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solucion ejercicios sistemas de control automatico 4
Tipo: Ejercicios
1 / 42
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Respuesta de Régimen Transitorio
Calcular los valores de K y Kh para que el sistema tenga una respuesta con un
sobreimpulso del 20% y un tiempo de 1sg.
s(s 1 )
G( s)
; H (s) 1 Khs
s ( 1 KK )s K
s(s 1 )
K( 1 Ks) 1
s(s 1 )
M(s)
h
2 h
M e 0. 2 = 0.
1 2 p ^
1 sg w rad/ sg w
t (^) d d
p
w w 1 wn=3.52rad/sg
2 d n
2 2
2
s 3. 168 s 3. 52
M( s)
s ( 1 KK )s K
M(s)
h
2
2
1 KKh 3. 16
K (^) h 2. 16 / 12. 39 0. 178
Respuesta de Régimen Transitorio
Ms fs k
lim s
lim sG(s) s 0 s 0 2
C 1 /k 3
k 1 / 3 N/ m
w (^) n kM 1. 96 2 2
k M
M 0. 087 Kg
f ( 2 Mk) 0. 6 3
0. 6 2 Mk 0. 6 2 0. 087
f 0. 204 N/(m/sg )
Para el sistema de la figura siguiente, calcular el valor de K y p para que cumpla:
M (^) p 5 % t (^) s 4 sg
s(s p )
G( s)
s ps K
M( s) 2
n
2 n
2
n
2
s 2 w s w
w M (s)
M e 0. 05 0.
2 1 p ^
4 sg w 1. 13 rad/ sg w
t (^) n
n
s
ArcCos( ) 46. 36 º
w (^) n 0. 69 * 1. 13 0. 78
s ps k
M( s) 2
K w 1. 27
2 n
p 2 n 2 0. 69 1. 13 1. 56
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Para el sistema de la figura siguiente, donde s(s 6 )
G( s)
Calcular: - Tiempo de subida
s 6 s 25
s(s 6 )
s(s 6 )
1 G(s)
G(s) M (s) 2
w (^) n 5 rad/sg; 0. 6
d
r w
t
ArcCos( )ArcCos( 0. 6 ) 0. 927 rad/ sg
w w 1 5 1 0. 6 4 rad/ sg
2 2 d n
t (^) r
d
p w
t
t (^) p
2 1 Mp e
M e 0. 095 9. 5 %
62
6
p ^
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Aplicando tablas de transformadas:
x( t) 1 e Cos( 0. 866 t) 0. 576 e Sen( 0. 866 t)
0. 5 t 0. 5 t
Para el sistema del ejercicio 1.3. suponiendo:
= 1 Nm/sg; k= 1 Nm 2
=f 1
1 Kg; M 1
M
Calcular la respuesta temporal del sistema ante una entrada escalón unitario.
En el ejercicio 2.3 se obtuvo las funciones de transferencia que relacionaban las variables
del sistema:
2 1 1 2 2 2 2
1 2 2
sM f f Ms f ks f
Ms f ks
F(s)
V(s)
2 1 1 2 2 2 2
2 2
sM f f Ms f ks f
f
F(s)
V(s)
Sustituyendo por los valores:
(^0). 5 s 2 s 2 s 2
s 2 0. 5 s 1 1 s 1
F(s)
V(s)
3 2
2 1
Respuesta de Régimen Transitorio
s
1
( 0. 5 s 2 s 2 s 2 )
2
1
(^122) s 0. 435 1. 043
s 3. 13
s
V (s)
Aplicando las tablas de transformadas de Laplace:
(^0). 5 s 2 s 2 s 2
s
s 2 0. 5 s 1 1 s 1
F(s)
V(s)
3 2
2
s
( 0. 5 s 2 s 2 s 2 )
s V (s) (^2 )
(^222) s 0. 435 1. 043
s 3. 13
V (s)
Aplicando las tablas de transformadas de Laplace:
v1(t)
v 2 (t)
Tiempo (s)
Respuesta de Régimen Transitorio
Obtener las funciones de transferencia G 1 , G 2 , G 3 , G 4 .y total del sistema.
Introducir un controlador proporcional que haga al sistema comportarse como si fuese de
2º orden, con sobreimpulso, ante entrada escalón, del 4.321%
Para obtener la función de transferencia del sistema de la figura se han realizado una serie
de ensayos a los bloques G 1 , G 2 , G 3 y G 4 que lo constituyen.
Al bloque G 1 se le ha sometido a una señal de entrada rampa unidad, obteniéndose la
respuesta de la gráfica:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
1
2
3
4
Al bloque G 2 se le ha introducido una señal escalón unidad, respondiendo como se puede
ver en la gráfica:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
1
R(s) (^) +
G 1 (s)
G 3 (s) G^4 (s)
G 2 (s)
+
+
-
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Al bloque G 3 se le ha introducido una señal impulso unidad, obteniéndose:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
Al bloque G 4 se le ha introducido una señal escalón unidad, obteniéndose
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
1
El bloque G 2 (s) corresponde con una ganancia unitaria: G 2 (s) 1
El bloque G 3 (s) corresponde con un integrador de ganancia 0.11: 9 s
s
G 3 (s)
El bloque G 4 (s) corresponde con un integrador de ganancia unidad: s
G 4 (s)
Luego la cadena directa del sistema quedará:
T (^12342) 9 s
G (s)(G (s)G (s))G (s)G (s)( 3 s 1 )
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Expansión en fracciones parciales:
c (^2222) (s 5. 7 ) 35. 3
(s 5. 7 ) 35. 3
s 35. 3
s
(s)
y la respuesta del sistema ante una entrada escalón queda:
39. 1 t 5. 7 t 5. 7 t c Sin(^35.^3 t)e
(t) 1 0. 54 e 0. 458 Cos( 35. 3 t)e
Que de forma gráfica sería:
La respuesta es muy similar al de un sistema de segundo orden subamortiguado, con las
siguientes características:
Mp = 41%; tr = 0.07sg.; tp = 0.11sg.
