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4.- FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
1.- Concepto de función 8.- Derivabilidad.Interpretación geométrica. 2.- Funciones elementales. 9.- Derivadas laterales. 3.- Operaciones con funciones. 10.- Der. de las funciones compuestas. 4.- Límites funcionales. 11.- Derivadas de las funciones elementales. 5.- Continuidad. 12.- Der. de las funciones inversas. 6.- Funciones continuas. 13.- Propiedades locales de las funciones. 7.- Continuidad en intervalos cerrados. 14.- Teorema de L’Hôpital.
- Concepto.
Definición.- Una función es una regla cualquiera que hace corresponder un número real, y solo uno, a cada número de un cierto conjunto. Se escribe f (x) para indicar el valor de un función f en el punto x. Dicho de manera equivalente, una función es una colección de pares de números reales con la propiedad : si (x,y) y (x,z) pertenecen ambos a la colección, entonces y = z. Si (x,y) es uno de estos pares, se escribe y = f (x)
Definición.- El dominio de una función es el conjunto de números para los que está definida. Lo designamos por Dom(f )
Definición.- La imágen de una función es el conjunto de los valores y tales que existe un número x con f (x) = y. Lo designamos por Im(f ).
- Funciones elementales
- Operaciones con funciones.
Definición.- i) Suma.(f + g)(x) = f (x) + g(x). Dom(f + g) = Dom(f ) ∩ Dom(g). ii) Producto. (f · g)(x) = f (x) · g(x). Dom(f · g) = Dom(f ) ∩ Dom(g)
iii) Cociente.
(f g
(x) =
f (x) g(x)
Dom
f g
= Dom(f ) ∩
Dom(g) \ {x : g(x) 6 = 0}
iv) Composición.(f ◦ g)(x) = f (g(x)) Dom
f ◦ g
= {x ∈ R x ∈ Dom(g) y g(x) ∈ Dom(f )}
- La composición de funciones es asociativa.
-La composición de funciones, en general, no es conmutativa.
- Límites funcionales.
Definición.- La función f tiende hacia el límite cerca de a, si se puede hacer que f (x) esté tan cerca como queramos de haciendo que x esté suficientemente cerca de a, pero siendo distinto de a.
Definición.- La función f tiende hacia el límite en a, y se escribe lím x→a f (x) = o también f (x) −→ cuando x −→ a, significa: ∀ε > 0 existe algún δ(ε) > 0 tal que, para todo x , si: 0 < |x − a| < δ entonces | f (x) −| < ε
También existe la siguiente formulación equivalente:
Definición.- El número se llama límite de la función f (x) en el punto x = a (o para x −→ a), si para toda sucesión {xn} que converge al número a de los valores del argumento xn, distintas de a, la sucesión f (xn) converge a.
Para la negación de la definición de límite escribimos:
Definición.- Decimos que la función f no tiende hacia el límite en a si existe ε > 0 tal que para todo δ > 0 existe algun x para el cual 0 < |x − a| < δ y, sin embargo, | f (x) −| > ε
Teorema.- Una función no puede tender hacia dos límites distintos en a. Es decir, lím x→a f (x) = y lím x→a f (x) = m =⇒ = m.
Teorema.- Si lím x→a f (x) = ` y lím x→a g(x) = m, entonces:
i) lím x→a
f (x) + g(x)
= ` + m
ii) lím x→a
(f · g)(x) = ` · m
iii) lím x→a
g
(x) =
m
, si m 6 = 0 como consecuencia de ii) y iii) se tiene,
iv) lím x→a
f g
(x) =
`
m
, si m 6 = 0
- Funciones continuas
Teorema.- Si f y g son continuas en a, entonces: i) f + g es continua en a. ii) f · ges continua en a. Además, si g(a) 6 = 0, entonces: iii) 1 /g es continua en a. Como consecuencia de ii) y iii) se tiene: iv) fg es continua en a si g(a) 6 = 0.
Teorema.- Si se cumplen:
i) g es continua en a ii) f es continua en g(a)
⇒ f ◦ g es continua en a.
Continuidad en intervalos.
Definición.- Si f es una función continua en x para todo x ∈ (a, b), entonces se dice que f es continua en (a, b). Una función f es continua en [a, b] si: i) f es continua en x para todo x ∈ (a, b), ii) lím x→a+^
f (x) = f (a) y lím x→b−^
f (x) = f (b).
