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1. Dado el siguiente enunciado:
Un número al cubo multiplicado por cinco adicionado siete veces el número es divisible por
seis.
a) Demuestre que se cumple para el primer natural.
El primer natural es 1, entonces lo solicitado queda como:
3
Por lo que el enunciado se cumple para 1, el primer natural.
b) Escribir la tesis.
nϵΝ / n
3
∗ 5 + 7 n es divisible en 6
Tomando n=k+1, se busca comprobar que:
kϵΝ /( k + 1 )
3
∗ 5 + 7 ( k + 1 ) es divisible en 6
c) Escribir la Hipótesis.
Tomando n=k, se asume que:
kϵΝ / k
3
∗ 5 + 7 k es divisible en 6
2. Considerar la siguiente expresión:
Demuestre por inducción que (a+b) es factor de a
2 n − 1
2 n − 1
para
n ∈ N
Para el primer caso, n=1, se tiene:
a
2 ∗ 1 − 1
2 ∗ 1 − 1
a
2 − 1
2 − 1
a
1
1
a + b
Y se tiene que a + b es divisible en (a+b) por lo que se cumple el enunciado para el
primer caso.
Sumatoria y Progresiones
La hipótesis inductiva, para n=k queda:
k ∈ N / u
k
=( a
2 k − 1
2 k − 1
) es divisible en ( a + b )
Para n=k+1:
k ∈ N / u
k + 1
a
2 ( k + 1 )− 1
2 ( k + 1 )− 1
es divisible en ( a + b ) u
k + 1
a
2 k + 2 − 1
2 k + 2 − 1
u
k + 1
a
2 k + 1
2 k + 1
Como se sabe que tanto 2k-1 y 2k+1 son impar, entonces a
2 k + 1
y b
2 k + 1
serían los
extremos de una potencia de binomios según la pirámide de Pascal, entonces:
a
2 k + 1
2 k + 1
a + b
a
2 k
− a
2 k − 1
b + a
2 k − 2
b
2
−...− a b
2 k − 1
2 k
( a + b ) ( a + b )
2 k
Como tiene a+b como factor, se demuestra que si cumple que a+b es factor.
Por lo tanto, se comprueba que (a+b) es factor de a
2 n − 1
2 n − 1
para n ∈ N.
Suponga que el primer término y el último término de una P.A son –17,5 y 20
respectivamente. Si la suma de ellos es 63,75 encuentre la cantidad de términos y la
diferencia.
Se sabe que la suma (S n
) de los términos de una P.A., donde n es la cantidad de términos y a i
es el termino i-esimo, está dada por:
S
n
n ( a
1
n
n (−17.5+ 20 )
127.5=2.5∗ n
51 = n
b)
i = 1
20
( i ( 3 − 2 i )
2
i = 1
20
( i ( 3 − 2 i )
2
i = 1
20
( i ( 9 − 12 i + 4 i
2
i = 1
20
( 9 i − 12 i
2
3
i = 1
20
i − 12
i = 1
20
i
2
i = 1
20
i
3
2
c)
j = 1
n
( 2 j ( 2 j − 2 ))
j = 1
n
( 2 j ( 2 j − 2 ) )
j = 1
n
( 4 j
2
− 4 j )= 4
j = 1
n
( j
2
− j ) 4
j = 1
n
j
2
j = 1
n
j
n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )
n ( n + 1 )
2 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )
2 n ( n + 1 )
2 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )− 6 n ( n + 1 )
( 4 n
2
n + 1
− 6 n
n + 1
( 4 n
2
− 4 n ) ( n + 1 )
n ( n − 1 )( n + 1 )
O:
2 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )
− 2 n ( n + 1 )
a) Repartir $1.000 entre 16 personas de modo que cada persona reciba $5 más que la
anterior. ¿Cuánto recibe la primera y la última?
Se ve una P.A. donde la diferencia d=5, hay una cantidad de términos n=16 y también
se sabe que la suma de todos los términos debe dar
S
n
=1000. Se sabe que la suma
debe tener la forma:
S
n
= n ∗ a
1
dn ( n − 1 )
1000 = 16 ∗ a
1
1000 = 16 a
1
1000 − 600 = 16 a
1
= a
1
a
1
Para obtener el último termino:
a
n
= a
1
a
16
a
16
a
16
a
16
Es por eso que la primera persona recibirá $25 y la última $100.
