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Tema 2. DINÁMICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
Modelo de sólido rígido. Grados de libertad. 2.
Carácter vectorial de las rotaciones. 3.
Rotación en torno a un eje fijo.^ -
Energía cinética.
Momento de inercia.- Teoremas para el cálculo de momentos de inercia.^ -
Ejemplos de cálculo del momento de inercia.
5.
Ecuación fundamental de la dinámica de rotación. 6.
Rodadura. 7.
Trabajo y potencia de rotación. 8.
Conservación del momento angular. 9.
Movimiento giroscópico.
10. Estática del sólido. Centro de gravedad.
1
- Sólido Rígido: Sistema de puntos materiales en el que la distancia entre dos cualesquierade ellos no cambia ante la acción de un sistema de fuerzas. Es decir, no se puede deformar.• Características del modelo:
‐^
Buena aproximación al comportamiento real de muchos cuerpos. ‐^
La dinámica de un sólido rígido es posible estudiarla con conceptos que ya seconocen de dinámica de la partícula. ‐^
Los sólidos rígidos no existen en la realidad. Los sistemas físicos se deforman bajo laacción
de
las
fuerzas.
Sin
embargo,
el
modelo
es
aplicable
cuando
estas
deformaciones
son
pequeñas
comparadas
con
las
dimensiones
del
sistema
mecánico
•^
Grados de libertad de un sólido rígido: Número mínimo de parámetros independientesnecesarios para describir la configuración de un sistema.
‐^
Libre en el espacio: 3 (traslación instantánea de uno de sus puntos) + 3 (rotacióninstantánea en torno a un eje que pase por ese punto) = 6. ‐^
Con un punto fijo: 3. ‐^
Con un eje fijo: 1.
Modelo de sólido rígido. Grados de libertad.
2
3
Modelo de sólido rígido. Movimiento
general
de
un
sólido
rígido:
composición
de
un
movimiento
de
traslación del CM y de un movimiento de rotación alrededor del CM.
-^
Movimiento de traslación
-^
Movimiento de rotación (alrededor de un eje)
CM
CM
CM
v^2 v CM v (^1) v 1 v ^ CM
v ^2
v^ ^1
v^^2
Todas las partículas describen trayectoriasparalelas.En un instante dado todos los puntos delsólido
poseen
la^
misma
velocidad
y
aceleración
.
v^ CM
v v^
^
^
2 1
Todas las partículas describen trayectorias circularesalrededor de una línea llamada
eje de rotación
.
En un instante dado todos los puntos del sólido poseen lamisma
velocidad y aceleración angular
.
CM
CM
CM
v^2 v^ CM^ ^ v^1
CM^ v ^1 ^ v^2 v
v^^2 CM v^ ^ v^ ^1
4
•^
Movimiento general
Rotación
Este movimiento siempre puede considerarsecomo una combinación de una
traslación
y
una
rotación
CM
CM
Traslación
5
Carácter vectorial de las rotaciones.Comparación del movimiento lineal y angular con aceleración constante
Mov. Rectilíneo con a
lineal
cte
Mov. de rotación sobre un eje fijo con
cte
a = cte
^
= cte
v = v
+ at 0
^
^0
t
x = x
+ v 0
0
t+ at
^
^0
^0
t+
(^2) t/
(^2) v
- v
(^2 ) = 2a(x - x
^0
2
(^
-^
= s
ds^ v
d
s^
r^
r^
r^
v^
r
dt
dt
^
^
^
^
Cuanto más lejos deleje
esté
el
punto,
mayor será su rapidezlineal.
^
tan
tan
2
2
2
2
tan
g^
g
rad
rad
g
lineal
rad
dv
d
a^
r^
r^
a^
r
dt
dt r
v
a^
r^
a^
r
r^
r
a^
a^
a
^
^
^
^
^
^
^
^
^
Se cumple en todo instanteaún si
y^
v^ no son ctes.
Carácter vectorial de las rotaciones.
,^ con
(desplazamiento angular) idéntico para todas las partículas
i^
i
ds
r d
^
Velocidad angular (rad/s)aceleración angular (rad/s
2 )
6
7
Rotación en torno a un eje fijo. Energía cinética de rotación.
- La energía cinética de un objeto rígido que gira respecto a un eje fijo es la suma de laenergía cinética de las partículas individuales que constituyen el objeto:
2
2
2
2
2
2
(^
i
c^
c^
i^
i^
i i
i i
i^
i^
i^
i
i i i
E
E
m v
m r
m r
I^
m r
^
^
^
^
^
^
MOMENTO DE INERCIA
2
c
E
I^
Energía cinética de un objeto en rotación
8
MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES DE UN SISTEMA XYZ :
13
Ejemplos de cálculo de momentos de inercia
14
Ecuación fundamental de la dinámica de rotación. Momento angular de una partícula:
Resultado no válido para el momento angular de un puntocualquiera del eje z.
