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25
Matriz de transformaciónhomogénea: Rotación (I)
-^
Supongamos que el sistema O’UVW sólo se encuentra rotado conrespecto al sistema OXYZ. Las submatríz de rotación
R
3x
será la
que defina la rotación.
-^
Se pueden definir tres matrices homogéneas básicas de rotaciónsegún el eje sobre el que se realice dicha rotación.
26
Matriz de transformaciónhomogénea: Rotación (II)
-^
Ejemplo 1.– Tenemos
un
sistema
OUVW
que
se
encuentra
girado
alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular lascoordenadas del vector
r xyz
si
r uvw
=[-2,7,3]
T.
rx ry r^ z^1
27
Criterio de Composición de matrices
homogéneas
-^
Idem que con rotaciones.
-^
Criterios de composición de matrices homogéneas– Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado OUVW son
coincidentes, la matriz homogénea de transformación será lamatriz identidad 4x4,
I^4
el
sistema
OUVW
se
obtiene
mediante
rotaciones
y
traslaciones definidas
con respecto al sistema fijo
OXYZ, la
matriz
homogénea
que
representa
cada
transformación
se
deberá
premultiplicar
sobre
las
matrices
de
las
transformaciones previas.
el
sistema
OUVW
se
obtiene
mediante
rotaciones
y
traslaciones definidas
con respecto al sistema móvil
, la matriz
homogénea
que
representa
cada
transformación
se
deberá
postmultiplicar
sobre
las
matrices
de
las
transformaciones
previas.
28
Dem Criterio Premultiplicación de
Matrices Homogéneas
-^
Pensemos en puntos Q que se mueven(en lugar de sistemas que se mueven).Todo pto Q con resp. a sist fijo.
-^
Ej: Dos giros: Q
ÆA^
Q^ B
Æ
QC
-^
Habrá una matriz ortonormal quetransforme:
QB
= A
Q 1
A
QC
= A
Q 2
B^
Î
Q
= AC
A 2
Q 1
A
Î
La transf de puntos premultiplica.
QA
QB
Qc
QA
1º QB
X^
X’
X’’ Y’ Y
¿Quiénes son A
y A 1
Si lo vemos como mov de sist: Q
esB^
un punto cuyas coord cambian:Q
= TB^
Q’ 1
B
¿Quién es Q’
?: es QB^
(véase queA
está sobre el propio eje X’)Luego: Q
= TB
Q 1
. Por tanto: AA
= T 1
1
Análogamente A
= T 2
2
Comparando para Q
= M Q’’C^
C
Tenemos: Q’’
= QC^
A
Î
M = A
A 2
= T 1
T 2
1
Qc
29
Combinación de rotaciones y
traslaciones (I)
-^
Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicasmultiplicando las matrices correspondientes.
-^
En general el producto
NO
es conmutativo.
- El producto de translaciones sí es conmutativo.– El de rotaciones NO -^
Ejemplo: Con respecto a un sist de coord fijo:Rotar y después trasladar
≠^
Trasladar y después rotar
U’
U’
30
Combinación de rotaciones y
traslaciones (IIa)
RESPECTO A UN
SISTEMA FIJO
(PREMULT)
-^
Rotación seguida de traslación:
-^
Traslación seguida de rotación:
= T(p) R( x,
) = R( x,
) T(p)
31
Combinación de rotaciones y
traslaciones (IIb)
-^
Rotación seguida de traslación: RESPECTO A UN
SISTEMA MÓVIL
(POSTMULT)
-^
Traslación seguida de Rotación
= T(p) R( x,
) = R( x,
) T(p)
32
Combinación de rotaciones y
traslaciones (III)
-^
Evidentemente para dos transf sólo hay dosposibilidades, luego coinciden 2 parejas.
