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El Solucionario de Matemáticas para 4.º ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana, dirigido por Enric Juan Redal. En su realización han intervenido: Ana María Gaztelu Augusto González EDICIÓN Angélica Escoredo Mercedes de Lucas Carlos Pérez Rafael Nevado DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa
Santillana
Matemáticas 4 ESO
Biblioteca del profesorado
SOLUCIONARIO
opción B
Presentación
80
Polinomios
(^3) y fracciones algebraicas
DE UN POLINOMIO^ DIVISORES DE UN POLINOMIOFACTORIZACIÓN
Y MULTIPLICACIÓNSUMA, RESTA POTENCIAS^ DIVISIÓN
POLINOMIOS
REGLA DE RUFFINI
DEL RESTOTEOREMA DE UN POLINOMIORAÍCES
VALOR NUMÉRICODE UN POLINOMIO
SIMPLIFICACIÓN OPERACIONES
ALGEBRAICASFRACCIONES
Un hombre de principios Días negros y noches largas, estas últimas semanas habían sido especialmente difíciles para Paolo Ruffini.Mientras caminaba en dirección a su casa, pensaba en lo duro que le había sido tomar la decisión de no jurar fidelidad a la bandera de los invasores franceses.Un golpecito en el hombro y la voz amiga de Luigi lo devolvieron a la realidad:–¡Paolo! ¿Qué has hecho? En la universidad no se comenta otra cosa. El responsable políticoha asegurado que nunca volverás a sentarteen tu cátedra y que has marcado tu destino; se le veía terriblemente enfadado.–Lo pensé durante mucho tiempo y cuando comuniqué mi decisión me he sentido aliviado–argumentó Ruffini, plenamente convencido. –Pero ¿no has pensado en tu familia o en tuposición? –Luigi mostró la preocupación que parecía haber abandonado a Ruffini.–Luigi, ¿cuánto darías por un puesto de funcionario? –Estaban llegando al mercadoy Ruffini se paró en seco–. Yo no estoy dispuesto a pagar tanto por la cátedra; si hicierael juramento, habría traicionado mis principiosy mutilado mi alma, mantendría mi cátedra pero el Paolo Ruffini que conoces habría muerto.Ruffini se dedicó por entero a su oficio de médico en los años en que estuvo alejado de la docencia. En la división de polinomios P ( x ) : ( x − a ), calcula el grado del cociente y del resto. El grado del cociente es un grado menorque el grado del polinomio Pdel resto es cero, pues es siempre( x), y el grado un número (un número es un polinomiode grado cero).
El nombre de la serie, LLaa CCaassaa ddeell SSaabbeerr, responde al planteamiento de presentar un proyecto de Matemáticas centrado en la adquisición de los contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la vida real. El saber matemático, dentro de la etapa obligatoria de la ense- ñanza, debe garantizar no solo la interpretación y la descripción de la rea- lidad, sino también la actuación sobre ella.
En este sentido, y considerando las matemáticas a estos niveles como una materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la rreessoo-- lluucciióónn ddee ttooddooss llooss eejjeerrcciicciiooss yy pprroobblleemmaass formulados en el libro del alum- no. Pretendemos que esta resolución no sea solo un instrumento sino que pueda entenderse como una propuesta didáctica para enfocar la adquisi- ción de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en el libro del alumno.
113
3 Al recoger el correo,Ana ha recibido la facturade su consumo de luz en los dos últimos meses.
Ana le pide ayuda a su hermano y ambos se disponen a analizar la facturacon detalle.
