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Bloque temático 1. Álgebra
1. Espacio vectorial 2. Espacio euclídeo
ℜ^ n
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1. Vectores y operaciones en (^) ℜ n 2. Base y dimensión de ℜ n 3. Subespacios vectoriales de ℜ n
ℜ n^ = { ( a 1 , a 2 , … , an )/ a 1 , a 2 , …, an ∈ ℜ}
3
4
(^5) , , 6 3 4, 7,0,^1 5
(^) − ∈ℜ − (^) ∈ ℜ
π
Ejemplos:
Los elementos del conjunto (^) ℜ^ n se denominan VECTORES
1.1 Definición de ℜ n
1. Vectores y operaciones en ℜ n
Consideremos el conjunto:
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
n n n
u v u v^ n
ℜ × ℜ → ℜ
u^ "^ = ( u 1 , u 2 , …, u n )∈ℜ n
v^ "^ = ( v 1 , v 2 , …, v n )∈ℜ n
u^ "^ + v "^ = (^) ( u 1 (^) + v 1 (^) , u 2 (^) + v 2 , …, u n + vn )∈ℜ n
que se calcula:
1.2 Operación interna o suma en ℜ n
1. Vectores y operaciones en ℜ n
Definimos:
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
u^ "^ = (^) ( 3,0, − (^2) ) ∈ℜ^3 v^ " = (^) ( 8, −5,10 (^) ) ∈ ℜ^3 ( 3 +^ 8,0^ +^ (^ −5 ,^ )^ −^2 +^10 ) =^ (^ 11,^ −5,8^ )^ ∈ ℜ^3
Ejemplo: Sumar los siguientes vectores
u + v =
" "
- u^ "^ = (^) ( −1, 2 (^) ) ∈ ℜ^2 v^ =^ ( 6,^ −^5 ) ∈ ℜ^2
Ejercicios: Sumar los siguientes vectores
1. Vectores y operaciones en ℜ n 1.2 Operación interna o suma en ℜ n
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
- (^) ( −1, 2,5,3 (^) ) + (^) ( 3, −2, −1, 2 (^) )=
- (^) (1, − 34 , 2 (^) ) + (^) ( 25 , 23 , − (^1) )=
- (^) (1, − (^2) ) + (^) ( −1, −2,3 (^) )=
u^ "^ + v "=
∀ u v w^ " " " , , ∈ℜ n , ∀ λ ,μ∈ ℜ
1. Conmutativa: (^) u^ "^ + v "^ = v "^ + u " 2. Asociativa: (^) ( u^ "^ + v "^ ) + w "^ = u "^ + (^) ( v "^ + w ") 3. Existencia de elemento neutro: ∃ ∈ℜ 0 n
" (^) tal que u + 0 = 0 + u = u
" "^ " " "
1.4 Propiedades del espacio ℜ n
1. Vectores y operaciones en ℜ n
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
4. Existencia de elemento simétrico:
∃ − ( u ) ∈ ℜ n
" tal que
u + ( − u ) = ( − u ) + u = 0
5. Existencia de elemento unidad:
∃ ∈ ℜ 1 tal que^1 ⋅ u^ "^ = u "^ ⋅ 1 = u "
∀ u v w^ " " " , , ∈ℜ n , ∀ λ ,μ∈ ℜ
6. “Asociatividad”: 7. “Distributividad”:
( λ^ ⋅^ μ^ ) ⋅^ u^ =^ λ^ ⋅^ ( μ⋅ u )
" "
( λ^ +^ μ^ ) ⋅^ u^ =^ λ^ ⋅^ u^ +^ μ⋅ u
" " "
1. Vectores y operaciones en ℜ n 1.4 Propiedades del espacio ℜ n
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En general, cualquier conjunto dotado de una operación interna (suma) y otra externa (producto por escalares) que cumpla estas propiedades se dice que tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL
λ⋅ (^) ( u + v (^) )= λ ⋅ u + λ⋅ v
" " " "
Dado un conjunto de vectores u^ " 1^ , u " 2^ , …, u " m ∈ℜ n
Diremos que v^ "^ ∈ℜ n es COMBINACIÓN LINEAL de los
vectores
∃ λ 1 , λ 2 , …, λ m ∈ ℜ tales que^ v^ =^ λ 1 ⋅^ u 1^ +^ +^ λ m ⋅ um
u 1 , u 2 , , um
2.1 Combinación lineal de vectores
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Ejemplo: Dados los vectores ( )
1 2 2 2
3, 0, 1
u u
= ∈ ℜ = − ∈ ℜ
" "
v^ " = ( − 3, 2 ) ∈ ℜ^2
u 1 (^) , u 2 " " Averiguar si el vector se puede poner como combinación lineal de los vectores
( −3, 2^ ) =^ λ 1 ⋅^ ( 3,5)^ +^ λ 2 ⋅^ ( 0,^ −^1 )
Veamos si existen 2 escalares λ 1 ,λ 2 tales que:
2. Base y dimensión de ℜ n 2.1 Combinación lineal de vectores
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- Comprobar si el vector se puede poner como combinación lineal del vector
Ejercicios: Dado el vector (^) u^ " 1 (^) = (^) ( 3, −1, 2 (^) ) ∈ ℜ^3
v^ " = ( 6, −3, 2 ) ∈ℜ^3
u 1 "
2.1 Combinación lineal de vectores
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez 5) Determinar los valores de a y b para que el vector sea combinación lineal del vector
v^ " = ( 6, a b , ) ∈ℜ^3
u 1 "
- Como conclusión general, ¿qué debe pasar para que el vector sea combinación lineal del vector?