-^
Ejemplo 1. Rotación seguida de traslación– Un sistema OUVW ha sido girado 90º alrededor del eje OX (sist
fijo)
y^
posteriormente
trasladado
un
vector
p (8,-4,12)
con
respecto al sistema OXYZ (sist fijo). Calcular las coordenadas (
rx,
r^ y ,
r ) del vector z
r^
con coordenadas
r uvw
rx ry r^ z^1
37
Significado de las columnas de una
matriz homogénea
-^
{ n,o,a
} = terna ortonormal del sistema O’X’Y’Z’ con
respecto al OXYZ
-^
p^
: posición de O’ respecto de O
-^
DEM: calcular la transformación de los vectores unitarios i, j,k
y del origen O’
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
↓ ↓ ↓ ↓
↑ ↑ ↑ ↑ = ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1 0 0 0 1 0 0 0 p a o n
T
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
p
a
o
n
p
a
o
n
p
a
o
n
38
Inversa de una matriz homogénea
-^
Si se tiene la relación
r xyz
T r
uvw
y se multiplica en ambos miembros
por
T
-^
-1 T
r xyz
r uvw
por lo que teniendo en cuenta el significado geométrico de una matrizde transformación, se deduce que los vectores fila de la submatriz derotación de la matriz T, representan los ejes principales del sistemade coordenadas de referencia OXYZ con respecto a OUVW.
39
Gráficos de transformación
O
R
M
E H
Objeto
Mundo
Herramienta
Robot
Extremo
Objetivo a calcular
Otras expresiones
- Aplic: coger objeto externo en posición conocida (O)• Se trabaja como en suma de vectores.
40
Cinemática (I)
-^
Cinemática del robot– Estudio de su movimiento con respecto a un sistema de referencia
-^
Descripción analítica del movimiento espacial del robot como unafunción del tiempo.
-^
Relaciones entre la posición y orientación del extremo del robot encoord del mundo y los valores de sus coordenadas articulares (coordpropias).
-^
Problema
cinemático
directo:
Determinar
la
posición
y
orientación del extremo del robot, con respecto a un sistema decoordenadas
de
referencia,
conocidos
los
valores
de
las
articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos delrobot.
-^
Problema cinemático inverso
: Determinar la configuración que
deben
adoptar
las
articulaciones
del
robot
para
alcanzar
una
posición y orientación del extremo conocidas.
- NOTA: La inversa de la matriz
R
TE
no es la solución del problema
cinemático inverso, sino la relación contraria (del sist {E} al {R}).
-^
Modelo diferencial
(matriz Jacobiana): Parte de la cinemática que
intenta obtener las relaciones entre las velocidades del movimientode las articulaciones y las del extremo del robot.
41
Cinemática (II)
Cinemática inversa
Cinemática directa
42
Resolución del problema cinemático
directo (I)
-^
Mediante un método geométrico– Obtenemos la posición y orientación del extremo del
robot apoyándonos en las relaciones geométricas• No es un método sistemático• Es usado cuando tenemos pocos grados de libertad
q+ q^1
2
43
Resolución del problema cinemático
directo (II)
-^
Mediante matrices de transformación homogénea– A cada eslabón se le asocia un sistema de referencia solidario– Es posible representar las traslaciones y rotaciones relativas
entre los distintos eslabones
i-
A i
representa la posición y orientación relativa entre
los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot
- Representación total o parcial de la cadena cinemática del robot: -^
0 A
0 A
1 A 1
(^22)
A^3
-^
T^
=^
0 A
0 A
(^11)
A^2
2 A
(^33)
A^4
4 A
(^55)
A^6
- Existen métodos sistemáticos para situar los sistemas de
coordenadas asociados a cada eslabón y obtener la cadenacinemática del robot.
Denavit-Hartenberg
(D-H).
44
Método de D-H: matrices homog •^
Permite
el^
paso
de
un
eslabón
al
siguiente
mediante
transformaciones básicas, que dependen exclusivamente de lascaracterísticas del robot.
-^
Las transformaciones básicas que relacionan el sistema
{S
}^ i
de
referencia del elemento
i^
con el sistema
{S
}i-
del elemento
i-
son:
1.^
Rotación
θi
alrededor del eje z
i-
2.^
Traslación d
a lo largo del eje zi^
i-
3.^
Traslación a
a lo largo del eje xi^
i
4.^
Rotación
alrededor del eje xi
i
-^
Transformaciones resp sist móvil : postmultiplicación.
