TAREA 3, Apuntes de Derecho

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EJERCICIOS

HOJA DE EJERCICIOS Nº 3

MACROECONOMÍA

Universidad Carlos III de Madrid 1

Departamento de Economía.

EJERCICIO 1 (cap. 7)

Los países A y B tienen, ambos, la siguiente función de producción:

1 1 Y = F K L ( , )= K^2 L^2

a. ¿Tiene esta función de producción rendimientos constantes a escala? Razone su respuesta.

b. ¿Cuál es la función de producción por trabajador, y=f(k)?

c. Suponga que en ninguno de los dos países hay crecimiento demográfico o progreso tecnológico y que

todos los años se deprecia el 5% del capital. Suponga, además, que el país A ahorra el 10% de la

producción todos los años y el país B el 20%. Utilizando la respuesta a la pregunta (b) y la condición de

estado estacionario según la cual la inversión es igual a la depreciación, halle el nivel de capital por

trabajador en estado estacionario correspondiente a cada país y, a continuación, los niveles de renta por

trabajador y consumo por trabajador del estado estacionario.

d. Suponga que ambos países comienzan con un stock de capital por trabajador de 2. ¿Cuáles son los niveles

de renta por trabajador y consumo por trabajador? Recordando que la variación del stock de capital es la

inversión menos la depreciación, calcule cómo evolucionará el stock de capital por trabajador con el paso

del tiempo para los dos países. Calcule la renta por trabajador y el consumo por trabajador

correspondientes a cada año. ¿Cuántos años pasarán antes de que el consumo del país B sea mayor que

el del A?

RESPUESTA:

a. Una función de producción tiene rendimientos constantes a escala si, al incrementar todos los factores de

producción en una misma proporción, la producción aumenta en la misma proporción.

En este caso:

1 1 1 1

2 2 2 2

F zK zL ( , ) ( zK ) ( zL ) zK L zY

Por tanto, esta función de producción tiene rendimientos constantes a escala.

b. Para hallar la función de producción por trabajador, divida la función de producción por L:

(^1 1 1 ) (^2 2 2 )

1 2

Y K L K K

L L L

L

=

Definiendo y=Y/L, k=K/L, podemos reescribir la expresión anterior como:

y=k

1/

c. Sabemos que para los países A y B:

n=g=

δ = 0.

sa= 0.

sb=0.

y=k

1/ es la función de producción por trabajador en ambos países.

El crecimiento del stock de capital, Δk es igual a la inversión, sf(k) menos la depreciación, δk. Es decir, Δ k = sf ( k ) –

δ k. En el estado estacionario, el stock de capital no crece, por lo que sf(k)=δk. Para hallar el nivel de capital por

trabajador en estado estacionario, introducimos la función de producción en la condición de estado estacionario

de la inversión, y despejamos k*:

Universidad Carlos III de Madrid 3

Departamento de Economía.

EJERCICIO 3 (cap. 7). Considere una economía descrita por la función de producción: Y = F ( K , L) = K

L

.

a. ¿Cuál es la función de producción por trabajador?

b. Suponiendo que no hay crecimiento en la población ni progreso tecnológico, halle el stock de capital por

trabajador, la producción por trabajador y el consumo por trabajador del estado estacionario en función

de la tasa de ahorro y de la tasa de depreciación.

c. Suponga que la tasa de depreciación es del 10% anual. Elabore una tabla que muestre el capital por

trabajador, la renta por trabajador y el consumo por trabajador del estado estacionario correspondientes

a una tasa de ahorro del 0%, 10%, 20%, 30% y así. ¿Qué tasa de ahorro maximiza la renta por trabajador?

¿Qué tasa de ahorro maximiza el consumo por trabajador?

d. Utilice el cálculo para encontrar el producto marginal del capital. Añada a su tabla el producto marginal

del capital neto de depreciación para cada una de las tasas de ahorro. ¿Qué muestra su tabla?

RESPUESTA:

a. La función de producción es: Y = K

L

. Para derivar la función de producción por trabajador, f(k), dividimos los

dos lados de la ecuación por L:

0,3 0,7^ 0,

0,

Y K L K

L L L

y k

b. Como n=g=0, la ecuación de acumulación del capital es: Δk = sf(k)-δk

En estado estacionario: 0 = sf(k)-δ k

o, de manera equivalente:

k s

f k

Sustituyendo en la ecuación anterior nuestra función de producción:

δ

δ

δ

0,

0,

1 0,

k s

k

s k

s k

Sustituyendo esta expresión en la función de producción por trabajador del apartado (a), se obtiene:

0, 0,

s y

Por último, el consumo por trabajador en estado estacionario es:

0, 0,

• (1 ) ( *) (1 )

s c s f k s

Equivalentemente, como la inversión es igual a la depreciación en estado estacionario:

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0,3 (^1) 0,7 0,

• ( *) *

s s c f k k

La siguiente tabla muestra los valores de k, y y c* para la tasa de ahorro de la columna de la izquierda, usando

las ecuaciones del apartado (b). Asumimos una δ = 10%. La última columna muestra el producto marginal del

capital derivado en el apartado (d).

