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Ejemplo 1
Rendimiento de un proceso productivo en función de la temperatura
En una planta química se sintetiza un producto que es utilizado posteriormente como conservante de productos enlatados. El rendimiento del proceso depende de la temperatura. Se dispone de los siguientes datos
T (◦C) 150 160 170 180 190 200 210 R ( %) 35.5 37.8 43.6 45.7 47.3 50.1 51.
Se considera un rendimiento óptimo el que va de 38.5 a 45, por lo que la planta trabaja a 175 ◦C. Si la temperatura de trabajo cae a 162 ◦C por una avería, ¿será el proceso satisfactorio hasta que sea reparada?
Ejemplo 2
En una planta se bombea esencia de trementina, 60 ◦C, desde la base de una columna de fraccionamiento hasta un gran tanque de almacenamiento descubierto. La columna opera a 1 , 29 atmósferas. En la siguiente tabla se representan los datos relativos los litros por hora que puede bombear la bomba en función de la potencia en watios a la que es necesario que trabaje:
Q (l/h) 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 N (w) 365 361.6 370.64 379.68 384.46 395.5 395.95 397
Se desea saber si la bomba será capaz de impulsar un caudal de 1000 l/h de trementina hasta el tanque de almacenamiento trabajando a un máximo de 373 w.
Ejemplo 3
El pentóxido de dinitrógeno gaseoso puro reacciona en un reactor intermitente según la reacción estequiométrica
N 2 O 5 2 N 2 O 4 +O 2
Calculamos la concentraciónde pentóxido de dinitrógeno existente en ciertos in- stantes, obteniendo los siguientes datos:
T (s) 0 200 400 650 1100 1900 2300 C 5.5 5.04 4.36 3.45 2.37 1.32 0.
Si lo tenemos en el reactor un tiempo máximo de 35 minutos ( 2100 segundos), ¿cuál es la concentración de pentóxido de dinitrógeno que queda sin reaccionar?
Interpolación
Concepto de interpolación
Supongamos que hay dos magnitudes x e y de los que se conocen n + 1 valores relacionados {(x 0 , y 0 ) , (x 1 , y 1 ) , · · · , (xn, yn)} , por ejemplo, datos obtenidos en una experimentación. Con la condición xi 6 = xj si i 6 = j.
Nos planteamos si existe una función p tal que p (xk) = yk k = 0, · · · , n (1) es decir, queremos una función cuya gráfica "pase"por los puntos del plano da- dos. Si p verifica (1) diremos que p interpola los datos dados p es una función de interpolación para los datos (xk, yk) , k = 0, · · · , n.
Este tipo de problemas suele darse cuando tenemos datos obtenidos por experi- mentación y sabemos que hay una función f que rige el proceso pero que descono- cemos y queremos trabajar con una función alternativa p que represente bien a esos datos de la muestra. Si f rige el proceso entonces f (xk) = yk luego exigiremos a la función p ese mismo requisito, esto nos proporciona condiciones que imponer a p con las que trataremos de obtenerla y una vez conseguido nos permitiría conocer o predecir qué habría pasado en otros x en los que no se ha experimentado.
Supongamos que existe la función f tal que f (xk) = yk , k = 0, · · · , m. Caben varias preguntas:
i) La función p que interpola los datos dados ¿ de qué tipo ha de ser? ¿polinómica, trigonométrica, racional,...? La respuesta vendrá dada por los datos yk.
- ) Si se observa que los datos presentan periodicidad entonces buscaremos a p dentro de la funciones trigonométricas.
- ) Si los datos presentan asíntotas entonces p debería ser una función racional.
- ) Si los yk presentan un comportamiento polinomial, entonces p se escogería de tipo polinómico. Nos centraremos en cómo resolver este caso.
ii) Una vez escogido el tipo de función habrá que responder dos cuestiones ,¿existe p del tipo escogido que interpole los datos dados? Y si existe , ¿es única?
iii) ¿Es la función polinómica escogida una buena aproximación de la función ori- ginal f en los puntos x que no son de la muestra? Nota: entendermos como función original la que rige el experimento y de la cual sólo sabemos qué pasa en los n+1 puntos de la muestra.
