Operaciones con Números Complejos en Ingeniería, Diapositivas de Álgebra

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Operaciones con

Números Complejos

ÁLGEBRA PARA INGENIERÍA

FIM E-UANL

Introducción

𝑎 + 𝑏𝑖 Es la manera canónica de un número complejo, en donde:

𝑎 + 𝑏: Son número reales

𝑖: Unidad imaginaria

En 𝑎 + 𝑏𝑖

• Si 𝑏 = 0 el numero será 𝑎, un número real.
• Si a = 0 el número será, llamado número imaginario puro.
• Si 𝑎 = 𝑏 − 0 el número será 0, un número real

2. x + 5 y + 2 i = 8 + 2 x − 4 y i Solución: 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 𝑎 = 𝑐 𝑏 = 𝑑 ∴ 1) 𝑥 + 5 𝑦 = 8
   2. 2 = 2 𝑥 − 4 𝑦 Al ordenar las ecuaciones resultantes:

1. 𝑥 + 5 𝑦 = 8
2. 2 𝑥 − 4 𝑦 = 2 Al resolver por suma y resta multiplicamos por - 2 la ecuación 1) y queda 1) (− 2 𝑥 − 10 𝑦 = 16 ) ;<=;>?@A;>B <=; C@A < ;>C@A;>C 𝑦 = 1

2. x + 5 y + 2 i = 8 + 2 x − 4 y i Con 𝑦 = 1 en cualquier de la ecuaciones 1) o 2) podemos calcular el valor de x tomando la ecuación 1)

1. 𝑥 + 5 𝑦 = 8 𝑥 + 5 1 = 8 𝑥 = 8 − 5 𝑥 = 3

Ejemplo: Transformar a números complejos y efectuar la suma indicada.

Solución: = 3 + 8 − 1 + 2 + 32 − 1 = 3 + 4 2 𝑖 + 2 + 16 2 𝑖 = 3 + 2 2 𝑖 + 2 + 4 2 𝑖 = ( 3 + 2 ) + 2 2 + 4 2 𝑖 = 5 + 6 2 𝑖

Resta: Igual que en la suma se agrupa la parte real y la parte imaginaria. 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 − 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏 − 𝑑 𝑖. Ejemplo: Transformar a números complejos y efectuar la resta indicada.

Solución: = 3 + 8 − 1 − 2 + 32 − 1 = 3 + 4 2 𝑖 − 2 + 16 2 𝑖 = 3 + 2 2 𝑖 − 2 − 4 2 𝑖 = ( 3 − 2 ) + 2 2 − 4 2 𝑖 = 1 − 2 2 𝑖

División: Para dividir se multiplica la fracción por el conjugado del denominador, ya que el producto de números complejos conjugados es un número real. La idea es que la unidad imaginaria no aparezca en el denominador. El producto de números complejos conjugados es un número real. 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑐 + 𝑑𝑖

< 𝑐 <^ − 𝑑𝑖 <^

𝑐<^ + 𝑑<^

𝑐<^ + 𝑑<^

Ejemplo: Efectuar la división indicada.

F <K< FL F <;< FL

F <K< FL F <;< FL

F <K< FL F <K< FL

(F <K< FL)M (F <) M K(< FL)M Solución: = (F <)MK< F < < FL K(< FL)M N < ;C(F)LM^

N < K>< < FLKC(F)LM

J;>< ;>

JK>< BLK><(;>) JK><

JK>< BL;>< F?

BK>< BL F? B(>K< BL) B=G

G

< G

Potencia: Para elevar un número a una potencia se trata como si fuera un binomio elevado a la potencia. (𝑎 + 𝑏𝑖) < = 𝑎 <

• 2 𝑎𝑏𝑖 + (𝑏𝑖) < = 𝑎 <
• 2 𝑎𝑏𝑖 + 𝑏 < 𝑖 < = 𝑎 <
• 2 𝑎𝑏𝑖 + 𝑏 < (− 1 ) = 𝑎 <
• 𝑏 <
• 2 𝑎𝑏 𝑖 Ejemplo:

C = ( 1 ) C

• 4 1 F −𝑖 + 6 1 < (−𝑖) <
• 4 1 −𝑖 <
• (−𝑖) C = 1 + 4 ( 1 ) −𝑖 + 6 ( 1 )(𝑖) <
• 4 1 −𝑖 <
• (𝑖) C = 1 − 4 𝑖 + 6 (− 1 ) + 4 −𝑖 + ( 1 ) = 1 − 4 𝑖 − 6 + 4 𝑖 + 1 ( 1 − 𝑖) C = − 4

Solución: 𝐴 − 𝐵 − 𝐶 = 5 + 3 𝑖 − − 2 + 6 𝑖 − ( 3 − 2 𝑖) 𝐴 − 𝐵 − 𝐶 = 5 + 3 𝑖 + 2 − 6 𝑖 − 3 + 2 𝑖 Al agrupar 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 4 − 𝑖

Solución: 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 = 5 + 3 𝑖 ∗ − 2 + 6 𝑖 ∗ 3 − 2 𝑖 Al multiplicar 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 = (− 10 + 30 𝑖 − 6 𝑖 + 18 𝑖 < ) 3 − 2 𝑖 Con 𝑖 < = − 1 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 = (− 10 + 30 𝑖 − 6 𝑖 − 18 ) 3 − 2 𝑖 Al agrupar 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 = (− 28 + 24 𝑖) 3 − 2 𝑖 Al multiplicar 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 = − 84 + 56 𝑖 + 72 𝑖 − 48 𝑖 < Con 𝑖 < = − 1 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 = − 84 + 56 𝑖 + 72 𝑖 + 48 Al agrupar 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 = − 36 + 128 𝑖

TKU V Solución: TKU V

(GKFL) K(;<KBL)

F;<L Efectuamos la suma TKU V

GKFL ;<KBL F;<L Al agrupar TKU V

FKNL F;<L Multiplicar por el complejo conjugado del denominador TKU V

FKNL F;<L

FK<L FK<L Efectuar la operación TKU V

NKBLKJLM FM;<MLM^ Con 𝑖 < = − 1 TKU V

;NKFFL

F Queda como solución final TKU V

N

F

FF

F