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TEMA 4.
Geometría, cinemática y dinámica
E. U. Politécnica
Universidad de Sevilla
Dpto de Arquitectura y Tecnología de Computadores
Fernando Díaz del Río (http://www.atc.us.es/fdiaz)
Satur Vicente Díaz (http://www.atc.us.es/satur)
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Índice: Geometría, cinemática y
dinámica
-^
Geometría– Coordenadas propias y del mundo– Representación de la posición.
-^
Tipos de coordenadas
- Matrices de rotación– Representación de la orientación del elemento final -^
Ángulos de Euler y RPY
- Matrices de transformación homogéneas -^
Cinemática– Problema cinemático directo e inverso
-^
Dinámica– Ecuaciones de Newton-Euler– Ecuaciones de Lagrange-Euler
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Coordenadas propias y del mundo
-^
Coordenadas propias (del cuerpo)
-^
Coordenadas del mundo (Normalmente, fijamos el centro en la basedel robot)–
Posición y orientación del extremo final del robot respecto a un sistemade coordenadas del mundo.
-^
Posición y orientación de una pieza respecto a un sistema decoordenadas del mundo
⇒
Hallar la posición y orientación del extremo final del robot (en f decoord propias).
4
Representación de la posición (I)
- Vamos a representar la posición en un
espacio tridimensional
- Veremos 3 tipos de representación
- Coordenadas cartesianas– Coordenadas cilíndricas– Coordenadas esféricas
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Representación de la posición (II)
-^
Coordenadas cartesianas– Utilizamos el sistema de
referencia OXYZ
- Definimos la posición mediante
el vector
p
( x,y,z
)
-^
x^
expresa la proyección del vector
p
sobre el eje OX.
-^
y^
expresa la proyección del vector
p
sobre el eje OY.
-^
z^
expresa la proyección del vector
p
sobre el eje OZ.
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Representación de la posición (III)
-^
Coordenadas cilíndricas– Utilizamos el sistema de
referencia OXYZ
mediante el vector
p
( r,
θ,z
)
-^
r^
es la distancia desde el origen O hasta el extremodel vector
p
.
-^
θ^
es el ángulo formado por la proyección delvector
p
sobre el plano
OXY con el eje OX.
-^
z^
expresa la proyección del vector
p
sobre el eje
OZ.
7
Representación de la posición (IV)
-^
Coordenadas esféricas– Utilizamos el sistema de
referencia OXYZ
mediante el vector
p
( r,
θ
,Ф
)
-^
r^
es la distancia desde el origen O hasta el extremodel vector
p
.
-^
θ^
es el ángulo formado por la proyección del vector
p
sobre el plano OXY con eleje OX.
-^
Ф
es el ángulo formado por el vector
p
con el eje OZ.
8
Matrices de rotación: 2D XOY: sist coord base
UOV: sist coord móvil
13
Orientación elemento terminal (I)
-^
Un punto queda definido en el espacio a travésde su posición
-^
Para un sólido necesitamos definir además cuales la orientación
-^
La orientación de un objeto se puede definircomo la relacion entre un sist ligado al objeto yel sist de referencia del mundo.
-^
Hay varias formas de definir la orientaciónsiendo las más usuales:– Ángulos de Euler– Ángulos RPY
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Orientación elemento terminal (II)
Ángulos de Euler ZX’Z’’ (más usados
en mecánica)
-^
Es una de las representacionesmás habituales.
-^
Si se parte de los sistemas OXYZy OUVW, inicialmentecoincidentes, podemos colocar alsistema OUVW en cualquierorientación siguiendo lossiguientes pasos (en orden):1.^
Girar el sistema OUVW un ángulo Φ
con respecto al eje OZ, convirtiéndose en el OU´V´W´.
Girar el sistema OU´V´W´ unángulo
θ
con respecto al eje OU´
(X inicial), convirtiéndose en elOU´´V´´W´´.
Girar el sistema OU´´V´´W´´ unángulo
ψ
con respecto al eje
OW´´ (Z inicial), convirtiéndosefinalmente en el OU´´´V´´´W´´´
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Orientación elemento terminal (III)
Ángulos de Euler ZY’Z’’ (más usados
en robótica porque coincide conmuñeca de muchos robots)
-^
Si se parte de los sistemasOXYZ y OUVW, inicialmentecoincidentes, podemos colocaral sistema OUVW en cualquierorientación siguiendo lossiguientes pasos (en orden):1.^
Girar el sistema OUVW unángulo
Φ
con respecto al eje
OZ, convirtiéndose en elOU´V´W´.