Con esta información, escriben un polinomio:1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2px + cy) + 2 z] siendoyz el importe mensual del alquiler.x el importe de la potencia al mes,y el importe de la energía consumida Ahora comprenden por qué la factura ha sido de 49,84a) Comprueba el importe. €. b) Deciden bajar la potencia a 3,5 kW y el consumo aumenta a 315 kWh.¿Cuánto tendrán que pagar en la factura de los dos próximos meses? a) Importe == 1,16 1,16 ⋅⋅ [1,09 [1,09 ⋅ (^) ⋅ (2(2px ⋅ 4,4 + cy) ⋅ 158,19 + 2 z] (^) += 8,99 ⋅ 272) + 2 ⋅ 57] = b) El importe de la factura de los dos próximos meses es:=^ 4.984,18 céntimos^ =^ 49,84^ € 1,16 ⋅ [1,09 ⋅ (2==px 1,16 5.112,93 céntimos + cy) ⋅ [1,09 + 2 z] ⋅ =(2 ⋅ 3,5 = ⋅ (^) 51,13158,19 € + 8,99 ⋅ 315) + 2 ⋅ 57] =
^098
Potencia ... 158,19 cent.^ FACTURACIÓN € Consumo Alquiler Impto. electricidad .......... 57 cent...... 8,99 cent. € € IVA
Aparecen varias variables: la potencia,p, contratada, 4,4 kW cada mes;el consumo,c, 272 kWh. No olvides los preciosde cada variabley los impuestos.
cuentas en esta factura?^ ¿Cómo han hecho las
SOLUCIONARIO
112
EN LA VIDA COTIDIANADentro de los proyectos de conservación de zonasverdes de un municipio,se ha decidido instalar un parque en el solarque ocupaba unaantigua fábrica.
El parque tendrá tres áreas delimitadas: la zona de juego, la zona de lectura,que rodeará a la zona de juego, y el resto, que se dedicará a la zona de paseo. Aún no han hecho mediciones, pero los técnicos han determinado que la zonadedicada a los juegos sea cuadrada y su lado medirá 40 metros.
a) ¿Qué expresión nos da el área de la zona para pasear? ¿Y el área de la zonab) Si deciden que la zona de paseo tenga un ancho de 40 metros, ¿cuáles seránde lectura? las áreas de cada zona? a)A (^) juego = 402 = 1.600 m 2 AA (^) paseolectura == (100 1002 −− (100 x)^2 − − (^40) x)^2 2 = (^) = 8.400 200 x (^) −− (^200) x 2 x + x 2 b)AAA juegolectura = = (^40) (100^2 = 1.600 m− 40) 2 − (^2 402) = 2.000 m 2 paseo =^1002 −^602 =^ 6.400 m^2
^097 cuadrada de 100 metros de lado.^ Disponemos de una superficiePodríamos dividir el parqueen tres zonas.
Polinomios y fracciones algebraicas
NÚMEROS Expresa en forma decimal estas fracciones. ¿Qué tipo de decimal obtienes?
a) c)
b) d)
a) = 0,875 ⎯⎯⎯⎯⎯→ Decimal exacto
b) = 1,83333… ⎯⎯→ Decimal periódico mixto
c) = 0,18888… ⎯⎯→ Decimal periódico mixto
d) = 0,0121212… → Decimal periódico mixto
Calcula.
a) b) c)
a) =
b)
c) =
Opera y simplifica, teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones.
