series y transformadas, primeras clases, Diapositivas de Matemáticas Aplicadas

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Gladys Cruz Y.

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IET/IME

Funciones Complejas

Universidad Nacional

Tecnológica de Lima Sur

Motivación

Discute y resuelve

En la ciudad de San Louis Misouri EE.UU, se construyó un arco que tiene la forma de una catenaria invertida. En el centro tiene 192 m de altura y de extremo a extremo en la base, hay una longitud de 192.28 m. La forma del arco obedece en forma aproximada a la curva de la ecuación

y = 231 − 39 cosh( x 39

¿ Cuál será la longitud total del arco?

Logros de aprendizaje

I (^) Representa en el plano, transformaciones de funciones complejas I (^) Resuelve ecuaciones con funciones complejas

I (^) Identifica y obtiene funciones complejas inversas

Funciones Complejas

Definición

Sea [a , b] un subconjunto de los números reales R. Si para cada valor de t ∈ [a , b] le corresponde una variable compleja ω , entonces ω es una función compleja definida sobre el conjunto [a , b] denotada por

f : [a , b] ⊂ R −→ C t 7 → f (t) = ω

donde ω = f (t) = u(t) + iv (t)

El conjunto [a , b] es usualmente llamado el dominio de definición de la función ω. El conjunto de todos los valores f (t) se llama el rango de la función ω.

Función compleja

La función ω = f (z) lo escribimos como:

f : D ⊂ C −→ C z 7 → f (z) = ω

Si z = x + iy y ω = u + iv entonces

ω = f (z) = f (x , y ) = u(x , y ) + iv (x , y )

donde u(x , y ) y v (x , y ) son funciones reales tal que

u(x , y ) = Re[f (z)] , v (x , y ) = Im[f (z)]

con u , v : R^2 → R

Ejemplo

Expresar ω = f (z) = z^2 + iz + 2 − i como un par de funciones reales Solución:

ω = f (z) = z^2 + iz + 2 − i = (x + iy )^2 + i(x + iy ) + 2 − i

= x 2 − y 2 − y + 2 + i( 2 xy + x − 1 )

u(x , y ) = x 2 − y 2 − y + 2 v (x , y ) = 2 xy + x − 1

Funciones Lineales

2. α = 0 y β 6 = 0 complejo:

ω = β

Esta aplicación es un mapeo degenerado que aplica todo el plano z en un punto β del plano ω.

3. α 6 = 0 complejo y β = 0 :

ω = α z

Este mapeo amplía o expande | α | unidades a |z| y rota θ 0 grados a z.

Funciones lineales

4. α 6 = 0 y β 6 = 0complejos:

ω = f (z) = α z + β

Este mapeo expande | α | unidades a |z|, rota θ 0 y traslada a una posición β a α z.

Por ejemplo , si aplicamos f (z) = ( 1 + i)z + 3 + i2 a un conjunto de puntos en el dominio z ( D ), entonces esta aplicación expande al radio

2 unidades, rota 45 o^ al conjunto de puntos y lo traslada 3 unidades en el eje real y dos unidades en el eje imaginario

Funciones Trigonométricas Complejas

Recordar que

e ix^ = cosx + isenx y e− ix^ = cosx − isenx

de donde se obtiene que

cosx = e ix^ + e− ix 2

y senx = e ix^ − e− ix 2 i También recordar que las fun- ciones reales hiperbólicas senhx y coshx se definen por

coshx =

e x^ + e− x 2

y

senhx =

e x^ − e− x 2

Funciones Trigonométricas Complejas

Se definen las funciones complejas seno y coseno como

cosz = e iz^ + e− iz 2

y senz = e iz^ − e− iz 2 i

donde z = x + iy Desarrollando se tiene que

cosz =

e ix^ − y^ + e− ix^ + y 2 = cosx (

e y^ + e− y 2 ) − isenx (

e y^ − e− y 2

de donde se obtienen I (^) cosz = cosxcoshy − isenxsenhy I (^) senz = senxcoshy + icosxsenhy

En forma similar desarrollar tanz, cotz, secz y cscz

Funciones Hiperbólicas

I (^) coshz = coshxcosy + isenhxseny

I (^) senhz =

I (^) tanhz =

I (^) cothz =

I (^) sechz =

I (^) cschz =

Gráficas

-Cosh z Sech z

Gráficas

ArcSen z

Arctan z

Funciones Hiperbólicas Inversas

I (^) senh−^1 z = ln(z +

z^2 + 1 ) I (^) cosh−^1 z =

I (^) tanh−^1 z =

I (^) coth−^1 z =

I (^) sech−^1 z =

I (^) csch−^1 z =