v^ " ∈ ℜ^ n u^ " ∈ℜ^ n
Ejercicios: Material trabajo autónomo Ejercicios 3 a 5
Los vectores u 1 , u 2 , , u m ∈ℜ n
LINEALMENTE INDEPENDIENTES
LINEALMENTE DEPENDIENTES
2. Base y dimensión de ℜ n 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
pueden ser
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Los vectores u 1^ ,^ u 2^ ,^ ,^ u m^ ∈ℜ n
son LINEALMENTE INDEPENDIENTES (L.I.)
λ 1 ⋅ u 1 + λ 2 ⋅ u 2 + + λ m ⋅ um = 0
… ⇒^ λ 1 =^ λ 2 =^ …=^ λ m =^0
Es decir, si al poner el vector NULO como combinación lineal de los vectores u^ " 1^ , u " 2^ , …, u " m la ÚNICA posibilidad es que TODOS los escalares sean 0
2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
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Los vectores u^ " 1^ , u " 2^ , …, u " m ∈ℜ n
Es decir, si al poner el vector NULO como combinación lineal de los vectores u^ " 1^ , u " 2^ , …, u " m ALGÚN escalar puede ser diferente de 0
son LINEALMENTE DEPENDIENTES (L.D.)
λ 1 ⋅ u 1 (^) + λ 2 ⋅ u 2 (^) + + λ m ⋅ um = 0
… con algún^ λ^ j ≠^0
2. Base y dimensión de ℜ n 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
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Ejercicios: Averiguar si los siguientes vectores son linealmente independientes o dependientes:
- u^ " 1^ = ( 4, 0 ,) u " 2 = ( 1, − 1 ) ∈ ℜ^2
2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez^ (^ )^ (^ )^ (^ )^
- u^ " 1^ = 4,0 , u " 2^ = 1, −1 , u " 3 = 2,6∈ ℜ^2
- u^ " 1^ = (^) ( −1,1 , (^) ) u " 2 = (^) ( 1, − (^1) ) ∈ ℜ^2
Propiedad 1:
1 ,^2 ,^ ,^
n
u u u m ∈ℜ
son LINEALMENTE DEPENDIENTES
Los vectores
ALGUNO de ellos puede expresarse como combinación lineal de los restantes
2. Base y dimensión de ℜ n 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
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Ejemplo: Como hemos visto, los vectores siguientes son linealmente dependientes
( 4,0^ ) =^ λ 1 ⋅^ ( 1,^ −^1 )^ +^ λ 2 ⋅( 2,6)
Comprobemos, por ejemplo, que
1 2 2 2 3 2
4, 1, 1 2, 6
u u u
= ∈ ℜ = − ∈ ℜ = ∈ ℜ
" " "
2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
Comprobemos que alguno de ellos es combinación lineal de los restantes:
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1 2 1 2
4 2 0 6
λ λ λ λ
= + (^) = − +
2 4 1 λ = 8 = 2
λ 1 = 6 λ 2
λ 1 = 6 ⋅ 12 = 3 Conclusión: El vector (4,0) es combinación lineal de los otros dos
( 4,0)^ =^ λ 1 ⋅^ (1, −^1 )^ +^ λ 2 ⋅( 2,6)
4 = 6 λ 2 + 2 λ 2 = 8 λ 2
2. Base y dimensión de ℜ n 2.2 Dependencia e independencia lineal de vectores
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Recordemos que, dada una matriz cuadrada de orden n , se puede calcular el determinante de esta matriz:
Si n =2: det( A ) A a^ b
c d
= = = a ⋅ d − b ⋅ c
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2.3 Relación con el rango de una matriz
Ejemplo: Calcular el determinante
det( )
a b c
A A d e f
g h i
Si n =3: Se puede usar la Regla de Sarrus
a e i ⋅ ⋅
+ c d h ⋅ ⋅
+ b ⋅ f ⋅ g − ⋅ c e g ⋅ − b d i ⋅ ⋅ − a ⋅ f ⋅ h
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2.3 Relación con el rango de una matriz
2. Base y dimensión de ℜ n
Ejemplo: Calcular el determinante