a)
b)
c) 2 4 3
⎟ −^ +
⎟ ⋅^ −
6 − : = − = −^ =
3 −
− : + = − + = −^ +^ = == 13
3 −
0 Repaso
0
a)
b)
c)
Indica a qué conjunto numérico pertenece cada número. a) 18,6777… c) 18,6777 e) 0,246810… g) −1,333… b) 63 d) − 4 f) −2,25 h) π a) 18,6777… ⎯→ Decimal periódico mixto b) 63 ⎯⎯⎯⎯⎯→ Natural c) 18,6777 ⎯⎯→ Decimal exacto d) − 4 ⎯⎯⎯⎯→ Entero e) 0,246810… → Irracional f) −2,25 ⎯⎯⎯→ Decimal exacto g) −1,333… ⎯→ Decimal periódico puro h) π ⎯⎯⎯⎯⎯→ Irracional
Escribe tres números decimales periódicos puros y otros tres periódicos mixtos, y trúncalos a las milésimas. Periódicos puros: 1,3; 21, 27; 3,142 ^ ⎯→ Truncamiento: 1,333; 21,272; 3, Periódicos mixtos: 1,13; 4,051 ; 2,106^ → Truncamiento: 1,133; 4,051; 2,
Redondea y trunca los siguientes números irracionales a las décimas y a las milésimas. a) π = 3,141592… b) e = 2,718281… c) Φ = 1,618033…
⎟ −^ +
⎟ ⋅^ =^ −^
⋅ +^ − +^ ⋅ =
= −^12 − = −
= −^ + ⋅ −^ −
⎥⎥ = −^ + ⋅ ⎛−
= −^ + ⋅ − − − ⋅ −
⎟ ⋅^ −
⎟ =^
SOLUCIONARIO
Redondeo Número Aproximación a las décimas π = 3,141592… e = 2,718281… φ = 1,618033…
3, 2, 1,
3, 2, 1,
Truncamiento Redondeo
Aproximación a las milésimas Truncamiento 3, 2, 1,
3, 2, 1,
0
Indica los miembros y términos de estas ecuaciones señalando su coeficiente y su incógnita. a) 2x + 3 = 5 b) − x + 11 x − 7 = 5 x + x − 9 x c) 4x + 6 − x − 3 x = 5 + 2 x − 3 − 2 x
Resuelve estas ecuaciones.
a) 3(8x − 2) = 4(4x + 2) c) b)
a) 3(8x − 2) = 4(4x + 2) → 24 x − 6 = 16 x + 8 → 8 x = 14
→
b) 2(7x + 1) = → 14 x + 2 = → 70 x + 10 = 30 − 3 x
→ 73 x = 20 →
c) = 24(x + 1)
→ 4 x − 20 − 9 + 9 x = 24 x + 24 → − 11 x = 53 → x = − 53 11
⎛ x − (^) − − x ⎝
x − (^5) − − x (^) = x + 6
x = 20 73
3 2 − x 5
x
x = 14 = 8
( x + )= − x
x − (^5) − − x (^) = x + 6
Miembros Términos Coeficientes Incógnita 2 x + 3 5
2 x 3 5
2 3 5
x
Miembros
− x + 11 x − 7
Términos − x 11 x − 7
Coeficientes Incógnita − 1 11 − (^7) x
5 x + x − 9 x
5 x x − 9 x
5 1 − 9 Miembros
4 x + 6 − x − 3 x
Términos 4 x 6 − x − 3 x
Coeficientes Incógnita 4 6 − 1 − (^3) x
5 + 2 x − 3 − 2 x
5 2 x − 3 − 2 x
5 2 − 3 − 2
SOLUCIONARIO
a)
b)
c)
Dentro de 5 años la edad de Paloma será el triple de la que tenía hace 9 años. ¿Qué edad tiene Paloma? x ⎯⎯→ edad actual de Paloma x + 5 → edad de Paloma dentro de 5 años x − 9 → edad de Paloma hace 9 años x + 5 = 3 ⋅ (x − 9) → x + 5 = 3 x − 27 → − 2 x = − 32 → x = 16 Paloma tiene 16 años.
Cristina iba a pagar 7.800 € por los 150 menús de los invitados a su boda. a) Si al final asistieron 40 invitados más, ¿cuánto pagó en total? b) Si el coste del banquete hubiera sido de 8.736 €, ¿cuántos invitados más asistieron respecto de los 150 iniciales? a) Menús Coste-(€)
→ → 150 ⋅ x = 7.800 ⋅ 190
→
Si asistieron 40 invitados más, pagó 9.880 €. b) Menús Coste-(€) → → 150 ⋅ 8.736 = 7.800 ⋅ x
→
Al banquete asistieron 18 invitados más.