Vamos a hacer el estudio contestando a estas cuestiones suponiendo que la fun- ción p es una función polinómica.
Construcción de la solución
Método directo
Planteamos el problema tal como se ha descrito en el párrafo anterior y pasamos a resolver el sistema. Cuando hayamos obtenido la solución (a 0 , a 1 , ..., an) pasamos a escribir la función polinómica solución de nuestro problema
p (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn Ventaja del método: la resolución del problema de interpolación pasa por resolver un sistema que es un procedimiento ya conocido.
Inconvenientes: Si aparecen nuevos datos de la experimentación, la solución p de grado n que tengamos para los datos previos no es aprovechable. Hay que rehacer todos los cálculos para la nueva muestra (los datos anteriores y los nuevos juntos).
Polinomio de interpolación : método de Lagrange
Los polinomios de Lagrange
Para cada i, i = 0, 1 .· · · , n construiremos un polinomio de grado menor o igual que n, al que llamaremos pi de manera que
pi (xi) = 1 pi (xj ) = 0 si j 6 = i
Puesto que el polinomio pi se anula en x 0 , x 1 , ..., xi− 1 , xi+1, ..., xn dicho polinomio debe ser
pi (x) = α (x − x 0 ) (x − x 1 ) · · · (x − xi− 1 ) (x − xi+1) · · · (x − xn) = α
Y^ n
j= j 6 =i
(x − xj )
Además, como pi (xi) = 1 =⇒ 1 = pi (xi) = α
Qn j= j 6 =i
(xi − xj ) =⇒ α =
Q^ n j= j 6 =i
(xi − xj )
luego cada pi (x) es
pi (x) =
Q^ n j= j 6 =i
(x − xj )
Q^ n j= j 6 =i
(xi − xj )
Y^ n
j= j 6 =i
(x − xj ) (xi − xj )
Cada pi (x) es el i-ésimo polionomio de Lagrange para los puntos x 0 , x 1 , ..., xn.
Un ejemplo
Para el caso n = 2 ,tenemos x 0 , x 1 , x 2 , los polinomios de Lagrange son
p 0 (x) = (x − x 1 ) (x − x 2 ) (x 0 − x 1 ) (x 0 − x 2 )
p 1 (x) = (x − x 0 ) (x − x 2 ) (x 1 − x 0 ) (x 1 − x 2 )
p 2 (x) = (x − x 0 ) (x − x 1 ) (x 2 − x 0 ) (x 2 − x 1 )
Teorema Dados n + 1 puntos (xi, yi), i = 0, 1 , ..., n tales que xi 6 = xj ∀i 6 = j existe un único polinomio de grado menor o igual que n, p (x), tal que p (xi) = yi con i = 0, 1 , ..., n.
Haremos uso del teorema anterior para mostrar cómo se determina p haciendo uso de los polinomios de Lagrange.
Sea el polinomio p (x) =
Pn i=
yipi (x) =
Pn i=
yi
Qn j= j 6 =i
(x − xj ) (xi − xj )
El polinomio p verifica
p (xj ) =
Pn i=
yipi (xj ) =
jP− 1 i=
yipi (xj ) + yj pj (xj ) +
Pn i=j+
yipi (xj ) = (y 0 · 0 + · · · + yj− 1 · 0) + yj · 1 + (yj+1 · 0 + · · · + yn · 0) = yj con j = 0, 1 , ..., n
es decir, p, es un polinomio de grado menor o igual que n y que satisface las condi- ciones impuestas. La formación del polinomio p sólo precisa formar los polinomios de Lagrange y escribir una combinación lineal de ellos donde los coeficiente nos vienen dados, los yi.
Casos particulares
n=1 Interpolación lineal Polinomio que interpola los datos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 )
Ejemplo Calcule el único polinomio de grado menor o igual que tres que in- terpola a los datos (− 1 , 1), (0, 2), (1, −1) y (2, 2).
