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Sólido Rígido-Tema 2, Apuntes de Física

Universidad de Granada (UGR)Física
Prof. Yolanda Castro Díez

Asignatura: Fisica General I, Profesor: Yolanda Castro Díez, Carrera: Física, Universidad: UGR

Tipo: Apuntes

2015/2016

Subido el 08/02/2016

carolmarmar
carolmarmar 🇪🇸

4.2

(13)

9 documentos

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bg1
Tem a2. DINÁMICADELSÓLIDORÍGIDO
1. Elsólidorígido.Gradosdelibertad
2. Magnitudesangulares
3. Rotaciónentornoaunejefijo.Energíacinéticaderotación
4. Momentodeinercia.Cálculo
5. Ecuaciónfundamentaldeladinámicaderotación
6. Rodadura
7. Trabajoypotenciaderotación
8. Conservacióndelmomentoangular
9. Movimientogiroscópico
10. Estáticadelsólido.Centrodegravedad
Yolanda Castro Díez FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 1
1. Sólidorígido.Gradosdelibertad
Modelodesólidorígido
Sistemadepuntosmaterialesenelqueladistancia entredoscualesquieradeellosno
cambia antelaaccióndeunsistemadefuerzasnosepuededeformar.
Elsólidorígidonoexisteenlarealidad.Lossistemasfísicossedeformanbajolaaccióndelas
fuerzas.Sinembargo,elmodeloesaplicablecuandoestasdeformacionessonpequeñas
comparadasconlasdimensionesdelsistemamecánicoesunabuenaaproximaciónal
comportamientorealdemuchoscuerpos.
Ladinámicadeunsólidorígidoesposibleestudiarlaconlosconceptosdeladinámicadela
partícula.
Gradosdelibertaddeunsólidorígido
Númeromínimodeparámetrosindependientes necesariosparadescribirlaconfiguración
deunsistema.
Libreenelespacio:3(traslacióninstantáneadeunodesuspuntos)+3(rotacióninstantánea
entornoaunejequepaseporesepunto)=6.
Conunpuntofijo:3.
Conunejefijo:1.
Yolanda Castro Díez FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 2
2. Magnitudesangulares
Yolanda Castro Díez FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 3
2
tangencial
Velocidadangular(rad/s) Aceleraciónangular(rad/s )
 
dd
vr a r
dt dt






3. Rotaciónentornoaunejefijo.Energíacinéticaderotación
Cuandoelejederotaciónesfijo,losvectoresvelocidadangularyaceleración
angularsetomansobreelejederotación.
Laenergíacinéticadeunobjetorígidoquegirarespectoaunejefijoeslasuma
delaenergíacinéticadelaspartículasindividualesqueconstituyenelobjeto
Energíacinéticaderotación
Momentodeinercia
Yolanda Castro Díez FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 4
222 22
11 1
()
22 2
i
cc ii ii ii
ii i i
I
E E mv mr mr






2
ii
i
Imr
2
1
2
c
EI
pf3
pf4
pf5

Vista previa parcial del texto

¡Descarga Sólido Rígido-Tema 2 y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!

Tema

2. DINÁMICA

DEL^ SÓLIDO

RÍGIDO

1.^ El^ sólido

rígido.

Grados

de^ libertad

2.^ Magnitudes

angulares

3.^ Rotación

en^ torno

a^ un^ eje

fijo.^ Energía

cinética

de^ rotación

4.^ Momento

de^ inercia.

Cálculo

5.^ Ecuación

fundamental

de^ la^ dinámica

de^ rotación

6.^ Rodadura7.^ Trabajo

y^ potencia

de^ rotación

8.^ Conservación

del^ momento

angular

9.^ Movimiento

giroscópico

10. Estática

del^ sólido.

Centro

de^ gravedad

FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 1

1. Sólido

rígido.

Grados

de^ libertad

Modelo

de^ sólido

rígido

^ Sistema

de^ puntos

materiales

en^ el^ que

la^ distancia entre

dos^ cualesquiera

de^ ellos

no

cambia ante

la^ acción

de^ un^ sistema

de^ fuerzas

^ no^ se

puede^

deformar.

^ El^ sólido

rígido^ no

existe^ en

la^ realidad.

Los^ sistemas

físicos^

se^ deforman

bajo^ la

acción^

de^ las

fuerzas.

Sin^ embargo,

el^ modelo

es^ aplicable

cuando

estas^ deformaciones

son^ pequeñas

comparadas

con^ las

dimensiones

del^ sistema

mecánico

^ es^ una

buena^

aproximación

al

comportamiento

real^ de

muchos

cuerpos.