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2.3 Relación con el rango de una matriz
Para calcular determinantes de orden n > 3 , no hay una regla directa
La única alternativa es aplicar las propiedades de los determinantes, que pueden consultarse en la Bibliografía de referencia
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2.3 Relación con el rango de una matriz
2. Base y dimensión de ℜ n
Ejemplo: Estudiar cuáles de los vectores siguientes son linealmente independientes
( 1,^ −1,3 , 2,^ ) ( −2,6^ ) y ( 1,0,1)
La matriz que podemos formar con estos vectores es: Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
2.3 Relación con el rango de una matriz
Como el determinante de orden 3 − − =
es nulo, resulta que los 3 vectores son linealmente dependientes
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2.3 Relación con el rango de una matriz
Como hay determinantes de orden 2 no nulos, como
resulta que, por ejemplo, los vectores (1,-1,3) y (1,0,1) son linealmente independientes Además, como el rango de la matriz es 2, podemos encontrar un máximo de 2 vectores lin. independientes en ese conjunto de vectores
2. Base y dimensión de ℜ n
Ejercicio: Estudiar si los siguientes vectores son lin. independientes:
(1, −1,0,3 , 2, 2,^ ) ( −1,1)
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2.3 Relación con el rango de una matriz
(1,0,3 , 2, ) ( −1,1^ )^ y ( 3,^ −1,5)
(1, −1,0,3 , 2, 2,^ ) ( −1,1^ )^ y ( 3,1,^ −1,5)
a) b)
c) d)
( 1,^ −1,3 , 2,1,1^ ) ( )^ y ( 3,0, 4)
Ejercicios: Material trabajo autónomo Ejercicios 6 a 9
Los vectores u 1^ ,^ u^ 2 ,^ ,^ u m^ ∈ℜ n
Es decir, cuando CUALQUIER vector de ℜ n^ se pueda poner como combinación lineal de los vectores u u^ " 1 ,^ " 2^^ ,^ …^ ,^ u " m
son UN SISTEMA GENERADOR de
v = λ 1 ⋅ u 1 + λ 2 ⋅ u 2 + + λ m ⋅ um
" " " " …
ℜ^ n
∀ ∈ℜ
" (^) n v
2.4 Sistema de generadores de ℜ n
2. Base y dimensión de ℜ n
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Ejercicios: Determinar los escalares que permiten escribir los siguientes vectores como combinación lineal de los vectores (^) ( ) ( )
1 2 2 2
1, 1, 1
u u
= ∈ ℜ = − ∈ ℜ
" "
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2.4 Sistema de generadores de ℜ n
a) ( 3, 2)
b)
c)
( 8,^ −^5 )
Propiedad:
el rango de la matriz que forman es igual a n
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2. Base y dimensión de ℜ n
1 ,^2 ,^ ,^
n
u u u m ∈ℜ
son un SISTEMA GENERADOR de
Los vectores
2.4 Sistema de generadores de ℜ n
ℜ^ n
Ejemplo: Averiguar si los siguientes vectores forman un sistema generador de
Para ello, debemos estudiar el rango de la matriz (^) −
1 2 2 2 3 2
3, 2, 2 0,
u u u
= ∈ ℜ = − ∈ ℜ = ∈ ℜ
" " "
ℜ^2
2.4 Sistema de generadores de ℜ n
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Como
el rango de la matriz es 2 y, por tanto, son un sistema generador de (^) ℜ^2
Los vectores u^ " 1^ , u " 2^ , …, u " m ∈ℜ n
son UNA BASE de ℜ n
- Son vectores linealmente independientes
2) Son un sistema generador de ℜ n
2. Base y dimensión de ℜ n 2.5 Base de ℜ n
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