Respecto al sistema i-1 (esta
pareja conmuta)
Respecto al sistema i (tb conmuta)
49
Algoritmo de Denavit-Hartenberg (II) 7)
Para
i^ de
^1
a
n-
,^ situar x
en la línea normal común a z i
i-^
y z
.i
Para
i
de
^1
a
n-
,^
situar y
i^
de modo que forme un sistema
dextrógiro con x
y zi^
.i
Situar el sistema {S
}^ n
en el extremo del robot de modo que z
n
coincida con la dirección de z
n-
y x
sea normal a zn^
n-
y z
.n
10) Obtener
como el ángulo que hay que girar en torno a z i
i-^
para
que x
i-^
y x
queden paralelos.i
11) Obtener d
como la distancia, medida a lo largo de z i
, que habríai-
que desplazar {S
} para que xi-^
y xi^
i-^
quedasen alineados.
12) Obtener a
como la distancia medida a lo largo de x i^
, (que ahorai
coincidiría con x
) que habría que desplazar el nuevo {Si-^
} parai-^
que su origen coincidiese con {S
}.i
13) Obtener
como el ángulo que habría que girar en torno a x i
, quei
ahora
coincidiría
con
x
,i-^
para
que
el
nuevo
{S
}i-
coincidiese
totalmente con {S
}.i
NOTA: Según la notación de las matrices homogéneas, en cada paso
10), 11), 12) y 13) el sistema final (movido) debería llevar primas (‘)
50
Algoritmo de Denavit-Hartenberg (III)^ 14) Obtener las matrices
de transformación
i-
A
.i
15) Obtener la matriz de transformación
que relaciona el
sistema de la base con el del extremo del robot:
T^
=^
0 A
A
... 2
n-
A n
- La
matriz
T^
define
la
orientación
(submatriz
de
rotación)
y^
posición
(submatriz
de
traslación)
del
extremo
referidas
a^
la
base
en
función
de
las
n
coordenadas articulares.
-^
Los cuatro parámetros de D-H (
θi , d
, ai
,^ i αi
) dependen
únicamente de las características geométricas de cadaeslabón y de las articulaciones que le unen con elanterior y el siguiente.
51
Ejemplo 1. D-H (I)
52
Ejemplo 1. D-H (II)
(^
(^
−
C
S
S
S
SC
C
C
C
C
SS
CS
C
S
S-
C
C
S
S-
C
C
S
Sθa
Cθ S- Cθ C Sθ
Cθa
Sθ S Sθ C- Cθ
1 2
4
4
4 3 1 1 (^41)
4 1
4 3 1 1 (^41) 4 1 4 (^33) (^22) (^11) 0
4
4 4
4 4 4 3 3 3 2
2 2 1 1 1 1
1 1 1 0 i i i
i i i i i i i i i i i i i i i
(^1) i
l d
l d
l d
l
d
d
l
d
A
A
A
A
T
A
A
A
A
A
α
α
α
α
α
α
53
Ejemplo 2. D-H (I)
54
Ejemplo 2. D-H (II)
C
S
S-
C
C-
S
S
C
C
S
S-
0 C 1 0 0 0
C
S-
C-
S
C-
S
C-
S
0 S 0 C 1 0 0 0
C
S
S-
C
4
6 6
6 6 6 5 5 5
5
5 5 4
3 4
4
4 4 4 3 3 2 3 3
3 2 3 3 3 2
1 2
2
2 2 2 1 1 1
1
1 1 0
⎡^ ⎢⎢⎢⎢⎣
l l
l l
l
A
A
A
A
A
A
55
Ejemplo 3. SCARA
NOTA
: Los sistemas de
referencia de esteSCARA no estánelegidos según el
criterio D-H
56
Problema cinemático inverso
-^
El
objetivo
del problema cinemático inverso consiste en encontrar
los valores que deben adoptar las coordenadas articulares delrobot,
q
=[q
q 1
... q 2
T] n
, para que su extremo se posicione y oriente
según una determinada localización espacial.
-^
La resolución no es sistemática, sino por tanteo: Depende de laconfiguración del robot y pueden existir soluciones múltiples(redundancia) o inexistencia de solución (punto inaccesible).