Solución: Formamos los polinomios de Lagrange
p 0 (x) = (x − 0) (x − 1) (x − 2) (− 1 − 0) (− 1 − 1) (− 1 − 2) ; p 2 (x) = (x − (−1)) (x − 0) (x − 2) (1 − (−1)) (1 − 0) (1 − 2)
p 1 (x) = (x − (−1)) (x − 1) (x − 2) (0 − (−1)) (0 − 1) (0 − 2) ; p 3 (x) = (x − (−1)) (x − 0) (x − 1) (2 − (−1)) (2 − 0) (2 − 1)
el polinomio es
p (x) = 1^
(x − 0) (x − 1) (x − 2) (− 1 − 0) (− 1 − 1) (− 1 − 2)
(x − (−1)) (x − 1) (x − 2) (0 − (−1)) (0 − 1) (0 − 2)
(x − (−1)) (x − 0) ( (1 − (−1)) (1 − 0) (
(x − (−1)) (x − 0) (x − 1) (2 − (−1)) (2 − 0) (2 − 1)
x (x − 1) (x − 2) + (x + 1) (x − 1) (x − 2) +
x (x
x (x − 1) (x + 1) =
x^3 −
x^2 − 2 x + 2
Se puede utilizar la interpolación también para trabajar con un polinomio en vez de con una función dada f.Sólo necesitamos saber qué grado queremos manejar y, una vez decidido el grado, evaluar f en n + 1 puntos (xi, f (xi)) i = 0, 1 , · · · , n, de esta manera tenemos que el polinomio que interpola a f en los puntos xi i = 0 , 1 , · · · , n es
p (x) =
X^ n
i=
fipi (x) , donde fi = f (xi) con i = 0, 1 , · · · , n
Ejemplo: Polinomio de grado menor o igual que 2 que interpola a la función f (x) = ex^ en los puntos x 0 = − 1 , x 1 = 0, x 2 = 1
El polinomio es
p (x) =
Pn i=
fipi (x) = f 0 (x − x 1 ) (x − x 2 ) (x 0 − x 1 ) (x 0 − x 2 )
- f 1 (x − x 0 ) (x − x 2 ) (x 1 − x 0 ) (x 1 − x 2 )
- f 2 (x − x 0 ) (x − x 1 ) (x 2 − x 0 ) (x 2 − x 1 ) = e−^1 (x − 0) (x − 1) (− 1 − 0) (− 1 − 1)
- e^0 (x − (−1)) (x − 1) (0 − (−1)) (0 − 1)
- e^1 (x − (−1)) (x − 0) (− 1 − 1) (1 − 0) =
e−^1 x (x − 1) − (x − 1) (x + 1) +
e x (x + 1) =
=
μ 1 2 e−^1 +
e − 1
x^2 +
μ −
e−^1 +
e
x + 1 = = (Ch 1 − 1) x^2 + Sh 1 x + 1
Si ya hemos formado el polinomio de interpolación pn para los datos (xk, yk) con k = 0, · · · , n y surge la necesidad de interpolar, además en un nuevo punto (xn+1, yn+1) todos los cálculos anteriores no serían válidos. Tendríamos que formar los correspondientes polinomios de Lagrange de grado n + 1con lo empezaríamos de nuevo desde el principio. Para que podamos .a^ provechar"el polinomio de in- terpolación pn para formar el polinomio que, además, interpola un nuevo punto (xn+1, yn+1) pasamos a la interpolación con el método de Newton.
Polinomio de interpolación : método de Newton
Supongamos que pn (x) es el polinomio de interpolación para los datos x 0 x 1 x 2 · · · xn y 0 y 1 y 2 · · · yn y tenemos un nuevo dato (xn+1, yn+1) queremos contruir un nuevo polinomio pn+1 (x) que interpole a los datos anteriores y a (xn+1, yn+1).
Idea del método de Newton
Formamos el polinomio pn+1 (x) pn+1 (x) = pn (x) + A | (x − x 0 ) (x −{z x 1 ) · · · (x − xn}) término de grado n+ El polinomio así construído es de grado n + 1, interpola a los datos anteriores e imponiendo que se verifique la nueva condición de interpolación
pn+1 (xn+1) = yn+
tendremos que
A = pn+1 (xn+1) − pn (xn+1) (xn+1 − x 0 ) (xn+1 − x 1 ) · · · (xn+1 − xn) Esta idea se puede llevar a cabo para formar también el polinomio pn.
