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TEMA 7
Introducción al Control de Robots.
7.1 Introducción y conceptos.7.2 Modelado de sistemas.7.3 Realimentación: Lazo Abierto/Lazo
Cerrado.
7.4 Control Lineal.7.5 Control No Lineal.7.6 Control continuo y control discreto (en
el tiempo).
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7.1 Introducción y Conceptos
Sistema: porción del universo que se estudia.
•^
Planta o sistema de control: Sistema que se quiere querealice una función concreta
- Existe estado o salida deseados– Hay que interaccionar
⇒
entradas o variables de control
(suponemos que se pueden modificar libre e instantáneamente)
SISTEMA(estado:
q
Estado observable(Salida:
y
)
PLANTA
(estado:
q
Estado observable (Salida real o actual:
y
)
Estado deseado:
q des
Salida deseada:
ydes
Entradas o variables
de control:
u
=? Comparar
3
7.1 Concepto de Control y Ejemplos
Controlar el sistema: calcular entradas
Bloque de control o controlador
-^
Sistema de control
dinamismo
Ecuac diferencial
•^
No son sist control:
V = I R
•^
Sí: F = m a = m
Circuito RCTermostatoCuerpo humano
PLANTA
(estado:
q
y
q
des
, y
des
u
=? Comparar
usar
Controlador
MATRICES
D-H
XYZ...
q ,q 1
,...q 2
n
&& r
ROBOT
q
,q 1
,...q 2
n
τ^1
,^ τ^2
,...
τ
n
4
7.2 Modelado de Sistemas
Toda planta real
Modelo matemático
Ej: Circ RC:
Pero modelo imperfecto: R=R(ºT,
v
o
, etc.), Sist
complejo: termostato de una habitación
Sist no lineal : Linealización.
De hecho Ley Ohm es aprox. lineal
o o i o o i
o^
v RC
v
v
dv dt C
R
v
v
dv dt C i^
v i^
v o
-^ -
Circ RC
v o
vi
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7.2 Modelado: Orden de un sistema
- Sistema con 1 entrada y 1 salida: SISO• Orden : grado de la ecuación diferencial• El orden implica cierto comportamiento
(Todos los sistemas del mismo orden secomportan de forma parecida)
- Estado: necesito tantas cond inic como
orden-1 (son las var de estado)
- Sistema mecánico simple: 2º orden Circ RCL, Motor (tema 2), Modelo térmico de una casa (Ej SIMULINK) yhallar el orden de los sistemas anteriores (de los que se tenga modelo fácil)
EJERC
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7.2 Modelado: Sistemas LIT
•^
Sistema lineal: cumple principio superposición. Ecuacióndiferencial lineal. u ^ ↔ 1
y
, u 1
^ ↔ 2
y
2
⇒
u
+u 1
^ ↔ 2
y^1
+y
2
u ^ ↔ 1
y
⇒ 1
au
^ ↔ 1
ay
1
; u=
⇒
y =
Ej:
(una cte no es lineal)
•^
Típicamente los coef no dependen de t: LIT (a corto plazo)
-^
En pocos casos dependen de t: nave espacial
-^
Pero sólo lineal: en cierto rango y fuera del origen
Salida
Saturación
Ideal
No linealidad
Entrada
Zona muerta. Histéresis
cte
e d b a
eu
u d y b y a
Retraso (transport delay)
Probar con MATLAB No
linealidades y pensar
EJER
7
7.3 Realimentación: Lazo Abierto/Cerrado • Lazo abierto
- Sistema simple (Circ RC), o impreciso
(Lavadora con base de tiempos)
- Calibración debe ser perfecta– No sensores
- Lazo cerrado: realimentación
PLANTA
(estado:
q
y
q
des
, y
des
u
“Controlador”Cálculo previo
y sens
PLANTA(estado:
q
y
y des
u
=?
Controlador
Sensor
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7.3 Realimentación: Lazo Cerrado
Realimentación necesaria:
- Si modelo no ideal (efectos no modelados)– Si hay perturbaciones (ruido)– Si tiempo deteriora o coef varían.– Si requiere mucha precisión (sensor preciso)
Ejemplo simple: amplificador de voltaje
Ventaja: Robustez ante “ruido”, Puede usarcomponentes imprecisos (excepto sensor)
Inconveniente: Posible inestabilidad
Sensores: antes para
(tacogenerador)
Hoy :
y
y
y
y
calcula
CPU
13
7.4 Tipos de Control Lineal: Sintonización
•^
Control P: H(s) total es orden 2. K
p^
elige ó
ω
n^
ó
ζ
•^
Control PD: H(s) total es orden 2. K
p^
y K
d
eligen
ω
n^
y
ζ
•^
Control PI: H(s) total grado 3. Un polo más (real). 3 coef des
2 , s
1 y s
0
y sólo dos parámetros K
p
y K
. No se suele usar.I
•^
Control PID: H(s) total grado 3, (tb un polo más, que ha deser real). K
I^
se elige pequeño, no cambia mucho la
respuesta del sistema transitorio. 3 coef de s
2 , s
1
y s
0
y
3 parámetros K
p
, K
d
y K
:I
Más difícil sintonización.
