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TEMA 1
ELEMENTOS BÁSICOS DEL ÁLGEBRA LINEAL
Parte 3
1
Matemáticas I para la Empresa
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Elementos básicos del Álgebra lineal
4. Sistemas de ecuaciones lineales
2
11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... ...
...
n n n n
m m mn n m
a x a x a x b a x a x a x b
a x a x a x b
^ +^ +^ +^ = (^) + + + = (^) + + + =
K
4.1. Definición
2 3 1 3 2 0 2 4
x y z x y z x y z
+ + = − (^) − + = (^) − + =
Por ejemplo
4. Sistemas de ecuaciones lineales
3
2 3 1 1 1 3 2 0 2 1 1 4
x y z
− (^) − (^) = −
11 12 1 1 1 21 22 2 2 2
1 2
n n
m m mn n m
a a a x b
a a a x b
a a a x b
L
L
M M O M M M
L
Matriz de coeficientes
Matriz de variables o incógnitas
Matriz de términos independientes
4.2. Expresión matricial
Elementos básicos del Álgebra lineal
4. Sistemas de ecuaciones lineales
4
2 3 1 1 3 2 2 1 1
(^) − (^) −
x A 1 1 (^) + x A 2 2 (^) + ... + x An n = B
r r r r
xA 1 (^) + yA 2 (^) + zA 3 = B
r r r (^) r
A 1 (^) =(2,1,2)
r A 2 (^) = (3, −3,1)
r A 3 (^) =(1,2,1)
r B = ( −1,0,4)
r
4.3. Expresión vectorial
4. Sistemas de ecuaciones lineales
7
A A B
= = ^ −
Matriz ampliada:
x y z
x y z
x y z
^ +^ +^ = −
Desarrollamos los rangos para A y A* (Estudio rg(A) y rg(A*)):
= − ≠ ⇒ Rg A ≥
− = ≠ ⇒ Rg A =
Rg A ( *) = Rg A ( ) = 3
SISTEMA COMPATIBLE
Rg A ( *) = Rg A ( ) = 3 = n
Sistema Compatible DETERMINADO
4.5. Tr. de Rouché-Fröbenius
Elementos básicos del Álgebra lineal
4. Sistemas de ecuaciones lineales
8
MÉTODOS DIRECTOS DE RESOLUCIÓN
- Método de Gauss (por reducción)
- Método de Cramer (por determinantes)
- Por inversión de la matriz
- Método de Gauss-Jordan (por eliminación)
- Por sustitución
4.6. Métodos de resolución
4. Sistemas de ecuaciones lineales
9
Método de Gauss (reducción): consiste en triangular la matriz de coeficientes
11 2 5 3 2 24
x y z x y z x y z
^ +^ +^ =
F 2 (^) − 2 F 1 F 3 (^) − 3 F 1
→ ^ − −
−^ −
→ ^ − −
−^ −
F 2 (^) ↔ F 3
F 3 − 3 F 2
→ ^ − −
SCD
4.6. Métodos de resolución
Elementos básicos del Álgebra lineal
4. Sistemas de ecuaciones lineales
10
11
2 9 2; 5; 4
5 10
x y z
y z z y x
z
^ +^ +^ = → (^) − − = − ⇔ = = =
(^) =
4.6. Métodos de resolución
4. Sistemas de ecuaciones lineales
13
Método de Gauss (reducción): Ejemplo de un SI
SI
x y z y z x y z
^ −^ +^ =
1
F
→ ^
F 3 − F 1
→ ^
−^ −
F 3 + F 2
→ ^
0 ≠ 4 ⇒ S Incompatible.
4.6. Métodos de resolución
Elementos básicos del Álgebra lineal
4. Sistemas de ecuaciones lineales
14
Método de Crammer (determinantes): Si n^ =^ m y det(^ A )^^ ≠^0 SCD siempre
x y z x y z x y z
^ +^ +^ =
→ ^ −
A = − =
4.6. Métodos de resolución
El sistema debe de tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas
1º Obtenemos Det(A)
4. Sistemas de ecuaciones lineales
15
1 1 1 1 20 2 1
A x = − =
11 5 24
1 1 2 1 25 3 1
A y = =
11 5 24
1 1 2 1 10 3 2
A z = − =
11 5 24
x A^ x
A
25 5 5
y A^ y A
= = = (^10 )
z A^ z
A
4.6. Métodos de resolución
1 1 1 2 1 1 3 2 1
→ ^ −
11 5 24
Elementos básicos del Álgebra lineal
4. Sistemas de ecuaciones lineales
16
Por inversión de la matriz
x y z x y z x y z
^ +^ +^ =
1 (^ )^ (^ )
t (^) t
A Adj A
A
A A
4.6. Métodos de resolución
AX = B ⇔ X = A −^1 B ⇒
Sabiendo que podemos calcular la inversa como
4. Sistemas de ecuaciones lineales
19
(^53)
1 0 0 0 3 0 0 0
→ ^ − −^103
4
- -
− 15 F y 2 −^35 F 3
1 0 0 0 1 0 0 0 1
→ ^
4 5 2
4
5
2
x
y
z
=
=
=
4.6. Métodos de resolución
Elementos básicos del Álgebra lineal
4. Sistemas de ecuaciones lineales
20
Por sustitución
Despejar una variable, sustituirla en las demás ecuaciones,
etc…hasta que quede sólo una variable que se pueda despejar.
Normalmente no es efectivo.
4.6. Métodos de resolución
4. Sistemas de ecuaciones lineales
21
11 1 12 2 1 21 1 22 2 2
1 1 2 2
n n n n
m m mn n
a x a x a x a x a x a x
a x a x a x
^ +^ +^ +^ =
K
x y z x y z x y z
^ +^ −^ =
Rg A ( ) = Rg A ( *) ⇒ S Compatible.
{0,0,0,... }^ siempre es solución (trivial)^ x^ =^ 0;^ y^ =^ 0;^ z =^0
Cuando sea SCD, sólo existe esa solución, mientras que cuando sea SCI, además de esa, existen infinitas soluciones más
4.7. Sistemas Homogéneos
Elementos básicos del Álgebra lineal
4. Sistemas de ecuaciones lineales
22
x y z x y z x y z
^ +^ −^ =
x = 0; y = 0; z = 0
SCD
4.7. Sistemas Homogéneos