En una peña quinielística de 120 socios, cada uno aporta 3 € a la semana. a) En el caso de que fueran 60 socios más, ¿cuánto aportaría cada socio? b) Si quisieran jugar 540 € a la semana, ¿cuánto tendría que aportar cada uno? a) Socios Aportación-(€) → → 120 ⋅ 3 = 180 ⋅ x →
Si fueran 60 socios más, cada socio aportaría 2 €. b) Apuesta-(€) Aportación-(€) → → 360 ⋅ x = 540 ⋅ 3
Si quisieran jugar 540 € a la semana, cada uno de los socios tendría que aportar 4,50 €.
x = 1 620= 360
x
540 ⎯⎯⎯→ x
x = 360 = 180
⎫⎬⎪⎪ = x ⎭⎪⎪
180 ⎯⎯→ x
x = 1 310 400= 7 800
x 8 736
x ⎯→ 8.
x = 1 482 000= 150
x
190 ⎯→ x
Repaso
Determina la figura simétrica deF respecto del ejee.
Aplica a la figuraF un giro de centroO y ángulo −135°. (Los ángulos negativos van en el sentido de las agujas del reloj.)
Obtén la figura simétrica deF respecto del puntoO.
FUNCIONES Razona si las siguientes relaciones son funciones. a) El peso de una persona y su edad. b) El diámetro de una esfera y su volumen. c) El número de DNI de una persona y la letra de su NIF. d) El número de teléfono de una persona y su número de DNI. a) No, por ejemplo, una persona puede pesar lo mismo en dos años distintos. b) Sí, el volumen de una esfera depende de su radio. c) No, pues solo se consideran funciones las relaciones entre variables numéricas. d) Sí, a cada teléfono le corresponde un único número de DNI.
Repaso
O
F '
F
F '
F
O
135°
e F F'
0
Expresa algebraicamente, mediante una tabla y una gráfica, la función que: a) Asocia a un número su mitad más 4 unidades. b) Relaciona la cantidad de peras compradas en kilogramos y su precio (1 kg cuesta 2,25 €). a)
b)
Describe, mediante un enunciado, las siguientes funciones.
a)y = x 3 − 1 c) e)y = 9 x − 2
b)y = (x − 1) 3 d)y = x (x + 1) f)y = x 2 + x a) El cubo de un número menos 1. b) El número anterior a un número al cubo. c) La quinta parte de un número más 2. d) El producto de un número por el siguiente número. e) Un número multiplicado por 9 menos 2. f) Un número más su cuadrado.
Expresa, mediante una fórmula, la función que relaciona elnúmero de CD y suprecio. Después, construye una tabla de valores y representa los puntos que obtienes. ¿Puedes unirlos?
y = x + 5
x y^^ =^ x 2 +^4 0 4 1 9/ 2 5 4 6
x y = 2,25x 0 1 2 4
0 2, 4, 9
CD € 1 2 3 4
8, 16, 24, 32,
10
30
50
1 2 3 4
1
Y
Y
X
X
1
Y
(^1) X
SOLUCIONARIO
1
Cada CD cuesta: 32,80 : 4 = 8,20 € La función es: y = 8,2x Los puntos no se pueden unir porque no podemos comprar fracciones de CD.
Mi desconocido amigo
La misiva parecía urgente y el general Pernety, al que le unía una profunda amistad
con Sophie Germain, dejó a un lado sus despachos y ordenó a su ayudante
que hiciera pasar a su amiga. Tras tomar ambos asiento, el general comenzó a hablar:
–Ahora, Sophie, cuéntame qué es eso tan importante.
La agitación volvió a la mujer que, con voz nerviosa, comenzó
a hablar de manera atropellada:
–¡No permitas que le pase lo mismo que a Arquímedes!
La guerra no respeta nadie y él no ha hecho ningún mal;
su pérdida sería irreparable.
–¿De qué hablas? –la interrumpió el general–.
No entiendo nada.
–¡La guerra con Prusia! El ejército imperial invadirá
la ciudad de Brunswick y allí vive un sabio
que nada sabe de guerras, se llama Gauss.
¡Protégelo cuando tus tropas entren en la ciudad!
–Tranquila, me encargaré de que ningún mal
le suceda a tu amigo.
