sean
xn
e
yn
dos sucesiones de números reales. Supongamos que se cumple una de las dos condiciones siguientes. i)
yn
es monótona estrictamente creciente con: (^) nlím→∞ yn = ±∞
ii)
yn
es monótona estrictamente decreciente, yn 6 = 0 para todo n ∈ N y: lím n→∞ xn = lím n→∞ yn = 0
Entonces, si existe: lím n→∞
xn − xn− 1 yn − yn− 1
= para finito o infinito, se tiene que: lím n→∞
xn yn
= `
Definición.- Sean
xn
yn
dos sucesiones de números reales no nulos; suponemos que ambas son infinitésimos, que sus límites son infinitos o que, en general, ambas tienen el mismo límite. Se dice que ambas sucesiones son equivalentes y se escribe xn ∼ yn si lím n→∞
xn yn
Principio de sustitución
Teorema.- Si xn ∼ x′ n e
yn
es una sucesión arbitraria, entonces:
lím n→∞
xn · yn
= lím n→∞
x′ n · yn
lím n→∞
(x n yn
= lím n→∞
(x′ n yn
Si existen los límites de los segundos miembros.
Algunas equivalencias útiles. Si
xn
es un infinitésimo, se tiene: a) log(1 + xn) ∼ xn b) sen(xn) ∼ tg(xn) ∼ xn c) (1 − cos(xn)) ∼ 12 · x^2 n Además. d) n! ∼ nn^ · e−n^ ·
2 πn para n → ∞ (Fórmula de Stirling). e) log(xn) ∼ xn − 1 si xn → 1 cuando n → ∞
