Estática. Estabilidad y equilibrio
Momento angular
Equilibrio
Biostática
José A. Peláez
Área de Física de la Tierra
Departamento de Física
Universidad de Jaén
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T2.Estática. Estabilidad y equilibrio, Apuntes de Física
Asignatura: Física para biólogos, Profesor: J.A. Pelaez, Carrera: Biología, Universidad: UJAEN
Tipo: Apuntes
2014/2015
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Estática. Estabilidad y equilibrio
Momento angular Equilibrio Biostática
José A. Peláez Área de Física de la Tierra Departamento de Física Universidad de Jaén
1. Momento angular
1.1. Definición
Es una nueva variable cinemática relacionada con las rotaciones. El momento angular respecto del punto O se define mediante la expresión
Vemos que es siempre perpendicular a su velocidad y vector posición.
Para el caso de un movimiento circular uniforme (circunferencia de radio 𝑅𝑅), tendrá siempre la misma dirección y módulo.
𝐿𝐿 = 𝑚𝑚𝑟𝑟⃗ × 𝑣𝑣⃗ = 𝑟𝑟⃗ × 𝑝𝑝⃗
𝐿𝐿 = 𝑚𝑚 𝑟𝑟 𝑣𝑣 = 𝑀𝑀𝐿𝐿^2 𝑇𝑇 −
En el caso de muchas partículas girando todas alrededor del mismo eje con la misma 𝜔𝜔
𝐿𝐿 𝑧𝑧 = 𝜔𝜔 � 𝑚𝑚 𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑖𝑖^2
y si hablamos de un cuerpo continuo
𝑉𝑉
En todos los casos, podremos escribir 𝐿𝐿 (^) 𝑧𝑧 = 𝐼𝐼𝜔𝜔, en donde 𝐼𝐼 es el llamado momento de inercia. Es una cantidad que no depende del estado de movimiento, sino de la forma del cuerpo, de su densidad y del eje de giro.
𝐼𝐼 = � 𝑚𝑚 𝑖𝑖 𝑟𝑟𝑖𝑖^2 𝐼𝐼 = � 𝑟𝑟 2 𝑑𝑑𝑚𝑚
𝑉𝑉
Son equivalentes, para la traslación y la rotación, las expresiones
𝑝𝑝 = 𝑚𝑚𝑣𝑣 ↔ 𝐿𝐿𝑧𝑧 = 𝐼𝐼𝜔𝜔
Ejemplo 1. Calcula el momento de inercia de una barra uniforme respecto de un eje perpendicular a la barra que pasa por uno de sus extremos.
𝑉𝑉
𝐿𝐿
0
𝐿𝐿
0
𝑀𝑀𝐿𝐿^2
Ejemplo 2. Calcúlalo respecto de un eje que pasa por su centro.
+𝐿𝐿/ 2
−𝐿𝐿/ 2
+𝐿𝐿/ 2
−𝐿𝐿/ 2
𝑀𝑀𝐿𝐿^2
Ejemplo 3. Calcula el momento de inercia de un aro/anillo respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro.
1.3. Conservación del momento angular y momento de una fuerza
Calculemos la variación del momento angular con el tiempo. Para ello
𝑚𝑚𝑟𝑟⃗ × 𝑣𝑣⃗ = 𝑚𝑚
× 𝑣𝑣⃗ + 𝑚𝑚𝑟𝑟⃗ ×
= 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗ × 𝑣𝑣⃗ + 𝑚𝑚𝑟𝑟⃗ × 𝑎𝑎⃗
= 𝑟𝑟⃗ × 𝐹𝐹⃗ = Γ
A Γ se le llama momento de la fuerza 𝐹𝐹⃗ respecto del punto O, y es perpendicular al plano que forman la fuerza y el punto ( 𝜏𝜏⃗ ; torque). Es
importante especificar el punto respecto del que se calculan 𝐿𝐿 y Γ.
Γ = Γ = 𝑟𝑟𝐹𝐹 sin 𝛼𝛼
Γ = 𝑟𝑟 𝐹𝐹 = 𝑀𝑀𝐿𝐿^2 𝑇𝑇 −
Ejemplo : Calculemos el momento del peso de un cuerpo de masa 5 kg sujeto en la mano de una persona respecto de los puntos de giro de la muñeca, el codo y el hombro, cuando el brazo está extendido formando un ángulo de 45º respecto de la vertical.
A partir de la expresión
= 𝑟𝑟⃗ × 𝐹𝐹⃗ = Γ
vemos que el momento angular 𝐿𝐿 se conserva (su derivada es cero) si
- la fuerza es cero (la partícula es libre o el sistema está aislado)
- su momento es cero (𝐹𝐹⃗ y 𝑟𝑟⃗ tienen siempre la misma dirección)
Γ𝑖𝑖 = 𝑟𝑟𝑖𝑖 𝐹𝐹𝑖𝑖 sin 𝛼𝛼 (^) 𝑖𝑖 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑑𝑑𝑖𝑖
¿Por qué un felino puede caer de pie aunque la caída la comience de espaldas con las patas hacia arriba?