El motivo de que la respuesta sea similar a la de un sistema de segundo orden está en que,
para este valor de ganancia del amplificador, la función de transferencia de lazo cerrado tiene
dos polos complejos conjugados en -5.7j35.3 (dominantes) y uno real en -39.1. De esta
forma podemos ver que el polo del eje real tiene una constante de tiempo pequeña comparada
con la de los otros dos polos y por eso la forma de la respuesta es dominada por los
complejos.
Se podía pensar en aproximar el sistema por una simplificación con solo los polos
complejos, como la siguiente:
s 11. 4 s 1278. 6
M (s) 2
El problema está en que será una aproximación muy burda ya que la relación entre las
distancias al eje imaginario, de los polos complejos con el polo real, es menor de 10 (6.8)
Respuesta de Régimen Transitorio
luego no sería despreciable.
Para comprobar que no se puede realizar la aproximación (en principio) comparamos la
respuesta, ante un escalón unidad, del sistema real con la del sistema reducido:
Se puede ver como en la parte transitoria se produce un error apreciable.
Para el sistema del ejercicio 1.12., suponiendo que el amplificador K toma el valor 0.6,
dibujar de forma aproximada la respuesta del sistema x(t) ante una entrada escalón unitario en
la referencia de posición r(t). Indicar los valores numéricos de los principales parámetros de
dicha respuesta.
En el ejercicio 1.12. se obtuvo el siguiente diagrama de bloques del sistema:
s
R (s)
10 s 10 s 4. 5 s 1
5 s 2. 5 s 1
2 s 1
G( s) 2 3 2
K 2 s 1
(^5) s 2. 5 s 1
2
10
Amplificador
Bomba Embolo
Transductor
r(t) e(t) v(t) p(t) x(t)
c(t)
Respuesta de Régimen Transitorio
La figura muestra la respuesta la respuesta del sistema completo.
El sistema equivalente considerado para el cálculo de los parámetros ha sido:
s 0. 1436 s 0. 3266
k
(s 0. 0718 ) 0. 567
k M (s) 2
red 2 2
red red
s
s 0. 1436 s 0. 3266
k lim sM(s)R(s) s s 0 2
k (^) red k (^) red 0. 0209
s 0. 1436 s 0. 3266
M (s) red (^2)
La respuesta del sistema reducido es:
Tiempo(s)
Amplitud
Respuesta al escalón unitario
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
Tiempo (s)
Amplitud
Respuesta al escalón del equivalente reducido
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Comparando ambas respuestas en la misma gráfica pueden observarse las diferencias
existentes al despreciar el polo más alejado del origen.
La respuesta en línea continua corresponde con el sistema total y la de línea discontinúa
con el equivalente reducido.
Para el sistema de control cuyo diagrama de bloques se muestra en la figura:
K G(s)
H(s)
X(s) E(s) U(s) Y(s)
s 4 s 5
3 (s 0. 66 ) G (s) 2
(2s 8)(s 6)
H(s)
unitario cuando K=1.
Tiempo(s)
Amplitud
Comparativa de las respuestas de ambos sistemas
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
(s 4 s 5 )(s 4 )(s 6 ) 15 s 10
( 3 s 2 )(s 4 )(s 6 )
(s 4 )(s 6 )
s 4 s 5
3 s 2 1 0. 1
s 4 s 5
3 s 2
1 K·G(s)H(s)
K·G(s) M (s) 2
2
2
((s 2. 16 ) 0. 97 )(s 3. 47 )(s 6. 2 )
s 14 s 69 s 147. 5 s 121
Un sistema aproximado, aunque de forma grosera, sería:
s 4. 32 s 5. 6
(s 2. 16 ) 0. 97
M' (s) 2 2 2
donde se ha ajustado la ganancia del equivalente reducido para tener la misma ganancia
estática que el sistema original (0.039).
Un modelo reducido más ajustado sería:
s 4. 32 s 5. 6
(s 2. 16 ) 0. 97
La diferencia está en el cero en –0.66, porque suma a la respuesta del primer equivalente la
respuesta del sistema de segundo orden a un impulso:
s
s 4. 32 s 5. 6
s 4. 32 s 5. 6
s
s 4. 32 s 5. 6
s 4. 32 s 5. 6
Y' '(s) 2 2
Tiempo (s.)
Respuesta al impulso
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
Respuesta de Régimen Transitorio
Tiempo (s.)
Respuesta al escalón del sistema original y equivalentes reducidos
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
M’’(s)
M(s)
M’(s)
2 n n 5. 6 2. 36 rad/s
2 n 4. 32 0. 91 2 2. 36
arccos arccos 0. 91 24. 5 º 0. 427 rad
2 2 d n rad/s
t
d
p
t
d
r
t n
s
M e 0. 00101 0. 1 %
1 2 p ^
