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Asignatura: Econometria II, Profesor: mark mark, Carrera: Economía, Universidad: UniZar
Tipo: Apuntes
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PUBLICACIONES DE 3er^ CURSO
Grado: Economía Asignatura: ECONOMETRÍA II
TEMA 1: ANÁLISIS DE ESFERICIDAD Y USO DE LOS MODELOS
Grupos: 231, 232 y 233 Profesores: Mª Teresa Aparicio, Majed Atwi, Mª Isabel Ayuda e Inmaculada Villanúa
Departamento de ANÁLISIS ECONÓMICO Curso Académico 2016/
1.1. Matriz de varianzas y covarianzas no escalar. 1.2. HeteroscedasticidadConsecuencias 1.3. Autocorrelación1.4. No normalidad 1.5. Uso de los modelos
1.1. MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS NO ESCALAR. CONSECUENCIAS
HIPÓTESIS DEL MLG: HOMOSCEDASTICIDAD Y NO AUTOCORRELACIÓN
= ′ = 2
22
12
0 0
0 0
0 0 ( ) ( ) T
V E σ
σ
σ
L
M M O M
L
L u u u
( ) ( ) ( )
( ) u uu^2 Ω V
u 0
y Xβ u
V E ó
E = ′ = σ
=
= +
(a) Los estimadores MCO de los parámetros de posición siguen siendo lineales e insesgados 1 1 1 1
ˆ (^) ( ´ ) ´ ( ´ ) ´( ) ( ´ ) ´ ( )^ ˆ ( ´ ) ´ ( )
X X X y X X X X u X X X u E X X X E u
− − − −
= = + = + = + =
β β β β β β
(b) La matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores es: V ( β ˆ )= σ^2 ( X ′ X ) −^1 X ′ ΩX ( X ′ X ) −^1 PRUEBA ( ) ( ( )) ( ( )) ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 2 1 1
Var ˆ^ E ˆ^ E ˆ^ ˆ^ E ˆ^ ' E ˆ^ ˆ ' E X X X uu' X X X X X X E uu' X X X X X X ΩX X X
β β β β β β β β β σ
− − − − − −
= ^ − − ^ = ^ − − = = ^ ′^ ′^ ′^ = ′^ ′^ ′ = =^ ′^ ′^ ′
(c) El estimador MCO de σ^2 es sesgado. E( ˆ^2 ) E( u' Mu )^2 ( T^ k )^2 σ = (^) T − k ≠ σ T −^ − k ≠σ
PRUEBA: Usando propiedades de la traza:
E u' Mu (^) traza ME uu'E traza u' Mu A B σ 2 E (^) traza M traza Mu u' Ω B A (^) σ (^2) ( Ttraza k ) E Muu' = ^ ^ ^ ^ = ^ ^ = = ^ ^ =^ ^ ^ ^ ≠ −
(d) Como consecuencia de (c), da como resultado unos estimadores sesgados de las varianzas y covarianzas de los estimadores MCO de los parámetros de posición.
(e) A pesar de que los estimadores MCO ( β ˆ^ ) siguen siendo insesgados, ya no serán ELIO (ni eficientes). (f) La utilización de los estadísticos habituales de la t y la F carecen de validez
siendo V la matriz diagonal siguiente:
2
22
12
0 0
0 0
0 0
σ T
σ
σ
L
M M O M
L
L V
Habitualmente:
σ (^) i^2^ =σ^2 f ( Xmi )
(a) La presencia de comportamientos atípicos
Por ejemplo: Se estima el siguiente modelo que relaciona la inversión con la renta: INV i (^) = β 1 + β 2 Y i+ υ i , con datos relativos a una serie de países y los residuos estimados de dicha ecuación frente a Y son los siguientes, donde se observa que la varianza de los residuos no es constante ( heterocedasticidad):
ATÍPICO
-30000^ -
-10000^0
1000020000
3000040000
50000
(^1200000 1600000 2000000) Y 2400000 2800000
RES_EQ
1
Es de esperar que identificando dicha observación atípica y controlándola a través de una variable ficticia se solucionaría el problema (lo comprobaríamos con contrastes): INV i (^) = β 1 + β 2 Y i (^) + β 3 Di + β 4 ( Y D i i (^) )+ ui con D =i ^10 siresto^ i atípico
(b) Errores de especificación en el modelo
**- Contrastes no constructivos
ii) Construcción del contraste 1.- Se estima el modelo original por MCO. Obtenemos los residuos: u ˆ t 2.- Se calcula el R^2 de la siguiente regresión auxiliar:
Variables ORIGINALES Xit Variables al CUADRADO X^2 it
3.- Cálculo del estadístico: (^2) ~ 2 ( p 1)
auxiliar.^ p es el número de parámetros de posición en la regresión
iii) Estrategia de contraste. Fijado un nivel de significación^ ε^ : (^2) ( 1) (^2) ( 1)
No rechazo de la hipótesis nula de homoscedasticidad echazo de la hipótesis nula de homoscedasticidad (aceptación de heteroscedasticidad)
p p
ε ε
χ χ
− −
Constructivo) i) Hipótesis nula y alternativa: 0 2 2 1 2 1 2 2
i i i p pi
H HOMOSCEDASTICIDAD i H HETEROSCEDASTICIDAD h Z Z
Las variables Z^ ri deben de seleccionarse a priori. Habitualmente
ii) Construcción del contraste 1.- Se estima el modelo por MCO
ˆ (^) i ... i p pi i
u (^) α α Z α Z ε σ % =^ +^ +^ +^ + Se calcula de suma explicada SE El estadístico BP: (^1) ~ (^2) ( 1) BP = 2 SEas χ p −
( 1) (^2) ( 1)
No rechazo de la hipótesis nula de homoscedasticidad echazo de la hipótesis nula de homoscedasticidad (aceptación de heteroscedasticidad)
p p
ε ε
χ χ
− −
En un MLG: Yt = β 1 + β 2 X (^) 2 t + ... + β (^) k X (^) kt + ut = x (^) t ′ β + ut t =1,..., T existe autocorrelación cuando los términos de perturbación aleatoria correspondientes a diferentes observaciones están correlacionadas. Esto es, cuando se cumple: C o v u ( (^) s , u (^) r ) ≠ 0, alg ú n s ≠ r
(a) La naturaleza dinámica de los acontecimientos económicos (b) La omisión de variables relevantes, cuyos valores estén autocorrelacionados entre sí. (c) Un error de especificación en la forma funcional del modelo. (d) En modelos de corte transversal, la existencia de autocorrelación espacial.
Las consecuencias de la autocorrelación son las enunciadas para el MLG con matriz de varianzas y covarianzas no escalar
- Gráficos de los residuos
Ejemplos: Si en el modelo: Y (^) t = β 1 + β 2 X (^) 2 t + ...+ β (^) k X (^) k t + u (^) t = x ′ t β + ut
u ~ A R M A (0 ,0 ) o t R u id o B la n c o → (^) Sin autocorrelación
Desarrollan un contraste de autocorrelación bajo el supuesto:
= 1 + , < 1
= ′ + t ρ^ t − ε t^ ρ
t t t u u
Y x β u
i) Hipótesis nula y alternativa
ii) Construcción del estadístico
∑
∑
=
= −
t t
T t t t u
u u d 1
2
2 1 2 ˆ
donde: ∑
∑
=
= = T − t t
T t t t u
uu
1
2
2 1 ˆ
ˆ ˆ ρˆ
iii) Estrategia de contraste
Es un contraste EXACTO Papel de la constanteSólo contrasta AR(1) No válido en modelos dinámicos Se supone normalidad.