Tiempo después, tras la campaña, de vuelta en París
el general Pernety volvió a reunirse con Sophie:
–Estarás contenta, cumplí tu encargo; sin embargo,
hubo algo muy extraño, pues cuando le dije quién
era su benefactora, él aseguró no conocerte.
¡Los matemáticos son muy raros!
Sophie sonrió, le dio las gracias y le explicó que solo
conocía a Gauss por correspondencia y que ella
firmaba sus cartas con otro nombre: Le Blanc.
En una de esas cartas aparecen los números primos
de Germain, son los números primos tales que su doble
más una unidad también es un número primo.
Encuentra 10 números primos de Germain.
Los primeros 10 números primos de Germain son: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83 y 89
2 ⎯→ 2 · 2 + 1 = 5 53 → 53 · 2 + 1 = 107
EJERCICIOS Indica, sin realizar las operaciones, qué tipo de expresión decimal tienen estos números.
a) c) e)
b) d) f)
a) Decimal exacto d) Periódico puro b) Periódico puro e) Decimal exacto c) Periódico mixto f) Periódico mixto
Escribe dos fracciones que expresen: a) Un número decimal exacto. b) Un número decimal periódico mixto.
a) b)
¿Son racionales todos los números decimales periódicos? Sí porque se pueden poner en forma de fracción.
Expresa en forma de fracción los siguientes decimales. a) 3,75 c) 3,75^ e) 3,675 b) 0,96 d) 0,96^ f) 0,196 Simplifica al máximo las fracciones obtenidas para llegar a la fracción generatriz.
a) 3,75 = d)
b) e)
c) f)
Expresa en forma de fracción. a) 3,9^ b) 1,9^ c) 0,9 ¿A qué equivale el período formado por 9?
a) 3,9^ = b) 1,9^ = c) 0,9^ =
El período formado por 9 equivale a una unidad entera.
3 75 372 , ^ =
, ^ = =
0 96 96 , ^ =. =
(^1) y 2
y
Números reales
Considera las raíces cuadradas de los números naturales desde 1 hasta 20, indica cuáles de ellas son números racionales y cuáles son números irracionales.
Son racionales:. El resto son números irracionales porque no son cuadrados perfectos.
Escribe cuatro números irracionales, explicando por qué lo son.
son irracionales porque no son cuadrados perfectos.
Indica de qué tipo son los números. a) 1,232323… b) −0,246810 c) a) Racional, periódico puro. b) Racional, decimal exacto. c) Irracional.
Razona si estas afirmaciones son ciertas. a) La suma de dos números irracionales es siempre un número irracional. b) La raíz cuadrada de una fracción es un número irracional. a) Es falso, por ejemplo:
b) Es falso, cuando el numerador y el denominador son cuadrados perfectos.
Compara los siguientes pares de números.
a) y c) y
b) y 1,732^ d) y 2,2360
a) c)
b) < 1,732^ d) 2,2360^ <
Indica el conjunto numérico al que pertenece cada número.
a) 8,0999… d) g)
b) − 11 e) 6,126^ h)
c) 2,5 f) 1,223334444... i) π
3 + 2 y 5 − 2
3 , 7 , 5 y 17
Números reales
1
a) Racional, periódico mixto. f) Irracional. b) Entero. g) Irracional. c) Racional, decimal exacto. h) Racional, periódico puro. d) Racional, decimal exacto. i) Irracional. e) Racional, periódico mixto.
Escribe dos números racionales y otros dos irracionales comprendidos entre 1 y. Racionales: 1,2 y 1,1 Irracionales: 1,1010010001… y 1,12345678…
Observa lo que sucede en la desigualdad 3 < 5 si: a) Restamos 5 a los dos números. b) Multiplicamos ambos números por −2. a) La desigualdad es cierta: − 2 < 0. b) La desigualdad cambia de signo: − 6 > −10.