Fíjese que una tasa de ahorro del 100% (s=1) maximiza la producción por trabajador. En este caso, por supuesto,

el consumo es cero: c*= 0. El consumo por trabajador se maximiza con una tasa de ahorro del 0,3%, es decir,

cuando la productividad marginal del capital en estado estacionario es igual a la depreciación (se cumple la regla

de oro).

d. Podemos diferenciar la función de producción y=k

con respecto a k para encontrar el producto marginal del

capital:

− = =

1 0,3 0, PMK 0,3 k 0,3 k

En la tabla del apartado (c) se incluyen los valores de PMK para cada uno de los estados estacionarios calculados.

Vemos que PMK=0,1 cuando s=0,3 (regla de oro).

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EJERCICIO 8 (cap. 7). Considere cómo el paro afecta el modelo de crecimiento de Solow. Suponga que la renta se

produce de acuerdo a la siguiente función de producción: (^) ( )

α −^ α =  −   

1 Y K 1 u L , donde K es el capital, L es la

fuerza de trabajo y u es la tasa natural de desempleo. La tasa de ahorro nacional es s , la fuerza de trabajo crece a

una tasa n y el capital se deprecia a una tasa δ.

a. Exprese la renta por trabajador, y=Y/L, como función del capital por trabajador, k=K/L y la tasa natural de

desempleo. Describa el estado estacionario de esta economía.

b. Suponga que un cambio en la política del gobierno reduce la tasa natural de desempleo. Describa cómo

este cambio afecta a la renta, tanto inmediatamente después del cambio como a lo largo del tiempo. ¿Es

el efecto sobre la renta de estado estacionario mayor o menor que el efecto inmediato? Dé una

explicación.

RESPUESTA:

a. Para encontrar la renta por trabajador, y , dividimos la renta total Y por el número de trabajadores L:

( )

α^ α α α α α

−

− −

1 1

k u L (^) K y u k u L L

porque k=K/L.

Fíjese que cuanto mayor es el desempleo menor es la renta per cápita para cualquier valor k del capital por trabajador, ya

que hay gente que no está produciendo nada.

En estado estacionario la inversión es igual a la inversión de mantenimiento:

α α

α

−

−

1

1 1

sy n k

sk u n k

s k u n

Nótese que un aumento en la tasa de paro u reduce la cantidad de capital por trabajador en estado estacionario.

Intuitivamente, el aumento en la tasa de paro disminuye el producto marginal del capital y, por tanto, actúa como un shock

tecnológico negativo que desplaza hacia abajo la función de inversión sf(k) (gráfico 7-4) El resultado es que el nivel de capital

por trabajador de estado estacionario cae.

Universidad Carlos III de Madrid 7

Por último, para obtener la producción por trabajador en el estado estacionario, introducimos el nivel de capital de estado

estacionario en la función de producción:

( )

( )

α

α α

α α

− −

−

 ^  

1 1 1

1

s y u u n

s y u n

(b) Dado lo anterior, una política que reduce la tasa de paro aumenta la producción por trabajador en estado

estacionario por dos razones: (1) para un nivel dado de k, la caída del paro aumenta la productividad marginal del

capital, y (2) también aumenta el nivel de estado estacionario de k* (lo contrario del gráfico anterior).

El grafico 7–5 muestra la evolución de la producción por trabajador durante la transición al nuevo estado

estacionario. Cuando la tasa de desempleo cae de u1 a u 2, la producción por trabajador aumenta desde su nivel

inicial de estado estacionario y *( u 1). Aunque que el capital por trabajador es el mismo (ya que k tarda tiempo en

ajustarse), u es menor y por eso inmediatamente después de caer el desempleo la producción por trabajador

aumenta. Durante la transición el capital por trabajador crece gradualmente, por lo que la producción por

trabajador también crece gradualmente hasta alcanzar el nuevo estado estacionario. En el nuevo estado

estacionario tanto k como y son mayores que en el estado estacionario inicial.

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Departamento de Economía.

( ) (^ )

α α α α

δ δ α α α α

∗^ − − ∗

 +^ + 

1

1

log : ln 4 ln(16);

ln(16)

ln(4) ln(16)

r^ p^ r

p r p

f k^ n^ g s

D Si

f k n g s

Tomando s