.
Θ
(s)
Θ
des
(s)
C(s)=...
Encoder
V(s)
E(s)
bs
s
a + 2
Probar con MATLAB diferentes K
p^
K
d^ K
I^
evitando
EJERC sobreoscilación
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7.4 Control Lineal: Respuesta Estacionaria
- Muy importante en robótica: precisión y repetitividad estánrelacionadas con ella.•^
Teorema del valor final
) ( ) ( ) ( ; ) (
lim ) (
lim
0
s
s
s E
s sE
t e
des
s
t
Θ −
Θ
=
→
∞ →
en aceleración
e
a,ss
:
θ des
= α
d
t 2
en velocidad
e
v,ss
:
θ des
=
ω
d
t
intuitivo,pero...
Error en el estacionario:en posición
e
ss
:^ θ des
= θ
d
PID
PD
Control P
a K
b d^^0 p ω
a K
b d^^0 p ω
a K b I
B J
RJ
K K
b
K RJ
a
b a
a^
=
=
;
bs
s
a
s M
=
2
) (
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7.4 Control Lineal: Respuesta Transitoria
•^
En robots sólo interesa que sea rápida y a serposible no sobreoscile.
-^
Control P: Única forma de que no sobreoscile:Kp <<<
(pero mucho error en el estacionario ante
cualquier par perturbador)
-^
Control PD: puedo subir más Kp y no sobreoscila:error en el estacionario se puede reducir mucho. Útilsi sólo tray PTP.
-^
Control PID: Error en estacionario nulo (excepto para e a,ss
). Más difícil de sintonizar y tiende a sobreoscilar
más. Problema: incertidumbre de parámetros.
-^
Alternativa: Control PD con pares anticipativoscanceladores con los factores adecuados paraeliminar par perturbador (ha de estimarse).
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7.4 Control Lineal: Respuesta ante Perturbación
•^
Perturbación: en robots se trata de par no modelado:se suma a
(s)
dentro del motor
Cuatro tipos:
- Par de rozamiento de Coulomb: estático/dinámico– Par gravitacional. Depende de
i
- Pares no inerciales. Depende de
y su derivada. i
- Otros pares aplicados sobre la carga -^
Modelado simple: par constante
L
,. Por el principio
de superposición, se estudia sólo el par, con entrada θ
des
nula.
•^
Error en el estacionario en posición
e
ss
- Control P y– Control PD:– Control PID: 0
K R K
e
K K
R
a p
L ss
a L^ p
=
⇒
0
0
:
servo del
Rigidez
τ
τ
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Modelo de Motor DC con Control PID
Motor DC
Control PID Demostrar que los errores en el estacionario para los controles P,PD,PID son los de la tabla anterior (evitando sobre-oscilación). Probar también con un par perturbador constante aplicado en cierto t
o
MEMORIA
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7.5 Control No Lineal (I)
•^
No puedo aplicar Tr. Laplace
-^
Ecc dinámica de robot:–
ττττ : Pares efectivos (que le “llegan” al brazo:
τ
mot
τ
roz
τ
ext
)
J
: momentos inercia generalizados (dependen de
q
)
h
: fuerzas ficticias: Coriolis+ centrífugas.
g
: pares gravitacionales (dependen de
q
)
•^
“Truco”: Control por par calculado o Linealización porrealimentación. Despejo y agrupo términos no lineales ennueva entrada
u
. “Obtengo” sistema lineal:
•^
Aplico control PID a este sistema y luego despejo
ττττ
mot
de
u
•^
Problema: En realidad
J,h,G
son aproximados (modelado).
P ej si robot coge un peso.
-^
Funciona dentro de ciertos límites.
g
(q)
q
h(q,
q
J(q)
u
q
u
g(q) ) q
h(q,
τ
(q) J
q
−^
&&^
1
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7.5 Control No Lineal (II): Adaptativo
Control adaptativo con modelo de referencia MRACDemostrar la convergencia es difícil: TMA Lyapunov
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7.6. Control Discreto/Continuo
•^
Hasta ahora continuo... Pero hoy CPU discreta en tiempo:–
ω
s^
frec.muestreo (“sampling”)
T
s^ periodo de muestreo
; k=1,2,3,...
- Evitar control discreto o digital (Transf Zeta) -^
Para que parezca continuo,
ω
s^
debe ser al menos 10
veces mayor que la frec. natural del sist:– Sist 2º orden:
ω
s^
> 10*
ω
n
•^
Problemas de derivada discreta:– Veloc aproximada (interpolación no es bueno. Min cuadrados sí).– Si mov lento: cada ciertos
T
s^ habrá un cambio brusco de derivada
•^
Otro requerim.:
ω
n^
debe alejarse de la frec estructural de
resonancia (mecánica, entre 5 y 25Hz):
ω
n
ω
res
Robot
q(t)
q des
(k T
)s
PID CPU
Encoder
V (k T
)s
2
2
2
) (
) (
) (
) (
n
sn
s
s N
s D
s N
s H
ω
ζω
=
=
q muest
(k T
)s
e(k T
)s