-^
Debemos intentar conseguir una solución cerrada (analítica), esdecir, encontrar una relación matemática explícita de la forma:
qk
= f
(k
x , y
,z,
,^ β
k = 1…n (GDL)
-^
La solución cerrada presenta las siguientes ventajas frente a lanumérica:–
Posibilidad de resolución en tiempo real (seguimiento de trayectorias).– Posibilidad de incluir restricciones que garanticen la mejor solución (porejemplo, límite en los recorridos articulares).– Posibilidad de simplificaciones.– Problema: No siempre existe.
61
Resolución por matrices de
transformación (II)
62
Resolución por matrices de
transformación (III)
63
Matriz Jacobiana
Jacobiana inversa
Jacobiana directa
Aplicaciones que requieren controlar la velocidad además de la posición.
64
Jacobiana directa
Regla de la cadena:
65
Jacobiana inversa
-^
Aplicación en la que se requiere determinada veloc del extremo(resp al mundo)
Î
Hallar las veloc propias.
-^
Inversión simbólica de la matriz Jacobiana:^ –
Gran complejidad: matriz 6x6 de funciones trigonométricas.
-^
Derivar la cinemática inversa (cerrada). Sólo robots sencillos
-^
Evaluación e inversión numérica de la matriz Jacobiana:^ –
Necesidad de recómputo continuo (en cada instante).– Es la que se suele usar en robots complejos.– En ocasiones
J
no es cuadrada. Matriz pseudoinversa.
-^
En ocasiones el determinante de
J^
es nulo: configuraciones singulares.
•^
Salen veloc propias tendiendo a infinito
Î
tray irrealizable.
66
Configuraciones singulares
-^
Jacobiano (determinante de la matriz jacobiana) nulo.
-^
Incremento infinitesinal en coordenadas cartesianasimplica incremento infinito en coordenadas articulares.–
En las inmediaciones de las configuraciones singulares,el pretender que el extremo del robot se mueva avelocidad constante, obligaría a movimientos de lasarticulaciones a velocidades inabordables por susactuadores.
-^
Implica pérdida de algún grado de libertad (movim encierta dirección es imposible).
-^
Tipos de singularidades:–
En los límites del espacio de trabajo del robot.
•^
El extremo se encuentra en algún punto límite de trabajointerior o exterior.
-^
En el interior del espacio de trabajo del robot.•
Alineación de dos o más ejes de las articulaciones delrobot.
-^
Requieren su estudio y eliminación.
− q^ i
y
x^
&^
J
J
si
det(
1
67
Configuraciones singulares
•^
Esta
figura
muestra
el
resultado
de
intentar
realizar con un robot tipoSCARA,
una
trayectoria
en línea recta a velocidadconstante
que
pasa
por
una
configuración
singular.
•^
Obsérvese
la
brusca
variación de la velocidadarticular
que crece
hasta
valores
inalcanzables
en
la
práctica
& q^1
q^1 & q^1
q^1
cte
v
cte
vx y
=^ =
68
Dinámica
• Modelo dinámico de un robot.• Dinámica directa e inversa.• Formulaciones del modelo dinámico.
73
Formulaciones del modelo dinámico •^
Complejidad depende del número de GDL rotatorios
-^
Formulación de Newton-Euler
:
- Basada en el equilibrio de fuerzas y pares:– Procedimiento recursivo.– Ecuaciones finales poco estructuradas (no cerradas).– Buena eficiencia computacional: depende directamente del
número de GDL.
-^
Formulación de Lagrange-Euler:^ – Basada en el principio de conservación de la energía:– N Ecuaciones finales bien estructuradas (cerradas).– Baja eficiencia computacional: depende directamente de la
cuarta potencia del número de GDL.
(^
)ω
m^
I
I
v
F^
×
∑^
&^
i i^
L q
L q
U
K
L^
d dt
74
Forma mod.
dinámico del robot
-^
Ecc dinámica de robot:–
: Pares efectivos (que le “llegan” al brazo:
τmot
-^ τ
roz
-^
τext
-^
J : momentos inercia generalizados (dependen de
q
-^
h : fuerzas ficticias: Coriolis+ centrífugas.
-^
g : pares gravitacionales (dependen de
q
-^
Problema: En realidad
J,h,G
son aproximados (modelado).
P ej si robot coge un peso.
-^
Las velocidades introducen más imprecisión: modelo espeor a más veloc, antigüedad del robot, etc.
g(q) )q
h(q, q J(q) τ^
=
&
&&
