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UN CONJUNTO NUMÉRICO ESPECIAL: Los complejos Identificación de los números complejos
Introducción
- Luego de ver la animación de la introducción, contesta las siguientes preguntas. a) ¿Conoces los números complejos?
b) ¿Los has utilizado?
c) ¿Qué opinas de las figuras que podemos formar con ellos?
d) ¿Te gustaría conocer un poco más sobre los números complejos?
El estudiante describe el conjunto de los números complejos El estudiante determina las características de los números complejos. El estudiante describe geométricamente números complejos en el plano. El estudiante encuentra el conjugado de un número complejo. El estudiante encuentra la norma de un número complejo.
Objetivos de aprendizaje
- Completa las descripciones que se hacen en el recurso interactivo del trabajo de cada matemático. Reconociendo a los complejos
Actividad 1
Girolamo Cardano Niccolò Fontana Tartaglia Los complejos aparecieron inicialmente en el ____________ Ars Magna en _____________. En las soluciones a la ecuación ____________. Los números _____________ aparecen entre las soluciones de las _______________ cuadráticas que generan raíces cuadradas de números _____________ , como la ecuación. x^2 +x+5= a) b)
- Completa el diagrama de Venn que representa los conjuntos numéricos, de acuerdo a lo visto en el recurso interactivo. Enteros positivos (z - ) Reales (R) Reales (R) 817 23, 3 Complejos (C) Imaginarios (I) 9i 723i 91i
(I)
- Contesta (V) si es verdadera o (F) si es falsa cada afirmación.
- Los imaginarios están contenidos en los reales (____)
- Los reales están contenidos en los complejos (____)
- Los complejos están contenidos en los reales (____)
- Escribe un número real y un número imaginario para formar un número complejo. Forma todos los posibles números complejos de acuerdo a las opciones propuestas. Parte real Parte imaginaria +
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Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física, notoriamente en la mecánica cuántica, y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
- Investiga algunas aplicaciones más de los números complejos.
Complejos **_(C)_**
- Después de ver la animación que te enseña el método para ubicar números imaginarios y complejos en el plano, ubica los siguientes puntos. a) 4 + 2i b) 6i c) 5 + 3i d) -2 + 4i Representando a los complejos
Actividad 2
0 1 2 3 4 1i 2i 3i -1i -2i -3i -4 -3 -2 - Z = -5 + 2i -Z = 5 - 2i Z= -5 + 2i
- ¿Qué diferencias encuentras en la escritura y representación de los números azul y rojo?
- ¿Qué diferencias encuentras en la escritura y representación de los números azul y verde?
b)
- Completa la explicación, de acuerdo con lo visto en el recurso interactivo.
- Escribe en la forma binomial los puntos ubicados en el plano complejo. A = 8 + 3 5i -A = -8 - 3 5i Ā= 8 - 3 5i Z = -5 + 2i^ -Z = 5 - 2i^ Z= -5 + 2i
- Los números representados con color __________ , corresponden al ___________ del que se ubicó con color rojo.
- El signo de la parte ____________ y de la parte imaginaria _________________.
- El ______________ representado con color verde es el conjugado del número representado con color ____________ , y en este caso solo cambia el ______________ del imaginario. Se llama conjugado de un número ________________ , al número complejo que se obtiene por _________________ del dado, respecto del ____________________ de abscisas. Im Re z = (a;b) -z = (-a;-b) Im Re z = (a;b) z = (a;-b) 0 1 2 3 4 1i 2i 3i A C B -1i -2i -3i -4 -3 -2 - A + B + C + **_+
A B C_**
Demostración: ____________________________________________________________________________________
b) Propiedad # Si z= 3-8i y z=-4+2i_** Entonces **_(3+8i+-4-2i)=(-4-2i)=(-4-2i)=(-1+6i)_** Si **_z= -3+5i_** y **_z=3-2i Entonces (-3-5i+3+2i)=(3+8i)+(-4-2i)=(-1+6i) Conjetura:________________________________________________________________________________________________
Demostración: ____________________________________________________________________________________
c) Propiedad # z * z= z * z Conjetura:________________________________________________________________________________________________
Demostración: ____________________________________________________________________________________
- Lee con atención cada propiedad del conjugado de un número complejo. Luego, escribe dos ejemplos que modelen dicha propiedad. Demuestra cada propiedad propuesta. a) Propiedad # Los números complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales Ejemplos:________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________
Demostración: ____________________________________________________________________________________
b) Propiedad # La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos,números reales. Ejemplos:________________________________________________________________________________________________
Demostración: ____________________________________________________________________________________
- Observa con atención la línea roja que se denomina la norma de un número complejo. La norma de un complejo
Actividad 4
0 1i 2i 3i 4i 5i 6i 7i -1 1 2 3 4 5 6 7 -1i
-3i -4i -5i -6i -7i -7 -6 -5 - 0 1i 2i 3i 4i 5i 6i 7i -1 1 2 3 4 5 6 7 -1i
-2i
-3i -4i -5i -6i -7i -7 -6 -5 -
- Halla la norma de los siguientes números complejos. 0 1i 2i 3i 4i 5i 6i 7i -1 1 2 3 4 5 6 7 -1i
-2i
-3i -4i -5i -6i -7i -7 -6 -5 - 0 1i 2i 3i 4i 5i 6i 7i -1 1 2 3 4 5 6 7 -1i
-2i
-3i -4i -5i -6i -7i -7 -6 -5 - 0 1i 2i 3i 4i 5i 6i 7i -1 1 2 3 4 5 6 7 -1i
-2i
-3i -4i -5i -6i -7i -7 -6 -5 - 0 1i 2i 3i 4i 5i 6i 7i -1 1 2 3 4 5 6 7 -1i
-2i
-3i -4i -5i -6i -7i -7 -6 -5 - a) c) b) d)
- Completa el mapa conceptual. CONJUNTOS DE NATURALES (N) (Z) RACIONALES (Q) COMPLEJOS (C) VALORES ABSOLUTOS RESOLVER CASOS REALES (R) son Se encuentran dentro de los Están compuestos En la que aparece la Es la Se encuentran dentro de los se pueden hacer Se encuentran dentro de los tienen Se encuentran dentro de los se pueden expresar en que hay que estudiando Puede aparecer PARTE IMAGINARIA (^) OPERACIONES COMPLEJO CONJUGADO MÓDULO FORMA i^ BINÓMICA RAÍZ DE
Para cada número complejo, realiza: a) Ubicarlo en el plano complejo. b) Ubicar su opuesto con un color y su conjugado con otro color, además escribirlos en la forma binómica. c) Resaltar con un color la representación de la norma y hallar su respectivo valor.
- 5 + 2i
- -2 + 5/3i
- -1-i
- 4-0.5i
