¡Descarga Calculo Vectorial: Gradiente de una Función de Dos Variables y más Diapositivas en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
DEFINICIÓN DE GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Sea z = f(x,y) una función de x y y tal que fx y fy existen. Entonces el gradiente de f, denotado por f(x,y), es el vector se lee como “delta f”. Otra notación para el gradiente es gradf(x,y). Para cada (x,y), el gradiente es un vector en el plano (no un vector en el espacio). z (x,y,f(x,y)) ((x y x El gradiente de f es un vector en el plano xy Ejemplo 1 Hallar el gradiente de f(x,y) = ylnx + xy^2 en el punto (1,2).
Solución FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL Si f es una función diferenciable de x y y , entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es: Duf(x,y) = Ejemplo 2 Hallar la derivada direccional de f(x,y) = 3x^2 - 2y^2 en en la dirección de P a Q(0,1). Solución Calculamos un vector unitario U en la dirección de P a Q: U = = 6xi – 4yj
donde x y y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partir de (2,-3) aumenta más rápido la temperatura?. ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento?. Solución El gradiente es: La dirección del máximo incremento estará dada por: La tasa o el ritmo de incremento es: Podríamos dibujar las curvas de nivel o curvas de contornos de la función T(x,y) = 20 – 4x^2 – y^2 , haciendo 20 – 4x^2 – y^2 = c
- Si c = 0 20 – 4x^2 – y^2 = 0 4x^2 + y^2 = 20
- Si c = 4 20 – 4x^2 – y^2 = 4 4x^2 + y^2 = 16
- Si c = 8 20 – 4x^2 – y^2 = 8 4x^2 + y^2 = 12
- Si c = 12 20 – 4x^2 – y^2 = 12 4x^2 + y^2 = 8
- Si c = 16 20 – 4x^2 – y^2 = 16 4x^2 + y^2 = 4 y Curvas de nivel: La dirección del máximo incremento de la T(x,y) = 20 – 4x^2 – y^2 temperatura en (2,-3) está dada por – 16i + 6j 0 x (2,-3) El gradiente proporciona una solución local para encontrar un incremento relativo de la temperatura en el punto (2,-3). Una vez que se abandona esa posición, la dirección de máximo incremento puede cambiar. TEOREMA. EL GRADIENTE ES NORMAL A LAS CURVAS DE NIVEL Si f es diferenciable en (xo,yo) y , entonces es nor- mal (ortogonal) a la curva de nivel que pasa por (xo,yo). Ejemplo 4 Si a) Determine el gradiente de f en R(4,3).
R(4,3)
0 x v = i + 3j GRADIENTE PARA FUNCIONES DE TRES VARIABLES Sea f una función de x, y y z, con derivadas parciales de primer orden continuas. El gradiente de f se define como: Las propiedades del gradiente son: 1.- Duf(x,y,z) = f(x,y,z).u 2.- Si f(x,y,z) = 0, entonces Duf(x,y,z) = 0 para toda u 3.- La dirección de máximo incremento de f está dada por f(x,y,z). El valor máximo de Duf(x,y,z) es 4.- La dirección de mínimo incremento de f está dad por - f(x,y,z). El valor mínimo de Duf(x,y,z) es
- es normal a la superficie de nivel a través de. Ejemplo 5
Hallar para la función dada por f(x,y,z) = x^2 + y^2 – 4z y hallar la dirección de máximo incremento de f en el punto (2,-1,1). Solución La dirección del máximo incremento en (2,-1,1) es: EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Hallar el gradiente de la función w = 3x^2 y – 5yz + z^2 en el punto (1,1,-2). Resp. 6i + 13j – 9k. 2.- Utilizar el gradiente para hallar la derivada direccional de la función f(x,y) = e-xcosy en P(0,0) en la dirección de Q(2,1). Resp. 3.- Calcule el gradiente de. Resp. 4.- Dada la función f(x,y) = x^2 – 4y calcule: a) El gradiente de f en P = (-2,2) b) La tasa de variación del valor de la función en la dirección de en P = (-2,2). c) Dibuje las curvas de nivel o curvas de contornos de la función f, para 8, 4, 0, - 4 y – 8. También muestre la representación de cuyo punto
Inicial es (-2,2). Resp. (a) (- 4,- 4); (b) - 2 - 2. (TRABAJO)