15
Momento angular de un sólido rígido:
0
2
^
^
^
^
z
i^
i^
i^
i^
i^
i^
z^
i
i z^
i^
i^
i^
i^
z^
i^
i
i z^
i^
i^
z
z^
i z^
z^
z
i
k
L^
r m v sen
r m
R
L^
L sen
r m
R sen
L^
m R
L^
L^
I
Sólido con simetría respecto al eje de rotación:
Plano XY
Z
O
^
ri
r^ j
i
L
j
L
L^ iz
jz
L
^
^
^
^
z z
L^
L k
L^
I
k
Momento angular de un sistema que gira
alrededor de un eje de simetría
16
Ejemplo: momento angular de un anillo de radio R y masa m:
17
Ecuación fundamental de la dinámica de rotación.
- Sistema de partículas con fuerzas internas centrales y que cumplen la tercera ley deNewton (ó equivalentemente SR inercial). El momento externo neto que actúa sobre un sistema es igual a la tasa de cambio delmomento angular del sistema (para que sea válida
L
debe medirse respecto a un SRI). Segunda Ley de Newton para el
movimiento de rotación.
i^
i
v^
p
^
18
Ecuación fundamental de la dinámica de rotación.
- Rotación en torno a un eje fijo principal respecto de un SR inercial.
Ecuación fundamental de la dinámica derotación en torno a un eje principal fijo
respecto de un SRI.
Aunque no vamos a probarlo aquí…Esta ecuación es más general, pues también se cumple cuando el punto de referencia estáen el centro de masa del sistema, incluso cuando el centro de masas esté aceleradorespecto a un SRI: Esto hace que a menudo sea conveniente separar el movimiento del sistema en dospartes: el movimiento de traslación del CM y el de rotación respecto al CM.
,
CM
ext CM
CM
dL
M
I^
dt
19
Rodadura.
- Movimiento combinado de traslación del CM más movimiento alrededor del CM.
- Teorema de Chasles: el movimiento más general de un sólido rígido es una superposiciónde una traslación a lo largo de una línea más una rotación alrededor de esa línea.
20
Trabajo y potencia de rotación. ‐ La
potencia total suministrada por un momento de fuerza a la rotación de objeto rígido es la rapidez con que el momento de fuerza realiza trabajo:
o^
o
dW
d
P^
M
M
dt
dt
^
^
‐^
El trabajo realizado por un momento de fuerza puede ser negativo (por ejemplo, ruedaen rotación frenada por el momento de fuerza producido por una zapata de freno). ‐^
La potencia suministrada por el momento de fuerza puede ser negativa. ‐^
Si el momento de fuerza tiende a parar la rotación,
M
y o^
ω
tendrán signos contrarios, y P
será negativo. ‐^
Una transferencia de energía de este tipo tiende a disminuir la energía rotacional delobjeto.
25
Conservación del momento angular. Rotación en torno a une eje fijo principal respecto a un SR inercial Principio de conservación del momento angular: Si el momento resultante de las fuerzasexteriores que actúa sobre un cuerpo es nulo, su momento angular se conserva. •^
Si
el
sólido
rígido
mantiene
constante
su
momento
de
inercia,
el
principio
de
conservación del momento angular exige la constancia de la velocidad angular derotación del sólido.
-^
Sin embargo, si el sólido no es rígido o, por alguna circunstancia, modifica su momentode inercia, el principio de conservación del momento angular establece que:
i^
i^
f^
f
I^
I
^
26
Conservación del momento angular.
i^
i^
f^
f
I^
I
^
27
Movimiento giroscópico.
-^ Giroscopio (o giróscopo): dispositivo en el que el eje de rotación puede cambiarlibremente de dirección.. Trayectoria seguida por elextremo
libre
del
eje
(precesión)
Movimiento
arriba
y
abajo (nutación)
‐ Para el sistema barra‐rueda consideremos el instante en elque el eje de la rueda se encuentra en la dirección del eje z.‐ Despreciamos el momento de fuerza debido al rozamiento enla rótula P. Calcular el momento total externo:
ˆ^
ˆ^
(^
ˆ^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
P^
T
S^
S
s^
p^
s^
s^
s^
p^
p^
p^
s^
p^
s
dL
dL
mgD dt
M
F D i
mgD i
d L
mgD dt i
d
dt
L^
I
L^
L^
L^
L^
I^
k^
L^
I^
j^
L^
L
^
^
P
S^
S
d^
mgD
dt
I
Velocidad angular de
precesión
28
Movimiento giroscópico.
-^
¿Por qué la rueda no cae al suelo cuando se encuentra en rotación? ‐ Si el giroscopio se encuentra apoyado en un extremo O entonces el momento de las fuerzasrespecto O no es nulo y se tiene:
^
Ld dt
M
O
extO
^
dt M
Ld
O
O
^
‐ Si en primer lugar el eje se mantiene horizontal con la rueda desprovista de giro y se deja enlibertad, entonces la rueda caerá girando alrededor de un eje horizontal que pasa por O.
