INGENIERIA DE CONTROL AUTOMATICO II, Resúmenes de Sistemas de Control

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DISEÑO DE SERVOSISTEMAS

MEDIANTE METODOS DE

ESPACIO DE ESTADO

DISEÑO DE SERVOSISTEMAS

En el problema del regulador, el criterio de diseño es

eliminar las perturbaciones y llevar el vector de estado del

sistema a cero en un tiempo razonable.

Sin embargo, la mayoría de los sistemas de control son

servosistemas, esto es, la salida y( t) ha de seguir a una

entrada de referencia r( t) ,

Ahora, el objetivo de diseño es hacer que el vector de

estado y la salida del sistema sigan unas

trayectorias deseadas.

 Para no modificar el tipo del sistema y que los polos sean ubicados en el sitio

deseado, se utiliza la configuración:

 El vector de ganancia de realimentación de estado vale:

2

3

𝑛

 la ecuación característica del sistema debida a la realimentación de estado

procederá de la matriz:

1

2

2

3

𝑛− 1

𝑛

 Se deduce que la señal de control está dada por:

1

 si las variables de estado se escogen de forma que y(t) = x 1

(t) el problema se

simplifica mucho, ya que la señal de control se puede escribir como:

1

 donde la matriz de ganancia

𝑲 está ahora completa:

1

2

𝑛

 El sistema en lazo cerrado tendrá pues la expresión:

1

 Con lo cual, la matriz del sistema en lazo cerrado será ahora:

1

1

2

2

3

𝑛− 1

𝑛

EJEMPLO

Dada la planta modelada por la función de transferencia siguiente:

Diseñar un sistema de control que sitúe los polos de lazo cerrado en − 2 ± 𝑗 4 𝑦 −

10 , y que pueda seguir sin error una señal de referencia tipo escalón.

Como la señal de excitación 𝑢(𝑡) no contiene derivadas, el modelo de estado de la

planta se escribe en la forma de variables de fase siguiente:

1

2

3

1

2

3

1

2

3

donde en efecto, 𝑥 1

EJEMPLO

La señal de control está dada por:

1

2

3

1

2

3

1

En primer lugar se ha de comprobar si la planta es controlable, para ello el rango de

la matriz de controlabilidad 𝑀 𝑐

2

𝐵

ha de ser 3. En efecto,

𝑐

Es de rango 3.

matriz del sistema de control en lazo cerrado es:

1

2

3

La salida se mantiene inalterable:

1

2

3

Para comprobar de forma analítica la capacidad de seguimiento del sistema, es que:

1

2

3

− 1

0

teniendo en cuenta que x 1

(t) = y(t),

2

3

Con lo cual:

2

3

Por tanto, se demuestra que, la salida sigue fielmente a la entrada.

CASO GENERAL. LA PLANTA NO POSEE INTEGRADOR

 En general, el modelo de la planta mediante realimentación de estado produce

un sistema tipo 0. Este tipo de sistema es incapaz de seguir sin error a una

señal de entrada.

 La figura muestra un sistema de control con realimentación de estado capaz

de seguir sin error una señal de referencia escalón (error de posición nulo).

haciendo los reemplazos convenientes, se puede escribir el modelo de estado de

orden ( n + 1 ) en forma matricial como:

0

0

0

Al sustituir 𝑢(𝑡) deducido anteriormente en la ecuación de estados y

simplificando, se obtiene:

0

0

0

 Si hacemos:

0

 En consecuencia, para calcular los coeficiente de 𝑲 y 𝑘 0

, usamos la siguiente

ecuación:

0

1

𝑛

 Esta ecuación permite ubicar los polos del sistema en lazo cerrado en el lugar deseado.

 En esta última ecuación hay n+ 1 incógnitas, k 0

, k 1

, ..., k n

, y (n + 1 ) coeficientes conocidos

(polos) decididos por el diseñador.

 El valor estacionario de la variable de estado x 0

(t) que incorpora el integrador al

sistema en 𝑡 → ∞, se calcula a partir de:

0

0

 Para evitar la posibilidad de que el integrador insertado se cancele por un cero de la planta

en el origen, se supone que la función de transferencia de la planta no tiene un cero en el

origen.

 No siempre estarán disponibles para su medida precisa todas las

variables de estado, de modo que habrá que utilizar en el sistema de

seguimiento tipo 1 un observador de estado del orden necesario.

 En la figura se muestra el sistema con el observador de estado

insertado.

EJEMPLO

Dada la planta definida por:

a) Diseñe un controlador sin control integral para obtener el 10 % de sobrepaso y

un tiempo de asentamiento de 0. 5 segundos. Evalúe el error en estado estable

para una entrada escalón unitario.

b) Repita el diseño considerando el control integral (servosistema tipo 1 ). Evalúe el

error en estado estable para una entrada escalón unitario.

Solución:

Probando controlabilidad:

𝑐

; det 𝑀 𝑐

La planta es controlable

EJEMPLO

b) Considerando en control integral (Servosistema tipo 1 ).

1

2

0

1

2

0

1

2

0

Entonces,

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

La planta no tiene ceros en el origen. Colocando el tercer polo en 𝑠 = − 100 :

1

2

0

2

• 16 𝑠 + 185 )

EJEMPLO

Entonces:

1

2

0

3

• 116 𝑠

2

• 1785 𝑠 + 18500

Resolviendo:

3

• ( 5 + 𝑘 2

2

• +( 3 + 𝑘 1

0

3

• 116 𝑠

2

• 1785 𝑠 + 18500

Igualando coeficientes se tiene: 𝑘 0

1

2

La ecuación de estado queda:

1

2

0

1

2

0

A partir del resultado construimos la función de transferencia en lazo cerrado:

3

• 116 𝑠

2

• 1785 𝑠 + 18500