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Repaso UNI^ Seminario Especial de Matemática
Aritmética
1. Una obra puede ser realizada por 23
obreros durante 15 días a razón de 10 horas diarias. Si el primer día trabajan 2 obreros, el segundo día 3 obreros, el tercer día 4 obreros, y así sucesivamente hasta el n - ésimo día, harían 33, 3
% me- nos de la obra. Al momento de repartir- se una bonificación de S/.4200 entre 3 obreros lo hacen en forma proporcional a sus edades que son n – 8; n /2 y n años. Calcule cuánto de más recibiría el menor si el reparto fuese inversamente propor- cional.
A) S/.500 B) S/.800 C) S/. D) S/.300 E) S/.
2. Ortiz depositó S/.15 000 durante t meses.
Por los 4 primeros meses se pagó el 60% a interés simple, luego con una capitali- zación bimestral por el tiempo restante a la misma tasa y al final se obtuvo una suma de S/.26 353,8; al cabo de ese tiem- po adquiere un artefacto cuyo costo al contado es S/.3400; para ello da una cuo- ta inicial equivalente a la tercera parte del interés simple obtenido y por el resto firmó letras de igual valor pagaderas bi- mestralmente durante t /2 meses. Calcule el valor nominal de las letras si la tasa de descuento es 5% mensual.
Considere: Ln(1,4641)=0, Ln(1,1)=0,
A) S/.1000 B) S/.1500 C) S/. D) S/.1100 E) S/.
3. Se funden dos lingotes de oro de a y b
kilates, en cantidades que son inversa- mente proporcionales a sus leyes. La aleación obtenida se funde con x gramos de oro puro. Para obtener 10 sortijas de 4 gramos cada una cuya liga es 0 2,
, calcule el valor de x. Considere que 70 a =59 b , con a y b menores de 20.
A) 10 B) 20 C) 30 D) 25 E) 15
4. En una librería se vendieron cuadernos
de la siguiente manera: el primer día se vendió 3/4 del total más un cuaderno, el segundo día se vendió 3/4 de lo que quedaba más un cuaderno, y así sucesivamente. Al finalizar el día d se vendieron todos los cuadernos, además, la cantidad total de cuadernos vendidos está comprendida entre 1000 y 2000. Calcule cuántos números enteros tienen un raíz cuadrada aproximada a 1, d en menos de 1/ d.
A) 2 B) 1 C) 3 D) 5 E) 4
SEMINARIO ESPECIAL DE MATEMÁTICA
Ciclo Repaso UNI - 2009 I
Academia César Vallejo
5. Se quiere dividir un terreno rectangular,
cuyas dimensiones son mnpm y abnb metros, en A parcelas ( A mínimo) cuadradas iguales, además, el lado de estas es una cantidad entera en metros y al colocar una estaca en cada vértice de las parcelas se usaron B estacas. El número mnpm tiene 30 divisores, sólo tiene dos factores primos y estos a la vez son números consecutivos. Calcule cuántas fracciones equivalentes a A/B existen tales que el numerador es de 3 cifras y el denominador de 4 cifras si el número abnb es múltiplo de 72.
A) 14 B) 1 C) 13
D) 22 E) 7
6. El siguiente polígono de frecuencia mues-
tra las edades de un grupo de personas distribuidas con igual ancho de clase.
Si se sabe que b < 20 calcule lo siguiente: I. El promedio de las edades. II. Al seleccionar una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la edad de la persona seleccionada esté comprendida entre 30 y 54 años?
A) 40 6, 50 8,
y 70% B) 40,2 y 50,6% C) 40 6, 58 8, %
y D) 40,2 y 50,8% E) 40% y 50,5%
7. Dado el número bacba cuya cantidad
de divisores es impar, al extraer su raíz cuadrada resulta un número que tiene como sus dos últimas cifras ba. Calcule m+n+p+q+r si se cumple que ab , ac 8 = pqr , mn... 6.
A) 10 B) 13 C) 14 D) 12 E) 11
8. Sea x una variable aleatoria que indica
el número de hijos y el siguiente cuadro muestra la distribución de su probabi- lidad.
x 2 3 4 5 P ( x ) 2 a b a 3 b
Si el valor esperado de x es 3, calcule lo siguiente: I. Qué tanto por ciento de las madres de familia tiene entre 2 y 5 hijos. II. Si de un total de 100 a madres de fa- milia se sabe que el 25% son viudas, calcule la probabilidad de que al se- leccionar a 3 madres de familia a lo más dos sean viudas.
A) 30%; 13/ B) 10%; 111/ C) 20%; 11/ D) 30%; 113/ E) 10%; 7/
Academia César Vallejo
14. Si A = −
^
1 1 es una matriz tal que A^3 = mA + nI , I es la matriz identidad, determine el valor de m n.