Teorema.- Supóngase que f es continua en a, y f (a) > 0. Entonces existe δ > 0 tal que f (x) > 0 para todo x que satisface |x − a| < δ. Análogamente, si f (a) < 0 , entonces existe δ > 0 tal que f (x) < 0 para todo x que satisface |x − a| < δ
- Propiedades de las funciones continuas en intervalos cerrados.
Teorema.- (De Bolzano) Si f es continua en [a, b] y f (a) · f (b) < 0 , entonces existe algún número x en [a, b] tal que f (x) = 0
Este teorema tiene consecuencias interesantes.
Teorema.- (Teorema del valor intermedio). Si f es continua en [a, b] y: i) f (a) < c < f (b), entonces existe algún x ∈ [a, b] tal que f (x) = c. ii) f (a) > c > f (b), entonces existe algún x ∈ [a, b] tal que f (x) = c.
Teorema.- Si f es continua en a ⇒ ∃δ > 0 tal que f está acotada superiormente en el intervalo (a − δ, a + δ).
Teorema.- Si f es continua en [a, b], entonces f está acotada superiormente en [a, b]
Corolario.- Si f es continua en [a, b], entonces f está acotada inferiormente en [a, b], es decir existe algún número N tal que f (x) > N para todo x ∈ [a, b]
Teorema.- Teorema de Weierstrass.-Si la función f está definida y es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces es acotada en dicho intervalo.
Teorema.- Si f es continua en [a, b], entonces existe un número y ∈ [a, b] tal que f (y) > f (x) para todo x ∈ [a, b]
Corolario.- Si f es continua en [a, b], entonces existe algún y ∈ [a, b] tal que f (y) 6 f (x) para todo x ∈ [a, b].
Teorema.- De Weierstrass Si f es continua en [a, b], entonces alcanza su máximo y su mínimo en este intervalo.
Teorema.- Todo número positivo posee raiz cuadrada. Es decir, si α > 0 , entonces existe algún número x tal que x^2 = α.
Teorema.- Si n es impar, entonces la ecuación xn^ + an− 1 · xn−^1 + · · · + a 0 = 0 posee, al menos, una raiz.
Teorema.- Si n es par y f (x) = xn^ + an− 1 · xn−^1 + · · · + a 0 , entonces existe un número y tal que f (y) 6 f (x) para todo x.
Teorema.- Si f y g son derivables en a, entonces f · g también es derivable en x, y
(f · g)′(x) = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x)
Teorema.- Si g es derivable en x, y g(x) 6 = 0, entonces
g
es derivable en x, y
( 1 g
(x) =
−g′(x) [g(x)]^2
Teorema.- Si f y g son derivables en x y g(x) 6 = 0, entonces f /g es derivable en x, y ( f g
(x) =
f ′(x) · g(x) − f (x) · g′(x) [g(x)]^2
Un resultado especialmente importante es el siguiente.
- Regla de la cadena.
Teorema.- Regla de la cadena. Si g es derivable en x y f es derivable en g(x), entonces f ◦ g es derivable en x, y
(f ◦ g)′(a) = f ′(g(x)) · g′(x)
- Derivadas de algunas funciones elementales.
I. Derivadas de las funciones trigonométricas. 1.- La derivada de la función f (x) = sen x es f ′(x) = cos x 2.- La derivada de la función f (x) = cos x es f ′(x) = − sen x 3.- La derivada de la función f (x) = tg x es f ′(x) = (^) cos^12 x = 1 + tg^2 x 4.- La derivada de la función f (x) = cotg x es f ′(x) = (^) sen−^12 x = − 1 − cotg^2 x 5.- Derivadas de una función logaritmica. La derivada de la función: f (x) = loga x = (o < a 6 = 1) es f ′(x) = (^) x·lg^1 a (lg indica el logaritmo neperiano de a)
- Derivadas de las funciones inversas
Definición.- Una función f es inyectiva (uno a uno) si: f (a) 6 = f (b) ⇔ a 6 = b
Definición.- Para una función cualquiera f , recibe el nombre de inversa de f y se designa por f −^1 el conjunto de todos los pares (a, b) para los cuales el par (b, a) pertenece a f.
Teorema.- f −^1 es una función si, y sólamente si f es inyectiva.