¿Puedes encontrar un número racional entre dos números racionales cualesquiera? ¿Y un número irracional? Justifica tu respuesta. Entre dos números racionales siempre existe un número racional; por ejemplo, el punto medio de ambos. Entre dos números racionales siempre podemos encontrar un número irracional; por ejemplo, el número resultante de sumar al menor de los dos cualquier número irracional que sea menor que la diferencia entre ambos números.
Saca factor común, opera y simplifica la expresión resultante.
a)
b)
c)
a)
b)
c) 3 4
⎟ +^ ⋅^ −^ ⋅^ =^ ⋅ −^ +^ −
⎟ =^ ⋅^ =
⎟ +^ ⋅ −
⎟ =^ +^
⎟ =^ ⋅ −
⎟ +^ ⋅^ −^ ⋅
⎟ +^ ⋅ −
SOLUCIONARIO
Expresa mediante intervalos el conjunto de números reales que verifican que:
a) Son menores que. c) Son mayores que 0.
b) Son menores o iguales que. d) Son mayores o iguales que.
a) b) c) (0, +) d)
Representa sobre la recta real y usando la notación matemática. a) c) b) d) a) (−, 3]
b) (1, +)
c) [4, 7)
d) (6, 9)
Expresa como intervalo estos conjuntos numéricos. a) ⏐ x ⏐ < 3 b) ⏐ x ⏐ < − 3 c) ⏐ x ⏐ ≥ − 3 a) (−3, 3) b) No tiene solución. c) (−, +)
Halla las aproximaciones de 5,24619 a las centésimas y las milésimas, por defecto y por exceso. Decide cuál de ellas es el redondeo.
Aproxima a las centésimas por truncamiento y por redondeo. a) 24,1587 c) 24,9215 e) 24, b) 24,1507 d) 24,1582 f) 24,
{ x ∈ , x > 1 } { x ∈ , 6 < x < 9 }
{ x ∈ , x ≤ 3 } { x ∈ , 4 ≤ x < 7 }
− − , (^)
⎜ ,^
, ⎟⎟
SOLUCIONARIO 1
Redondeo Truncamiento a) 24,1587 24,16 24, b) 24,1507 24,15 24, c) 24,9215 24,92 24, d) 24,1582 24,16 24, e) 24,1617 24,16 24, f) 24,1627 24,16 24,
Centésimas Milésimas Defecto 5,24 5,246 (redondeo) Exceso 5,25 (redondeo) 5,
2 3 4
0 1 2
3 4 5 6 7 8
5 6 7 8 9 10
Una profesora decide redondear las notas de 10 alumnos. ¿Qué notas les pondrá? 3,8 6,4 9,7 4,3 5,8 8,4 9,7 2,3 3,8 6, Les pondrá estas notas: 4, 6, 10, 4, 6, 8, 10, 2, 4 y 6.
Calcula la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 10 cm. ¿Qué clase de número se obtiene? Redondea el resultado a las milésimas.
Es un número irracional.
Obtén el error absoluto y relativo cometido: a) Al redondear 3,125 a las milésimas. b) Al truncar 1,65^ a las diezmilésimas. c) Al redondear a las centésimas.
d) Al truncar a las décimas.
e) Al aproximar por defecto 1,3476 a las milésimas.
a)Ea = (^) ⏐3,125 − 3,125⏐ = 0
→ 0 %
b)Ea = (^) ⏐1,65^ − 1,6565⏐ = 0,000065
→ 0,0039 %
c)Ea =^ ⏐^ −^ 3,61⏐ =^ 0,
→ 0,12 %
d) 0,006
0,009^ → 0,99 %
e)Ea = (^) ⏐1,3476 − 1,347⏐ = 0,
E (^) r = 1 3476^ −^ 1 347 = → 0,044 % 1 3476
E (^) r =
E (^) a = 2 − = 3
E (^) r = 13 −^ 3 61 = 13
E (^) r = 1 65^ −^ 1 6565 = 1 65
E (^) r = 3 125^ −^ 3 125 = 3 125
d = 8 2 + 10 2 = 164 12 806,
Números reales
