APLICACIONES DE LAS INTEGRALES MÚLTIPLES
1. Determine el volumen del sólido generado por los planos coordenados y el plano
4𝑥+3𝑦+2𝑧−12= 0 en ℝ3, dados en metros.
Solución
El plano es 𝑧= 6(1−𝑥
3−𝑦
4),𝑥
3+𝑦
4=1
Luego 𝑥ⅇ[0,3] , 𝑦 ⅇ [0,4(1−𝑥
3)] , z ⅇ[0,𝑧]
𝑣= ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 , 𝑧 = 6 (1 − 𝑥
3−𝑦
4)
𝑧
0
4(1−𝑥
3)
𝑦=0
3
𝑥=0
𝑣= ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 , 𝑧 = 6 (1 − 𝑥
3−𝑦
4)
𝑧
0
4(1−𝑥
3)
𝑦=0
3
𝑥=0
𝑣= ∫ ∫ 𝑧
4(1−𝑥
3)
𝑦=0
3
𝑥=0 𝑧
0 𝑑𝑦𝑑𝑥= ∫ ∫ 6(1−𝑥
3−𝑦
4)𝑑𝑦𝑑𝑥
4(1−𝑥
3)
𝑦=0
3
𝑥=0
𝑣= 6∫(𝑦−𝑦𝑥
3−𝑦2
8)
3
𝑥=0 4(1−𝑥
3)
𝑦= 0 𝑑𝑥 = 6 ∫𝑦(1−𝑥
3−𝑦
8)
3
𝑥=0 4(1−𝑥
3)
0𝑑𝑥
𝑣= 6∫ 4(1−𝑥
3)
3
𝑥=0 [(1−𝑥
3)−4
8(1−𝑥
3)]𝑑𝑥=24
2∫ (1−𝑥
3)2𝑑𝑥
3
𝑥=0
𝑣= 12(3)
−3 (1−𝑥
3)3=−12[(1−1)3−(1−0)3]=12
𝒗=𝟏𝟐𝒎𝟑
𝑃𝑜𝑟 𝑔ⅇ𝑜𝑚ⅇ𝑡𝑟í𝑎 𝑣 = 1
3(3(4)
2)6
𝒗=𝟏𝟐𝒎𝟑
𝑧= (1−𝑥
3−𝑦
4)
3
X=0
(0,0,6)
(0,0,0)
(3,0,0)
(0,4,0)
𝑅ⅇ𝑐𝑡𝑎 𝑥
3−𝑦
4 = 1
Es una pirámide triangular rectangular
z
y
x