‐ Este giro se debe a que el momento de las fuerzasexternas respecto a O no es nulo (debido al peso de larueda), actuando en la dirección horizontal y.‐ Inicialmente el momento angular es nulo al no haberrotación.‐ Después de un cierto intervalo de tiempo se produce uncambio en éste que viene dado por
dt M
Ld
O
O
^
z
x
L^ O d
fO L
O M
(^0) Oi L
z
x
y
O M
29
Movimiento giroscópico.
- Si en segundo lugar el eje se mantiene horizontal con la rueda provista de giro y se deja enlibertad, entonces la rueda no caerá sino que el eje de rotación de la rueda se desplazaráen el plano horizontal en la dirección del eje x, describiendo un movimiento circular. A estemovimiento se le denomina precesión.
‐ En este caso el momento angular inicial no es nulo,y tiene un valor igual a
z
x
L^ O d
O^ i L fO L
z
x
y
O M
^ L^ O
LO
d
‐ La variación del momento angular (en la direccióndel
momento
de
fuerzas)
será
en
la
dirección
perpendicular a la del momento angular.‐ Esto da lugar a que el momento angular cambie endirección
y^
no
en
módulo
describiendo
un
movimiento circular.
^
^
I
LO
30
31
- Otro ejemplo de movimiento giroscópico lo realiza un trompo o peonza. •La Tierra también realiza un movimiento de precesión y nutación (precesión de losequinoccios).
‐ El plano del Ecuador forma un ángulo de 23º27’ con elplano de la órbita terrestre alrededor del Sol (eclíptica). Laintersección de ambos se llama línea de equinoccios.‐ Debido a esta inclinación y a que la Tierra no es unaesfera (elipsoide), hay un momento de fuerzas (debido alSol y la Luna), en la dirección perpendicular al eje derotación de la Tierra (que pasa por los Polos), que haceque éste tenga un movimiento de precesión y nutación.
10. Estática del sólido rígido. • Para el
equilibrio de un sólido rígido
es necesario considerar el equilibrio con respecto
tanto a la
traslación
como a la
rotación
. Las condiciones han de ser:
ext
i
i
F
F =
^
^
Equilibrio de traslación
extO^
Oi
i
ext
M
M
^
Equilibrio de rotación
- Esta situación implica que
cte
v
F^
CM
ext
^
^
cte
M
ext O^
^
^
sólido rígido en equilibrio esté quieto
, es necesario que en el
instante
inicial se encuentre en reposo
.^
32
37
¿En qué condiciones se da el equilibrio con un objeto rígido?:
P
P
N
1
N
2
N
1
N^2
De
forma
genérica,
un
objeto
apoyado
sobre
una
superficie sólo estará en equilibrio cuando su centro degravedad esté situado sobre la superficie de apoyo,como se muestra en esta figura. Cuando la proyecciónen la superficie del centro de gravedad cae entre lossoportes, los momentos de las fuerzas de reacción quesobre
ellos
se
ejercen,
calculados
respecto
al^
CG,
poseen signos diferentes y pueden cancelarse. Estasituación deja de cumplirse cuando la proyección delCG. Cae fuera de los soportes.
38
Los animales cuadrúpedos al caminar mantienen tres patas apoyadas en elsuelo, desplazando el cuerpo de modo que el CG permanezca siempre sobre eltriángulo que forman los tres apoyos.
39
Factores que influyen en la estabilidad:
- Posición del centro de gravedad: • Tamaño del área de sustentación: mejor si el área es grande.
Los animales cuadrúpedos son más estables que los bípedos.
c.g. c.g.
Una mesa baja esmás estable
c.g.
menos estable
más estable
c.g.
c.g.
Los animales de patas cortas están mejor adaptados para vivir enterrenos escarpados o en las ramas de los árboles (ej. las ardillas).
Mejor si el c.g. es bajo
40
En el cuerpo humano la superficie de apoyoviene definida por la posición de ambos pies.
c.g.
c.g.
Al inclinar el tronco hacia delante el c.g. tiende a caer fueradel área de apoyo. Para evitarlo las piernas se desplazanhacia atrás para mantenerlo sobre los pies.Incluso estando paradosse necesitan los músculos.El c.g. pasa 3 cm delante dela articulación del tobillo: eltendón de Aquiles evita queel cuerpo rote hacia delante.
41
42
43
Analogías...
44
Fotografías y Figuras de elaboración propia, y cortesía de:•^
Tipler & Mosca “Física para la ciencia y tecnología” Ed. Reverté.
-^
Sears, Zemansky, Young & Freedman, “Física Universitaria”, Ed. PearsonEducation.