Teorema.- Si f es continua en un intervalo, abierto o cerrado, e inyectiva, entonces f es o bien creciente o bien decreciente en dicho intervalo.
Teorema.- Si f es continua e inyectiva sobre un intervalo, abierto o cerrado, entonces f −^1 también es continua.
Teorema.- Si f es una función inyectiva continua definida sobre un intervalo y f ′(f −^1 (a)) = 0, entonces f −^1 no es derivable en a.
Teorema.- Sea f una función inyectiva continua definida sobre un intervalo, y suponga- mos que f es derivable en f −^1 (b), con derivada f ′
f −^1 (b)
= 0. Entonces f −^1 es derivable en b, y: (f −^1 )′(b) =
f ′(f −^1 (b))
- Propiedades locales de las funciones
Derivabilidad en un intervalo. Significado de la derivada.
Definición.- Decimos que un función f es derivable en un intervalo abierto (a, b) si es derivable en todos los puntos de (a, b).
Definición.- La función f diremos que es creciente en un intervalo I (resp. decre- ciente) si: ∀a, b ∈ I tal que:
si a 6 b ⇒ f (a) 6 f (b) ( resp f (a) > f (b))
Si abordamos el problema de hallar el máximo o mínimo (absolutos) de f en un intervalo cerrado [a, b] consideraremos tres clases de puntos: i) Los puntos singulares de f en (a, b). ii) Los extremos a y b. iii) Los puntos x ∈ (a, b) tales que f no es derivable en x.
Concavidad y convexidad.
Definición.- Se dice que una función f es convexa en un intervalo, si para todo a y b del intervalo, el segmento recto que une (a, f (a)) con (b, f (b)) queda por encima de la gráfica de f. Decimos que f es cóncava si la función −f es convexa.
Definición.- Una función es convexa en un intervalo si para cada a, x y b del intervalo con a < x < b se tiene f (x) − f (a) x − a
f (b) − f (a) b − a
Teorema.- Sea f convexa. Si f es derivable en a, entonces la gráfica de f queda por encima de la tangente en (a, f (a)) exepto en (a, f (a)) mismo. Si a < b y f es derivable en a y b, entonces f ′(a) < f ′(b).
Teorema.- Si f es derivable y f ′^ es creciente, entonces f es convexa.
Teorema.- Si f ′′(x) > 0 para todo x de un intervalo, entonces f es convexa en ese intervalo. Si f ′′(x) < 0 para todo x de un intervalo, entonces f es cóncava en ese intervalo.
Teorema.- Sea f dos veces derivable en un intervalo I. i) Si f es convexa en I, entonces f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I. ii) Si f es cóncava en I, entonces f ′′(x) 6 0 para todo x ∈ I.
Definición.- Un punto se dice que es de inflexión si la tangente a la gráfica de f en (a, f (a)) cruza la gráfica de f. En estos puntos, f tiene distinta curvatura en un entorno a su derecha de la que tiene a su izquierda.
Teoremas fundamentales del cálculo diferencial.
Teorema.- De Rolle Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y f (a) = f (b), entonces existe x ∈ (a, b) tal que f ′(x) = 0
Teorema.- del valor medio de Lagrange Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces existe un número x ∈ (a, b) tal que
f ′(x) =
f (b) − f (a) b − a
Nota.- La igualdad f (b) − f (a) = f ′(x)(b − a), con a < x < b, se llama fórmula de Lagrange o del incremento finito. Además, puesto que a < x < b, se puede escribrir: x = a + ζ(b − a), 0 < ζ < 1 La fórmula de Lagrange puede escribirse como:
f (b) − f (a) = f ′
a + ζ(b − a)
(b − a), 0 < ζ < 1
Corolario.- i) Si se define f sobre un intervalo y f ′(x) = 0 para todo x del intervalo, entonces f es constante en el intervalo. ii) Si f y g están definidas en el mismo intervalo y f ′(x) = g′(x) para todo x del intervalo, entonces existe algún número c tal que f − g = c
Teorema.- Supongamos que f ′(a) = 0 i) Si f ′′(a) > 0 =⇒ f tiene un mínimo local en a ii) Si f ′′(a) < 0 =⇒ f tiene un máximo local en a
Teorema.- Supongamos que existe f ′(a). i) Si f tiene un mínimo local en a =⇒ f ′′(a) > 0 ii) Si f tiene un máximo local en a =⇒ f ′′(a) 6 0
