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- La población mundial para los años que se indicara era: Año 1965 1975 1985 1990 Población(millones) 3340 4080 4850 5920 ¿Hubiese sido buena la predicción para 1990 de la función interpolación cuadrática correspondiente a los tres años? Mediante esta función: Calcular en que año la población mundial será de 6500 millones. ¿piensas que has hecho una predicción correcta? Solución: Evaluamos el punto de interpolación cuadrática para la cual partiendo de la fórmula de la interpolación cuadrática, encontramos los puntos faltantes mediante un sistema de ecuaciones que son condiciones de interpolación estas nos dará como resultado una función de interpolación la cual se evaluara para encontrar los requerimientos de problema dado, que dando de la siguiente manera: X= 1965 y=3. X= 1975 y=4. X= 1985 y=4. m=
- 08 − 3. 34 1975 − 1965
m=
- 85 − 4. 08 1985 − 1975
Aplicando la expresión del polinomio f(x)=a𝑥^2 +bx+c 3.34 = a ( 1965 )^2 + b (1965) + c = 3861225 a +1965 b + c = 3. 4.08 = a ( 1975 )^2 + b (1975) + c= 3900625 a +1975 b + c = 4. 4.85 = a ( 1985 )^2 + b (1985) + c= 3940225 a +1985 b + c = 4. Función de interpolación generado: F(x)= 5153960755220177 ∗ 𝑥^2 34359738368
8673820672038949 ∗x 16777216
7209963520037405 16384
Solución en MATLAB
- comando en Matlab para la solución del ejercicio. clear all clc A= [3861225 1965 1; 3900625 1975 1; 3940225 1985 1]; Ti=[3340000000 ;4080000000; 4850000000]; R=inv(A)Ti syms x polinomio= R(3,1)+R(2,1)x+R(1,1)x^ x=[1965;1975;1985]; y=[3340000000;4080000000;4850000000]; p=1900:1:2020; m=(5153960755220177p.^2)/34359738368 - (8673820672038949*p)/16777216 + 7209963520037405/16384; plot(x,y,'o',p,m,'c') grid
¿Hubiese sido buena la predicción para 1990 de la función interpolación cuadrática correspondiente a los tres años? Mediante esta función: Calcular en que año la población mundial será de 6500 millones. Sol: Evaluando la función cuadrática en Matlab obtenemos el siguiente resultado, como código evaluamos la misma función de polinomio sustituyendo x1 = 2005 para el primer índice del problema y x2 = 1990 para el calculo de la población de 6500 millones, cabe aclarar que el valor para x 1 parte de un muestreo entre los años de 1990 a 2010, dando como valor mas cercano al de la población mundial, 2005. x1=2005; x2=1990; f1=(5153960755220177x1.^2)/34359738368 - (8673820672038949x1)/16777216 + 7209963520037405/ f2=(5153960755220177x2.^2)/34359738368 - (8673820672038949x2)/16777216 + 7209963520037405/ Como resultado se obtiene que: Para 1990 la función de interpolación correspondiente a los otros 3 años es de 5246.25… El año en el cual la población mundial seria de 6500 millones es en el 2005
- En un experimento para determinar la temperatura corporal, como resultado de la administración de un nuevo fármaco, se obtuvieron los siguientes valores, en función del tiempo transcurrido desde su toma: Tiempo(horas) 0 1 2 3 4 5 Población(millones) 3 6,8 37,2 38,3 37,9 37,7 37, Determinar la temperatura corporal aproximado a las 2h y 45 minutos de la administración del fármaco. Solución: Aplicando la formula de interpolación lineal y calculando la pendiente obtenemos: 𝑥 1 = 𝑥 2 = 𝑦 1 = 38. 𝑦 2 = 37. Calculando la pendiente: m=
- 9 − 38. 3 3 − 2
calculando la ecuación del punto pendiente: y-yo = m.(x-xo) y-y1 = m.(x-x1) y – 38.3 = - 0.4(x-2) y=-0.4x + 0.8 + 38. y= - 0.4x + 39. x = 2. y= - 0.4 (2.5) + 39. y = 38. intervalos de la grafica [2.5; 38.1] R= de modo tal que la temperatura corporal aproximada después de haber suministrado el fármaco y de haber pasado el lapso de tiempo determinado es de 38.12º.