Si su cuerpo fuera rígido, evidentemente no podría. Lo consigue porque puede hacer girar diferen- tes partes de su cuerpo alrededor de ejes diferentes.
De esa forma consigue que el momento angular total siga siendo cero, al igual que antes de la caída. Se compensa el momento del giro conjunto del cuer- po (𝐿𝐿 0 ) con lo momentos opuestos de los giros inver- sos de los dos cilindros (𝐿𝐿 1 y 𝐿𝐿 2 ) del modelo.
2. Equilibrio
2.1. Centro de masas
Para un sistema formado por N partículas, podríamos decir que es un promedio ponderado de las posiciones de esas N partículas.
Para el caso de un cuerpo continuo
𝑉𝑉
En cuerpos con cierta simetría, el CM se encuentra en el centro, eje o plano de simetría.
Ejemplo 5. esquema aproxima- do de la distribución de masas en el cuerpo humano, en una aproxi- mación mediante cilindros.
La masa está dada como porcentaje de la masa total.
Se da la altura sobre el suelo y el porcentaje de la masa que representa cada uno de estos puntos.
El centro de masas se encon- trará, por simetría, sobre el eje 𝑦𝑦.
2.2. Equilibrio
El CM se mueve con una aceleración igual a la que tendría una partícula que concentrara toda la masa del cuerpo y sobre la que actuara la suma de todas las fuerzas externas. En el caso de la fuerza peso,
Si la suma de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es cero, la acelera- ción de su centro de masas es cero, pero aún así, puede girar alrededor de un eje que pase por su CM. Es el caso de una barra sobre la que actúan dos fuerzas iguales y de sentidos contrarios en sus extremos. La razón es que el momento total de las fuerzas externas es diferente de cero.
Γ = 𝑟𝑟⃗ 1 × 𝐹𝐹⃗ 1 + 𝑟𝑟⃗ 2 × 𝐹𝐹⃗ 2 = (𝑟𝑟⃗ 1 − 𝑟𝑟⃗ 2 ) × 𝐹𝐹⃗ 1
l Γ = 𝑟𝑟⃗ 1 − 𝑟𝑟⃗ 2 𝐹𝐹 1 sin 𝜃𝜃 = 𝑙𝑙𝐹𝐹 1
Ejemplo. Tenemos tres ladrillos iguales. Vamos a estudiar la configuración de equilibrio en la que el borde de cada uno está separado una distancia igual del borde del ladrillo que tiene debajo.
Para que el de arriba esté en equilibrio, basta con que 𝑑𝑑 < 𝐿𝐿 ⁄ 2
El CM de los dos ladrillos de arriba estará pues en la posición
2 + 2𝑑𝑑^ 𝑚𝑚^ +^
2 +^ 𝑑𝑑^ 𝑚𝑚
Para que estos dos estén en equilibrio sobre el tercero, es preciso que el CM de los dos anteriores esté sobre la superficie del tercero, es decir
𝐿𝐿 + 3𝑑𝑑 2
2.3. El equilibrio en personas y animales
En el caso de personas, hay equilibrio cuando la vertical del CM cae sobre la superficie limitada por los dos pies.
Se cumplirá en el equilibrio que
Si movemos el CM hasta que se encuentre cerca de un pie, la fuerza de reacción aumentará en dicho pie, como indica la anterior expresión. La sensación, por tanto, será diferente en cada pie.
El CM cae unos 3 cm por delante de los tobillos. Si estos no estuvieran rígidos por la acción de los músculos que conectan con el tendón de Aquiles, nos caeríamos hacia adelante.
En los cuadrúpedos, al caminar sólo levantan una pata, y el CM cae dentro del triángulo delimitado por las otras tres. No les resulta problemático pararse manteniendo una pata en el aire.
Para una persona es más difícil andar y mantener el CM encima de la superficie de sustentación de un solo pie. Es por eso que aparece un bamboleo lateral.
El correr, tanto para una persona como para un cuadrúpedo es una situación de desequilibrio. El cuerpo tiende a caer hasta que las patas que estaban en el aire tocan el suelo y se recupera la estabilidad (equilibrio).
Los animales de pies pequeños, como los artrópodos, tendrían mucha dificultad para andar sobre dos patas; la superficie de sustentación es prácticamente una recta.
Es por eso que los insectos mantienen siempre tres patas sobre el suelo; organizan sus seis patas en dos trípodes.
Los cápridos tienen un sistema muscular y neurológico de equilibrio muy perfeccionado.