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Hoja de problemas
Tema 8: Integraci´on de funciones de varias variables*
Recordatorio: el Tema 8 corresponde al Cap´ıtulo 9 del libro de texto.
9.1 Calcular las siguientes integrales dobles:
∫ (^) π
0
1
y sen(xy) dx
dy
1
(∫ (^) π
0
y sen(xy) dy
dx
0
(∫ (^) x
0
9 − x^2 dy
dx
∫ (^) π
0
(∫ (^) π/ 2
0
sen^2 x cos^2 y dy
dx
0
(∫ √ 2 x−x 2
0
xy dy
dx
9.1’ Calcule la siguiente integral doble:
0
y
e−x 2 dx
dy.
9.2 Calcular mediante una integral doble el ´area del tri´angulo de v´ertices (0, 0), (0, 1) y (1, 0). 9.3 Hallar el ´area de la regi´on limitada por las curvas y^2 = 4x e y = x^2 /4 mediante una integral doble. 9.4 Calcular el volumen del s´olido encerrado por la superficie z = sen x cos y y el cuadrado situado en el plano xy, S = [0, π/2] × [0, π/2]. 9.5 Hallar el volumen del s´olido encerrado por la superficie z = 1 + ex^ sen y y los planos z = 0, x = 1, x = −1, y = 0, y = π. 9.6 Calcular el volumen del s´olido encerrado por la superficie z = 16 − x^2 − 2 y^2 y el cuadrado situado en el plano xy, S = [0, 2] × [0, 2].
9.7 Calcular la integral doble
S
(3 − x^2 − y^2 ) dxdy, siendo S la regi´on limitada por el tri´angulo de v´ertices (0, 0), (1, 0) y (1, 2).
9.8 Calcular la integral doble
S
(x + 2y) dxdy, siendo S la regi´on acotada por las par´abolas y = 2x^2 , y = 1 + x^2.
9.9 Calcular
S
(x^2 + y^2 + 1) dxdy, siendo S el recinto limitado por la circunferencia de centro (0, 0) y radio 2.
9.10 Calcular
S
√xy dxdy, siendo S la regi´on limitada por el rect´angulo de v´ertices (0, 0), (1, 0), (1, 4) y (0, 4).
9.11 Calcular
S
x^2 + y^2 dxdy, siendo S el primer cuadrante de la circunferencia de centro (0, 0) y radio 2.
9.12 Calcular la siguiente integral doble
S
ex/y^ dxdy, donde S es el recinto limitado por las curvas y^2 = x, x = 0 e y = 1.
9.13 Calcular
S
x^2 + y^2
dxdy, donde S es el recinto limitado por y = 0, y = x, x ≥ 0 y la circunferencia centrada en el (0, 0) y de radio 1. *Soluciones en la p´agina siguiente a los enunciados.
9.14 Calcular el volumen del s´olido encerrado por la superficie z = ex+y^ y el tri´angulo situado en el plano xy de v´ertices (0, 0), (0, 2) y (− 1 , 0).
9.15 Calcular
S
x^2 + y^2 dx dy, donde S es el recinto limitado por y = −x, y = x, y ≥ 0 y las circunferencias centradas en el (0, 0) y de radios 1 y 2.
9.16’ Calcular el volumen de un cilindro de base circular de radio 2 y altura 2 mediante una integral doble.
9.18’ Calcular el volumen del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano de ecuaci´on 3x + 6y + 4z = 12 mediante una integral doble. 9.19 Calcular las siguientes integrales aplicando el cambio de variable indicado:
S
x^2 4
y^2 9 dxdy, donde S es la regi´on del primer cuadrante encerrada por la elipse de ecuaci´on x^2 4 +^
y^2 9 = 1, aplicando el cambio de variable^ x^ = 2u,^ y^ = 3v.
S
2 cos
x^2 + y x
dxdy, donde S es la regi´on del plano xy limitada por las rectas x = 1, x = 2, y = x e y = 4x, aplicando el cambio de variable dado por u = x, v = yx.
9.20 Calcular la siguiente integral triple: I =
0
∫ (^) x
0
∫ (^) x+y
0
ex(y + 2z)dz dy dx.
9.21 Calcular la siguiente integral triple: I =
0
0
0
(x + y + z)dx dy dz.
9.22 Calcular la siguiente integral triple: I =
1
0
∫ (^) x
0
2 ze−x
2 dy dx dz.
9.23 Hallar, mediante una integral triple, el volumen del s´olido D encerrado bajo el plano z = 12 − 3 x − 2 y y sobre el rect´angulo plano S = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2 }.
Soluciones:
9.1 1. 0 2. 0 3. 9 (^) 4. π^2 8
9.1’ 1 −e − 1 2
π + e −
e
9.9 12 π
4 π 3
e
π 3
e^2 +
e−^1 − 1
7 π 6
9.16’ 8 π, utilizando que V =
S
2 dx dy donde S = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 ≤ 4 }
9.18’ 4, utilizando V =
S
12 − 3 x − 6 y 4 dx dy, donde S = {(x, y) ∈ R^2 | x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + 2y ≤ 4 }
9.19 1. I = π 2. I = 2 cos(5) − cos(8) − cos(2)
9.20 I = (^196)
e^2 3 + 1
9.21 I = 18
9.22 I = 15( 2 e−e 1)≈ 4. 74 9.23 I = 17
9.24 1. V =
− 2
∫ (^4) −y^2
0
x dx dy, V =
− 2
∫ (^4) −y^2
0
∫ (^) x
0
dz dx dy.
2. V =
∫ (^) a
−a
∫ √a (^2) −x 2
−√a^2 −x^2
a^2 − x^2 − y^2 dy dx, V =
∫ (^2) π
0
∫ (^) π
0
∫ (^) a
0
ρ^2 sin φ dρdφdθ = 4 π 3 a^3
3. V =
− 6
∫ √ 36 −x 2
−√ 36 −x^2
(36 − x^2 − y^2 )dy dx, V =
∫ (^2) π
0
0
∫ √ 36 −h
0
ρ dρ dh dθ
9.25 V = π 3 9.26 V = π 5 9.27 V = 815 π 9.28 V = 43 π 9.29 V = 4685 π 9.30 V = 64π^2 9.31 V = 43 π
9.32 V = 18π
1 − √^12
