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Soluci´on del examen final JUNIO Mate 2016-
- Dadas las funciones:
f (x, y) = x (^2) +y 3 y−x+2 ;^ g(x, y) =^
4 − (x^2 + y^2 ); h(x, y) =
(4 − x^2 − y^2 )(x^2 + y^2 − 1) Se pide:
(i) Para cada una de las funciones, calcular su dominio, es decir, el conjunto de puntos (x, y) para los que la funci´on est´a definida. (ii) Representar gr´aficamente el dominio de la funci´on g y el dominio de la funci´on h.
Soluci´on:
(i) Los dominios: Df = {(x, y) ∈ R^2 : y 6 = x − 2 }; Dg = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 4 } Dh = {(x, y) ∈ R^2 : 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4 } ∪ {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≥ 4 y x^2 + y^2 ≤ 1 } = {(x, y) ∈ R^2 : 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4 } ∪ ∅ = {(x, y) ∈ R^2 : 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4 }
(ii) Dominio de la funci´on g (gr´afica de la izquierda) y dominio de la funci´on h (gr´afica de la derecha)
y
x
y
x − 2 2
- Sea Π(r, w) = 100rrw+w la funci´on de beneficios de una empresa, donde r es el precio del capital y w es el precio del trabajo. Se pide: (a) Calcular el vector gradiente de la funci´on de beneficios dada en el punto (r 0 = 2, w 0 = 2) e interpretar econ´omicamente el signo de cada una de las derivadas parciales. (b) Calcular la matriz Hessiana de la funci´on dada en el punto (r 0 = 2, w 0 = 2).
(c) Utilizando el diferencial, calcular el valor aproximado de Π(1′ 99 , 2 ′01).
Soluci´on: (a) Vector gradiente: ∇Π(r 0 , w 0 ) = (−^100 r 20 , −^100 w 20 ) → ∇Π(2, 2) = (−^1004 , −^1004 ) = (− 25 , −25)
(b) La matriz Hessiana:
H(r 0 , w 0 ) =
r^300 (^0 200) w (^30)
→ H(2, 2) =
(c) Valor aproximado de Π(1′ 99 , 2 ′01) :
Π(1′ 99 , 2 ′01) ≈ f (2, 2) + Πr(2, 2)(1′ 99 − 2) + Πw(2, 2)(2′ 01 − 2) Π(1′ 99 , 2 ′01) ≈ 100 − 25(− 0 ,01) − 25(0,01) = 100
- Se considera la funci´on F (x, y) = x (^2) +y 2 x+y. (a) Estudiar, utilizando la correspondiente definici´on, si la funci´on es homog´enea. En el caso de que lo sea, indicar el grado de homogeneidad. (b) Se sabe que la ecuaci´on F (x, y) = 1 define la funci´on impl´ıcita diferenciable y = f (x) alrededor del punto (x 0 , y 0 ) = (1, 1). Deducir la expresi´on matem´atica de la derivada de y con respecto a x. Obtener el valor
[ (^) dy dx
]
(x 0 ,y 0 )=(1,1).
Soluci´on: (a) Utilizando la definici´on: F (tx, ty) = (xt) (^2) +(yt) 2 xt+yt =^
t^2 t
x^2 +y^2 x+y =^ tF^ (x, y). Luego es homog´enea de grado 1. (tambi´en podr´ıamos haber usado Euler)
(b) La ecuaci´on F (x, y) = 1 define la la funci´on impl´ıcita diferenciable y = f (x) alrededor del punto (x 0 , y 0 ) = (1, 1) por lo que usando la expresi´on,
Fx(x 0 , y 0 )dx + Fy(x 0 , y 0 )dy = 0;
tenemos que dy dx
Fx(x 0 , y 0 ) Fy(x 0 , y 0 )
Luego, Fx(x 0 , y 0 ) = x
(^20) +2x 0 y 0 −y (^20) (x 0 +y 0 )^2 →^ Fx(1,^ 1) =^
12 +2(1)(1)− 12 (1+1)^2 =^
1 2 y Fy(x 0 , y 0 ) = y 02 +2x^0 y^0 −x^20 (x 0 +y 0 )^2 →^ Fx(1,^ 1) =^
12 +2(1)(1)− 12 (1+1)^2 =^ 1 2 Por lo que, (^) [ dy dx
]
(x 0 ,y 0 )=(1,1)
- [ puntos] El ritmo de variaci´on del consumo viene dado por la funci´on
f (t) =
1 + 6t^2 si 0 ≤ t ≤ 1 5 + 2t si 1 < t ≤ 2
(t, en a˜nos). Se pide: (a) Calcular el consumo acumulado en los dos a˜nos. (b) Calcular un ritmo de variaci´on fija, tal que si se mantuviera constante en los dos a˜nos, diera lugar al mismo consumo acumulado en los dos a˜nos. (c) ¡En qu´e instante t 0 se verifica que el ritmo de variaci´on del consumo en t 0 es igual al ritmo de crecimiento fijo, calculado en el apartado anterior?
Soluci´on: (a) Consumo acumulado en los dos a˜nos: ∫ (^1)
0
(1 + 6t^2 )dt +
1
(5 + 2t)dt = t + 2t^3
1
0
2
1
(b)
0 αdt^ =^ α2 = 11^ →^ α^ =^ 11 2 = 5,^ 5 (ritmo de variaci´on constante) (c) Representando la gr´afica de f (t),
t
f (t)
α
t 0 1 2
Observamos que t 0 < 1. Por lo cual, 1 + 6t^20 = 11/2 para t 0 =
√ 3
Calcular la integral doble
R 2 xy dx dy^ donde^ R^ es la regi´on del plano limitada por las curvas y = x^2 e y = 1. (a) Iterando de la siguiente forma
∫ [∫
2 xy dx
]
dy. (b) Iterando de la siguiente forma
∫ [∫
2 xy dy
]
dx.
Soluci´on:
La regi´on R est´a representada gr´aficamente por:
y = 1
y = x^2
x
y
(a)
0
[∫ √y −√y 2 xy dx
]
dy =
0 2 y
[
x^2 2
]√y −√y
dy =
0 y(y^ −^ y)^ dy^ = 0
(b)
− 1
[∫ 1
x^2 2 xy dy
]
dx =
− 1 2 x
[
y^2 2
] 1
x^2 dx =
− 1 x(1^ −^ x (^4) ) dx =
[
x^2 2 −^
x^6 6
] 1
− 1 = (^12 − 16 ) − (^12 − 16 ) = 0.