Resultado de la gráfica dada por el programa
- El número de calorías por español y día, en el período 1962 – 1987, siguió esta tendencia: Año 1962 1970 1980 1987 Población(millones) 2,76 2,87 3,32 3, a) Hallar la previsión para 1990 a partir de la función lineal de los dos últimos años. b) Efectuar la misma previsión con el polinomio de interpolación de 2º grado a partir de los datos de 1970 a
Efectuando el ejercicio tenemos dos tipos de interpolaciones, lineal y cuadrática por lo que conlleva a realizar las siguientes operaciones: Realizando la interpolación lineal calculamos la pendiente y el punto pendiente por el cual se mostrará en la gráfica: X= 1970 Y = 2. X = 1980 Y = 3. X= 1987 Y = 3. Calculando la pendiente: m = 𝑌 2 −𝑌 1 𝑋 2 −𝑋 1 m = 3. 49 − 3. 32 1987 − 1980
calculando la ecuación del punto pendiente: y-yo = m.(x-xo) y 2 - y1 = m.(x 2 - x1) y – 3 .32 = 0.024285714 (x- 1980 ) y= 0.024285714 x – 48.08571372 + 3. y= 0.024285714 x – 44. x = 1990 y= 0.024285714 (1990) - 44. y = 3. intervalos de la gráfica para la ecuación lineal [1990; 3.56285714] R= la previsión para 1990 a partir de los dos últimos años ah sido de 3.56 miles de calorías.
grafica de la interpolación lineal generado
Calculando la interpolación cuadrática para el segundo punto dado el problema Calculando la pendiente m = 𝑌 2 −𝑌 1 𝑋 2 −𝑋 1 m =
- 32 − 2. 87 1980 − 1970
m =
- 49 − 3. 32 1987 − 1980
al comparar los dos resultados de las pendientes se deduce a simple vista que no dan el mismo valor por lo tanto se procede a ejecutar la expresión polinómica Aplicando la expresión del polinomio f(x)=a𝑥^2 +bx+c 2.87= a ( 1970 )^2 + b (19 70 ) + c = 38809000 a +19 70 b + c = 2. 87 3.32 = a ( 1980 )^2 + b (1980) + c= 3920400 a +1980 b + c = 3. 3.49 = a ( 1987 )^2 + b (1987) + c= 3948169 a +1987 b + c = 3. La función de interpolación cuadrática dada es: F(x)= 2734825065733065 ∗ 𝑥^2 562949953421312
5619812829508999 ∗x 4611686018427387904
532011082373381 1099511627776 Fx=3. R=a partir de la efectuación de la previsión con el polinomio de 2º grado el resultado dado es de 3. miles de calorías.
Grafica generada por el programa
Comprobando el resultado de la función obtenida: x=1990; fx=(5341455206483x1)/1099511627776 - (351205080182647x1^2)/288230376151711744 - 166253440073337/ fx=3.
- las diferentes contracciones de un resorte (en mm), dependiendo de las cargas aplicadas (en kp), vienen dadas en la siguiente tabla: Carga (x) 5 10 15 20 25
clc A= [25 5 1; 225 15 1; 625 25 1]; Ti=[49;172;352]; R=inv(A)Ti syms x polinomio= R(3,1)+R(2,1)x+R(1,1)x^ x=[5 15 25]; y=[49 172 352]; p=0:0.1:30; m=(57p.^2)/200 + (33p)/5 + 71/8; plot(x,y,'',p,m,'c') grid Grafica obtenida de la función cuadrática
Respuesta del segundo punto: Al momento de comprobar la función resultando con los valores dando en x=10 y x=20, lo que se obtiene al evaluar en x=10 es un resultado menor al dado en la tabla de contracciones que es 105, al operar y cambiar x en la ecuación da un resultado de 103.375 lo cual hace referencia que el valor en x= 10 disminuye de modo el error dado se en cuenta en x=10. Mientras tanto que, al efectuar la misma operación en la función cuadrática, pero x teniendo un valor de 20 contracciones del resorte, nos da un resultado mayor al de la tabla que es de 253, al momento de calcular nos da el valor de 254.875, deduciendo de esta manera que el punto aumenta en cierta forma considerable. De modo que los errores cometidos en las tablas son los en los valores de x=10 y x=20 siendo estas las cargas aplicadas al resorte.