Diferencias divididas
Trataremos de construir el polinomio de interpolación pn de los datos (xk, yk) con k = 0, · · · , n de una muestra sin tener que recurrir a resolver un sistema. Lo escribiremos siguiendo la idea antes planteada
pn (x) = A 0 +A 1 (x − x 0 )+A 2 (x − x 0 ) (x − x 1 )+· · ·+An (x − x 0 ) (x − x 1 ) · · · (x − xn− 1 )
xi yi f[xi] f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] · · · f [x 0 , x 1 , · · · , xn] x 0 y 0 f[x 0 ] x 1 y 1 f[x 1 ] f [x 0 , x 1 ] x 2 y 2 f[x 2 ] f [x 1 , x 2 ] f [x 0 , x 1 , x 2 ] x 3 yi f[x 2 ] f [x 2 , x 3 ] f [x 1 , x 2 , x 3 ] .. .
xn yn f [xn] f[xn− 1 , xn] f [xn− 2 , xn− 1 , xn] · · · f [x 0 , x 1 , · · · , xn]
Los elementos de la diagonal son, precisamente, los coeficientes Ai del polinomio pn escrito en la forma de Newton.
Fórmula de Newton para el polinomio de interpolación
pn (x) = f[x 0 ] + f[x 0 , x 1 ] (x − x 0 ) + f[x 0 , x 1 , x 2 ] (x − x 0 ) (x − x 1 ) + · · · + f [x 0 , x 1 , · · · , xn] (x − x 0 ) (x − x 1 ) · · · (x − xn− 1 )
Ejemplo 1
Calcule el polinomio de interpolación de Newton para los datos
xi -2 -1 2 3 yi 4 1 4 9
Solución: El polinomio que se nos pide se puede escribir
p 3 (x) = A 0 + A 1 (x − x 0 ) + A 2 (x − x 0 ) (x − x 1 ) + A 3 (x − x 0 ) (x − x 1 ) (x − x 2 )
Formamos la tabla de diferencias divididas para obtener los coeficientes
xi yi f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2] f [x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] − 2 4
− 1 1 f [x 0 , x 1 ] =
2 4 f [x 1 , x 2 ] =
= 1 f[x 0 , x 1 , x 2 ] =
3 9 f[x 2 , x 3 ] =
= 5 f[x 1 , x 2 , x 3 ] =
= 1 f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] =
Solución p 3 (x) = 4 − 3 (x + 2) + (x + 2) (x + 1) + 0 (x + 2) (x + 1) (x − 2) = x^2
Problemas de la relación propuesta
- (c) Calcule el polinomio de interpolación para la tabla dada usando el sistema y la fórmula de Newton xi 0 2 4 6 yi 0.25 0.6 0.9 1 Compruebe que ambas formas dan lugar al mismo polinomio. Solución: i) Por medio del sistema p (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + a 3 x^3 Imponemos las condiciones de interpolación
p (0) = 0 , 25 p (2) = a 0 + 2a 1 + 4a 2 + 8a 3 = 0, 6 p (4) = a 0 + 4a 1 + 16a 2 + 64a 3 = 0, 9 p (6) = a 0 + 6a 1 + 36a 2 + 216a 3 = 1 Matricialmente (^) ⎛ ⎜ ⎜⎝
a 0 a 1 a 2 a 3
Solución :
a 0 a 1 a 2 a 3
− 3. 125 × 10 −^3
p (x) = 0,25 + 0,162 5x + 0,012 5x^2 − 3. 125 × 10 −^3 x^3 ii) Por el método de Newton p (x) = A 0 + A 1 x + A 2 x (x − 2) + A 3 x (x − 2) (x − 4)
xi yi f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] f[x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] 0 0 , 25 2 0 , 6
= − 3. 125 × 10 −^3
Solución:
p (x) = 0,25 + 0, 175 x − 0 ,006 25x (x − 2) − 3. 125 × 10 −^3 x (x − 2) (x − 4) = 0 ,162 5x + 0,012 5x^2 − 3. 125 × 10 −^3 x^3 + 0, 25
