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17/7/
Considere: x 2 + 6 = 0
x 2 = - 6 x = ± - 6 Si estamos trabajando solamente dentro de los numeros reales, entonces tenemos que el conjunto solucion seria si x ∈ entonces CS = 𝜙
De lo que hemos aprendidon de algebra, nosotros no podemos multiplicar un numero real por si mismo de tal forma que este de un numero negativo. Si en su lugar tuviesemos
x 2 - 6 = 0 x 2 = 6 x = ± 6 CS = ± 6
Se tiene un conjunto mas grande, se podria decir una extension del conjunto de los reales, los numeros complejos: ℂ Se define icomo el numero complejo
i = - 1 Se define el conjunto de los numeros complejos como ℂ : {a + bi ; a, b ∈ ℜ} Se dice que a es la parte real y bes la parte imaginaria.
Todas las propiedades del algebra se aplican aqui tambien.
i 0 = 1 i 1 = i i 2 = - 1 i 3 = - i i 4 = 1 i 5 = i Se repite el patron del exponente, ejemplos:
i 332 = i 4 = 1 = 1
(^83 )
i 1271 = i 4 ⋅ i = 1 ⋅ -i = - i
(^317 ) ( ) i 500 = i 4 125 = 1 125 = 1
El plano complejo
Todo numero real es un numero complejo, el conjunto de los numeros complejo incluye a los numeros complejos, pues se da cuando b = 0 en z = a + bi.
Operaciones con numeros complejos.
La suma y resta de numeros complejos se realiza termina a termino, parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria. z 1 = a + bi, z 2 = c + di z 1 ± z 2 = a + bi ± (c + di) z 1 ± z 2 = (a ± c ) + (b ± d i) Ejemplo:
z 1 = 1 + i 2
e z 2 = - i 5
Encontrar a) z 1 + z 2
z 1 + z 2 = 1 + i + - i 2
e 5
z 1 + z 2 = 1 + + - 1 i 2 5
e
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
1
2
Eje imaginario
Eje real
z 1 = 1 + 2i
z 2 = - 1 - 3 i 2
Definicion de conjugado de un numero complejo: Sea z un numero complejo tal que z = a + bi, el conjugaod de z simbolizado por z⏨y se define como:
⏨z^ =^ a - bi En otras palabras, z⏨es un numero tal que z ⋅ z⏨es un numero real.
Cociente de los numeros complejos Sean z 1 = a + bi, z 2 = c + di, el cociente entre z 1 y z 2 simbolizado por
= = ⋅
z z
1 2
a + bi c + di
a + bi c + di
c - di c - di o generalizando
= ⋅
z z
1 2
z z
1 2
z⏨ 2 z⏨ 2 19/7/
Sean z 1 = 3 + i, z 2 = 1 + i, z = 8i 2
3 Encuentre:
a)
z z
1 2
=
z z
1 2
3 + i 1 + 25 i
considere z⏨ 2 = 1 - i 2
z z
1 2
z⏨ 2 z⏨ 2
3 + i 1 + 25 i
1 - i
1 - i
2
5
2
5
3 + i 1 - i
1 +
5 4
3 - 325 i + i - 25 i^2 9 4
3 - 325 i + i + 25 9 4
4 3 - i + i + 9
3 2
5 2
5 12 - 6 i + 4i + 2 9
= = + i
12 + 2 - 6 + 4 i 9
b)
z z
2 1
z z
2 1
1 + i 3 + i
2
5
considere z⏨ 1 = 3 - i
z z
2 1
z z
2 1
z⏨ 1 z⏨ 1
1 + i 3 + i
2
5 3 - i 3 - i
1 + i 3 - i 9 + 1
2
3 - i + i - i 10
3 2
5 2
(^5 )
= ⋅ = = + i
3 + + i - i 10
2
5 3 2
5 2 2
6 + + 3 i - i 20
c)
z z
1 3 =
z z
1 3
3 + i 8 i considere z⏨ 3 = - 8 i
= ⋅ = ⋅ = = = - i
z z
1 3
z z
1 3 z
z⏨ 3 3
3 + i 8 i
(^2 8) - 24 i 64
Se define como el modulo del vector que lo represta, es decir, sea el numero complejo z = a + bi
El modulo de z esr = |z| = a 2 + b^2
Ejemplos
a
b
r = |z|
𝜃 = arg( )z = tan-^1 = 60° 1
La expresion de un numero complejo en forma polar.
El numero complejo Z se puede escribir de la forma z = r𝜃 r = |z| 𝜃 = arg( )z
Ejemplo: escribir z = 5 + 4 2 ien forma polar
r = 5 2 + 4 2 =
2 25 + 16 4
𝜃 = tan-^1 ≈ 45.23°
z = 25 + 16 (^4) 45.23°
Se tiene que a = r cos 𝜃yb = r sin𝜃 z = r cos 𝜃 + r sin𝜃i z = r (cos 𝜃 + sin 𝜃i) Ejemplos: Escriba z = 2120°en forma rectangular a = 2 cos(120° )= - 1 b = 2 sin(120° ) = 3 z = - 1 + 3 i
Escriba z = (^5) 48°en coordenadas rectangulares
a = 5 cos(48° ) b = 5 sin(48° ) Forma exponencial de un numero complejo Dado un numero exponencial z = a + bi z se puede escribir de la forma:
z = rei𝜃 Ejemplo Escriba z = 2120°en forma exponencial
3
3 3
3
3
120° ⋅ 𝜋^ rad= 180°
z = 2e i
2 𝜋 3