Girar el sistema OU´V´W´ unángulo
θ
con respecto al eje
OV´ (Y inicial), conviertiendoseen el OU´´V´´W´´.
Girar el sistema OU´´V´´W´´ unángulo
ψ
con respecto al eje
OW´´ (Z inicial), convirtiéndosefinalmente en el OU´´´V´´´W´´´
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Orientación elemento terminal (IV)
-^
Ángulos de Euler ZY’Z’’
-^
Matriz de rotación (postmultiplicación, pues esgiro resp a sist móviles):
^
^ −
^
′′
′
ψ
ψ
ψ
ψ
θ
θ
θ
θ
φ
φ
φ
φ
ψ
θ
φ^
C
S
S
C
C
S
S
C
C
S
S
C
w
u
z
,
,
,^
R
R
R
R
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Orientación elemento terminal (V)
Ángulos RPY•^
“roll” (balanceo), “pitch” (inclinación)y “yaw” (orientación). En naúticacorresponde a alabeo, cabeceo yguiñada.
-^
Representación utilizadageneralmente en aeronáutica.
-^
Si se parte de los sistemas OXYZ yOUVW, inicialmente coincidentes,podemos colocar al sistema OUVWen cualquier orientación siguiendolos siguientes pasos (en orden):1. Girar el sistema OUVW un ángulo
ψ^
con respecto al eje OX. Es el denominado Yaw o guiñada.
- Girar el sistema OUVW un ángulo
θ
con respecto al eje OY. Es eldenominado Pitch o cabeceo.
- Girar el sistema OUVW un ángulo
Φ
con respecto al eje OZ. Es el denominado Roll o alabeo.
Pinza
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Orientación elemento terminal (VI)
•^
Matriz de rotación (Ángulos RPY)premultiplicación (resp a sist fijo):
•^
En general, no es posible desacoplargeométricamente la orientación de la posición• Si cambia la posición, cambia orientación y viceversa• Excepción: robot cartesiano.
^ −
^
ψ θ
ψ θ
θ
ψ φ ψ θ φ ψ φ ψ θ φ θ φ ψ φ ψ θ φ ψ φ ψ θ φ θ φ
ψ
ψ
ψ
ψ
θ
θ
θ
θ
φ
φ
φ
φ
ψ
θ
φ
C
C
S
C
S
S S C S S C C S S S C S
S S C S C C S S S C C C
C
S
S
C
C
S
S
C
C
S
S
C
x
y
z
,
,
,^
R
R
R
R
C
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Coordenadas homogéneas
-^
Una matriz de rotación 3 x 3 no nos da ninguna posibilidad para latraslación y el escalado.
-^
Introducimos una cuarta coordenada–
p (
x,y,z
)^
p
( wx,wy,wz,w
) , donde
w
tiene un valor arbitrario y representa
un factor de escala.
-^
Vector en coordenadas homogéneas:
-^
Ejemplo: 2
i +
j +
k^
[2,3,4,1]
T^
= [4,6,8,2]
T = [-6,-9,-12,-3]
T .
-^
En general, la representación mediante coordenadas homogéneasde la localización de sólidos en un espacio n-dimensional se realizaa través de coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional.
a b^ c 1
awbwcww
x y z w
p
20
Matriz de transformación
homogénea (I)
-^
Matriz 4x4 que representa la transformación de un vector de coordenadashomogéneas de un sistema de coordenadas a otro.
-^
En
robótica
la
submatriz
f 1x
,^
que
representa
una
transformación
de
perspectiva, es nula; y la submatriz
w
1x
, que representa un escalado
global, es la unidad:que representa la orientación y posición de un sistema OUVW rotado ytrasladado con respecto al sistema de referencia OXYZ.
-^
Todas estas matrices
R
contienen información redundante (9 elem. pero
solo 3 ángulos de orientación)
×
×
×
×
Escalado
a
Perspectiv
Traslación
Rotación
1 1
3 1
1 3
3 3
w
f
p
R
T
×
×
Traslación
Rotación
1 3
3 3
p
R
T