^ La^ dinámica

de^ un^ sólido

rígido^ es

posible

estudiarla

con^ los

conceptos

de^ la^ dinámica

de^ la

partícula. Grados^ de

libertad

de^ un^

sólido^

rígido

^ Número

mínimo

de^ parámetros

independientes necesarios

para^ describir

la^ configuración

de^ un^ sistema.  Libre^ en

el^ espacio:

3 (traslación

instantánea

de^ uno

de^ sus^

puntos)

+^3 (rotación

instantánea

en^ torno

a^ un^ eje

que^ pase

por^ ese

punto)

=^ 6.

^ Con^ un

punto^ fijo:

^ Con^ un

eje^ fijo:

FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 2

2. Magnitudes

angulares

Yolanda Castro Díez

FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 3

2 tangencial

Velocidad

angular

(rad/s)

Aceleración

angular

(rad/s )

d^

d

v^

r^

a^

r

dt^

dt

^

^

^ ^

^

^ 

^

^

^

^ ^

^

3. Rotación

en^ torno

a^ un^ eje

fijo.^ Energía

cinética

de^ rotación

^ Cuando

el^ eje^

de^ rotación

es^ fijo,

los^ vectores

velocidad

angular

y^ aceleración

angular

se^ toman

sobre

el^ eje^

de^ rotación.

^ La^ energía

cinética

de^ un^

objeto

rígido^

que^ gira

respecto

a^ un^ eje

fijo^ es

la^ suma

de^ la^ energía

cinética

de^ las^

partículas

individuales

que^ constituyen

el^ objeto

^ Energía

cinética

de^ rotación

^ Momento

de^ inercia

Yolanda Castro Díez

FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 4

2

2 2

2 2

(^

i c^

c^

i^ i^

i^ i^

i i

i^

i^

i^

i I

E^

E^

m v^

m r^

m r

 

^

^

^

^

^ ^

^

^

^

^

(^2) i ii

I^ m r ^ 

E^ I^ c

4. Momento

de^ inercia

^ Medida

de^ la^ resistencia

de^ un^ objeto

a^ experimentar

cambios

en^ su^ movimiento

de

rotación

respecto

a un^ eje.

^ Análogo

rotacional

de^ la^ masa.

^ Depende

de^ la^ distribución

de^ la^ masa

dentro

del^ objeto

respecto

al^ eje^ de

rotación.

^ Cuanto

más^ lejos

está^ la

masa^ del

eje,^ mayor

es^ el^ momento

de^ inercia.

^ Al^ contrario

que^ la^

masa,^ que

es^ una

propiedad

del^ objeto,

el^ momento

de^ inercia

de^ un

objeto^

depende

de^ la^ localización

del^ eje

de^ rotación.

^ Es^ una

magnitud

tensorial.

^ Unidades

SI^ ^ kg

2 m

^ Sistemas

discretos

^ Sistemas

continuos

^ La^ simetría

del^ cuerpo

permite

a^ veces

realizar

sólo^ parte

del^ cálculo.

^ Como

el^ momento

de^ inercia

es^ aditivo

(porque

proviene

de^ una

suma^ o

integración,

que

son^ operadores

lineales),

el^ cálculo

de^ un^ momento

de^ inercia

de^ un^ cuerpo

compuesto

se

puede^ tomar

como^ la

suma^ de

los^ momentos

de^ inercia

de^ sus

partes. FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 5

2

distancia

de^ la^ partícula

al^ eje^ de

rotación

i i^

i i

i

I^ m r

r

^

^2

distancia

de^ al

eje^ de^ rotación dm

I^ r dm

r

^

Cálculo

de^ momentos

de^ inercia

^ Los^

ejes^ principales

de^ inercia

son^ los^

ejes^ definidos

por^ los^

vectores

propios

del^ tensor

de^ inercia.

Un

sólido^ que

gira^ libremente

alrededor

de^ uno^

de^ estos

ejes^ no^

varía^ su^

orientación

en^ el^ espacio.

En

cambio,^

si^ el^ cuerpo

gira^ alrededor

de^ un^ eje

arbitrario

que^ no^

sea^ principal,

el^ movimiento

de

acuerdo

con^ las^

ecuaciones

de^ Euler

presentará

cambios

de^ orientación

en^ forma

de^ precesión

y

nutación.  Cuando^

un^ sólido

gira^ alrededor

de^ uno^

de^ sus^ ejes

principales,

el^ momento

angular

L^ y^ la^ velocidad

angular^

ω^ son^ vectores

paralelos

por^ estar

ambos^

alineados

con^ una

dirección

principal.