A) 1 B) 1/4 C) 1/
D) –1 E) – 4
15. Dada la sucesión { xn } de términos po-
sitivos definida por x (^) n xnK K
−
∞ 1 =^ ∑(^ ) 1
, si
la sucesión existe, ¿a qué valor converge?
A) 0 B) 1 C) e D) 1/ e E) 3/
16. S ea f : R^2 → R u na función definida por
f ( x; y )=2 x+y. Determine el punto de menor abscisa de la región convexa mostrada en la figura, donde f alcanza su máximo.
A) (7; 1)
B) (9; 7)
C) (11; 3)
D) (3; 4)
E) (6; 6)
Geometría
17. En el gráfico, ABCD es un trapecio
isósceles ( BC // AD ), AM=MB, CN=ND y AR=RN. Calcule x.
A) 53º/
B) 37º/
C) 30º
D) 37º
E) 45º
18. Del gráfico mostrado, calcule m^ PQ .
A) 35º
B) 50º
C) 70º
D) 55º
E) 75º
Repaso UNI^ Seminario Especial de Matemática
19. Según el gráfico mostrado, calcule el
área de la región sombreada si se sabe que AP = 3.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
20. La semicircunferencia y el rectángulo
ABCD , de centro O , se ubican en planos perpendiculares, además, LM=MN , R = y ( AM ) 2 +( MC )^2 =18. Calcule la medida del diedro entre el plano LON y el plano de la semicircunferencia.
A) 15º B) 53º C) 37º
D) 30º E) 45º
21. E n el gráfico, T y Q son puntos de tangen-
cia, m PS ^ = m MN y m TL ^ +m AQ ^ = 200º. Calcule x.
A) 160º
B) 100º
C) 80º
D) 90º
E) 120º
22. Se tiene un prisma hexagonal regular
ABCDEF – GHIJKL tal que AG^ =^5 (^ AF ); se traza FQ ⊥ GD , Q en GD. Si la distancia de Q a la región hexagonal GHIJKL es 2 5, calcule el volumen del prisma.
A)^75
B)^65
C)^81
D)^85
E)^69
Repaso UNI^ Seminario Especial de Matemática
26. En el gráfico, ABCD es un cuadrado.
Determine la medida del ángulo MPC expresado en radianes.
A) π 3
^
arcsen
B) π 3
^
arcsen
C) π 3
^
arcsen
D) π 3 − 12 32 −^1
^
arcsen
E) π 3
^
arcsen
27. Calcule la suma de soluciones de la
ecuación
sen 2 arccos cot(^ ( 2 arctan x )) = 0
si 0 < x <2.
A) 1 B) 2 C) 2 − 1
D) 2 + 1 E) 2 2
28. Definimos la función f mediante
f x ( ) = 2 (^ sen^ x^ +^ sensen^ xx −^ −cos^ cos x^ x^ −cos x )
3 4 3 4
para π^ < x < 3 π 2 Determine el rango de f.
A) 0 ; 2 + 1
B) 0 ; 2 − 1
C) 0 ; 2 − 1
D) 0 ; 2 − 1
E) 0 ; 2 − 1
29. ¿Cuál es el equivalente de la siguiente
expresión? θ = + ( (^) − )
^
arc sen tan^ º^ tan^ º tan º tan º
A)^2
π
B) π 9
C)^7 10
π
D)^7
π
E) π 10
30. El ángulo de inclinación de cada una de
dos rectas paralelas es α. Si una de ellas pasa por el punto ( a; b ) y la otra por el punto ( c; d ), calcule la distancia entre las rectas.
A) |( c – a )senα+( d – b )cosα| B) |( c – a )cosα+( d – b )senα| C) |( c+a )senα – ( d+b )cosα| D) |( c – a )senα – ( d – b )cosα| E) |( c – a )cosα – ( d – b )senα|
Academia César Vallejo
31. Sea la función f de periodo 2 cuyo gráfico
se indica para –1 ≤ x <1.
Para la función h x ( ) = cos ( f (^ x ))
^
π 2
ana- lice la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Ran( h )=[–1; 1〉 II. La función h es periódica, con periodo 2. III. Para x ∈ 〈0; 1〉 la función h es creciente.
A) FFV
B) VVF
C) FVF
D) FVV
E) FFF
32. En un cuadrilátero ABCD , las regiones
triangulares ABC y ADC tienen el mismo perímetro. Determine el equivalente de AD CD AB BC
A) cos^^ B 2^ sec D 2
B) cos B sec D
C) cos 2 sec^2 2 2
B D
D) sen^ B^ csc D 2 2 E) sen 2 2^ B^ csc^2 D 2
Lima, 17 de febrero de 2009