^ Cuando

el^ cuerpo

posee^ algún

tipo^ de^

simetría,

los^ ejes

principales

coinciden

con^ los^

ejes^ de^ simetría. FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 6

X O Z O^ Y O

X O Z O^ Y O

X O Z O^ Y O

2

2

(^22)

volumétrica Distribución

de^ masa

superficial^ lineal

V

M^

s L

M^ dmcte

dm^ dV

I^

r^ dV

V^ dV M^ dm

I^ r^ dm

cte^

dm^ dS

I^

r^ dS

S^ dS M^ dmcte

dm^ dL

I^

r^ dL

L^ dL

^

^ ^

^ ^

^ 



^

^ ^

^ ^

^ 

^

^ ^

^ ^

^ ^



^

Cálculo

de^ momentos

de^ inercia

Yolanda Castro Díez

FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 7

1 2

(^82 2) ' 4

8 z^

z m^ m^

m^ m I^ ma^

I^ ma ^ ^

^  ^  Z

Y Z’ m X

h a

Masas^ puntuales

m^ en^ los vértices^ de

un paralelepípedo

de^ base cuadrada

a

Z 

2

2

2

1 2 0

3

1 3

3 3

1 2 z^12

z

z h^

I^ ML

I^ ML

Lh^

h^

Lh I^

ML ^ ^

^ 

 

^ ^

  Barra^ delgada

de^ masa

M^ y^ longitud

L

(^12) I Maz (^312) I Ma ' z^12

Z

h Z’ dx x^ a

Paralelepípedo

delgado^

de masa^ M^ y

anchura^

a

12 2 ^  I M R^ R  ^2 1 z 2

Cilindro^ de

masa^ M , radio^ exterior

R^2 e^ interior

R^1

Z

Cálculo

de^ momentos

de^ inercia

Yolanda Castro Díez

FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 8

Rd^  d ^ r R

Z^ R^ r

M^^2 dS^^2422^ z^3

rRdR I^ MR

^  ^ 

 

Corteza^ esférica

de^ masa^

M

R^ r x

dx Z

(^3) (4 / 3) (^2225) M z R ^ dV^ r dxI^ MR   Esfera^ maciza

de^ masa^

M

Z^ r z

Cono^ de^ masa

M y radio^ R M  ^2 (1 / 3) R h ^2 R^2 dV z dz ^2 h^32 I MRz^10

dz

Z^ Rd^ ^ d^  R^ 

Anillo^ de^

masa^ M y radio^ R M   2 Rd Rd  ^2 I MRz

“Rozamiento”

de^ rodadura

FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 13

^

(valor mínimo)

L

adimensional

ap^

res^ R arranque^

R R M^ F R^ mín R RR

M^

N

M^

F R^

N

F^

NR

C^ R

^  

^ ^

^   ^

Deformación coeficiente de resistencia a la rodaduracoeficiente de rodadura

de^ un^ cilindro

real

que^ rueda

sobre^ una

superficie

Cilindro

real^ deformable

que^ rueda

sobre^ una

superficie

F^ N^ f^ ^ ^ e F^ N^ deslizamiento^ ^  e

Cilindro

ideal^ indeformable

que^ rueda

sobre^ una

superficie

Rodamiento

con^ deslizamiento

^ Bola

que^ se

lanza

sin^ rotación

inicial

-^ Cuando

la^ bola

toca^ la

superficie

y^ comienza

a^ deslizar

sobre

ella,^ aparece

la^ F que rd^

reduce

su^ velocidad

lineal^ v

y^ aumenta CM^

su^ velocidad

angular,

que^ inicialmente

era^ cero.

-^ La^ bola

sique^ rodando

con^ deslizamiento

mientras:

v^ >^  CM^

R

-^ La^ velocidad

de^ deslizamiento

v^ sigue CM^

disminuyendo

y^ 

aumentando

hasta^ que

se^ cumple

la^ condición

de^ rodadura:

v^ =^  CM^

R

^ Bola

que^ gira

sobre

sí^ misma •^ Cuando

el^ taco

de^ billar

golpea

a^ la^ bola

en^ un^ punto

que^ está

por^ encima

de^ (2/5)R

sobre^ el

centro,

se^ tiene

que:

v^ <^  CM^

R

-^ En^ este

caso^ la

Fuerza

la^ Frd incrementa

la^ velocidad

de

deslizamiento

y^ reduce

la^ de^ rotación

hasta^ que

se^ alcanza

la

condición

de^ rodadura:

v^ =^  CM^

R

FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 14

 F^ rd

 v^ CM

 v^ CM  F rd

7. Trabajo

y^ potencia

de^ rotación

Sólido^

rígido^

en^ rotación

alrededor

de^ un^

eje^ fijo

bajo^ la

acción

de^ la^ fuerza

resultante

F :

La^ potencia

total^ suministrada

al^ sólido

rígido^

en^ rotación

es^ la^ rapidez

con^ que

el

momento

de^ fuerza

realiza

trabajo:

Yolanda Castro Díez

FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 15^ rotación

2

2

2

2

1 21

1

1

1

2

2 1 2

2

1

1 2

cos^

sin

2 sin

o

o

c

dW^ F dr

F ds

F ds

ds^ rd

dW^ F r

d

M dd

W^

M d^

I^ d^

I^ d

I^

d

dt

W^

I^

I^

^  E

^ ^

^

^ 

^

^ 

^

 ^

^

^ ^

^

^   

^ 

^

^

^

^

^

^

^

^

^ 

El^ trabajo

total^ realizado

sobre^ el

sólido^

rígido^ en

rotación

es^ igual

a^ la^ variación

en^ su^ energía

cinética

de^ rotación.

o^

o

dW^

d

P^

M^

M

dt^

^ dt

^ 

8. Principio

de^ conservación

del^ momento

angular

Sólido^

rígido^

en^ rotación

alrededor

de^ un^

eje^ fijo

principal

en^ un^

SRI:

Yolanda Castro Díez^ •^ Si el sólido rígido mantiene constante su momento de inercia, el principio deconservación del momento angular exige la constancia de la velocidad angularde rotación del sólido:^ •^ Sin embargo, si el sólido no es rígido o, por alguna circunstancia, modifica sumomento de inercia, el principio de conservación del momento angularestablece que:

FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 16

Si^ el^ momento

resultante

de^ las

fuerzas

exteriores

que^ actúa

sobre^ un

cuerpo

es^ nulo,

su^ momento

angular

se^ conserva.

i^ i^

f^ f I^

^  I ^ 

ext^

(^0) ext

dL^ dM I^

I^

M^

L^ I^

cte

dt^ dt

^ 

^ ^

^ ^

^ 

^

^

^ 

^

^

^

^ cte  

Conservación

del^ momento

angular FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 17

(^0) M (^) ext

L^ I^

cte 

^ 

^

^ 

^ 

I

I

Cambio

en^ el^ momento

angular

FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 18

 L^ es^ el

cambio

en^ el^ momento angular durante

el^ tiempo

 t ,

debido^

al^ momento

M^ de^ la fuerza^

F^ respecto

a^ O

 L^ y^ M

tienen

igual^ dirección

y^ sentido

 M

^  L^ I^ ^ L^

^  M t  ^ 

9. Movimiento

giroscópico Giróscopo

o^ giroscopio:

dispositivo

en^ el^ que

el^ eje^ de

rotación

puede

cambiar

libremente

de^ dirección.

En^ la^ figura

se^ muestra

un^ giróscopo simple

construido

con^ una

rueda^

de

Yolanda Castro Díez^ bicicleta.

FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 19

En^ el^ instante

posterior

a^ soltar

el

extremo

A,^ la^ rueda

también

realiza

un^ movimiento

de^ nutación

Instante

en^ el^ que

el^ eje^ de

la^ rueda

se^ encuentra

en^ la^ dirección

del^ eje^

z

ˆ^

ˆ^

(^

ˆ^

P^ T

S^ S^

P

S^ S

s^ p^

s^ s^ s^

p^ p^ p

s^

p^

s

dL^

dL^ mg D dt

M^ F D i

mg D i

d L^ mg D dt i

d^

d^ mg D

dt^

L^ I^

dt^ I

L^ L^

L^ L^

I^ k^

L^ I^

j^

 L L

^

^

^ 

^ 

^

^

^ ^

^ 

^ ^

^

^

^ 

^

^

^ ^

^ ^

^

^ 

Velocidad

angular de^ precesión La^ rueda

realiza

un^ movimiento

de

precesión

alrededor

del^ eje

vertical

Yolanda Castro Díez

FGI. Tema 2: Dinámica del sólido rígido. 20

Movimiento

de^ precesión

-^ Si^ se

coloca

el^ eje^ horizontal

apoyado

en^ O^ con

la^ rueda

sin^ girar

y^ se^ deja

en^ libertad,

entonces

la^ rueda

caerá^ girando

alrededor

de^ un^ eje

horizontal

que^ pasa

por^ O,^

debido

al

momento

ejercido

por^ el^ peso.

-^ Si^ se

coloca

el^ eje^ horizontal

apoyado

en^ O^ con

la^ rueda

girando

y^ se^ deja

en^ libertad,

entonces

la^ rueda

no^ cae

sino^ que

el^ eje^ de

rotación

de^ la^ rueda

se^ desplaza

en^ el^ plano

horizontal

en^ la^ dirección

del^ eje

x,^ describiendo

un^ movimiento

circular.

A^ este^

movimiento

se^ le^ denomina

precesión.

z x y

 M^ O^ ^ L^ O

 LdO

L^ iO^ z x

Ld^ OL^ fO