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Bloque temático 2. Cálculo
1. Funciones reales de n variables
2. Optimización sin restricciones
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
**1. Definiciones básicas
- Límite de funciones** **3. Derivación de funciones
- Diferencial de funciones** 5. Derivación de funciones compuestas e **implícitas
- Funciones escalares homogéneas**
Es cualquier aplicación de la forma
( )
f : A x A f x y
1.1 Función real de una variable real
Ejemplo : [ ] [ ] ( ) 2 2
f x f x x x (^) f
1. Definiciones básicas
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Es cualquier aplicación de la forma:
1.2 Función escalar de varias variables reales
Ejemplo :
2 2 2 2
: , ,^3 , 1,2 (^) 1, 2 1 2 3 1 2 3
f x y f^ x y^ x y^ x^ y x y (^) f
ℜ → ℜ ∀ ∈ℜ → =^ +^ −^ ∈ℜ = − (^) → − = − ⋅ + ⋅ − − = − ∈ℜ
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez^ (^ )
1
: n
n
f A x x A f x y x
⊆ ℜ → ℜ ∀ = ^ ∈ → = ∈ℜ
⋮
Ejercicio : ¿Cuáles de las siguientes funciones son de varias variables?
( )
( ) ( )
2
2 3 3
2 5
3 c o s 7 9 ln
a )
b ) c ) d )
x y
z
x x
x y e z z t x
1.2 Función escalar de varias variables reales
1. Definiciones básicas
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Ejercicio : Dada la función (^) ℜ^3 f → ℜ ( )
(^2 ) f x y z , , = 2^ xyx + − y + zz
obtener la imagen de ( −1, 0,3 )y de ( 2,1, − 1 )
1.4 Dominio de una función
Dom f = { x ∈ ℜ ∃/ f ( x )}= A
Dominio de una función es el conjunto de valores que tienen imagen
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( )
f : A x A f x y
Dom f = { x ∈ ℜ n /∃ f ( x )}= A
( )
f : A n x A f x y
Si
Si
Ejemplo: Obtener el dominio de la función
- Si f (^) ( x (^) ) = Polinomio( x (^) ) = P x ( )
Dom f = A = ℜ
Dom f = A = ℜ f (^) ( x (^) ) = 8 x^3 − 53 x^2 + 10
1. Definiciones básicas
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1.4 Dominio de una función
Recordemos las condiciones para determinar el dominio de una función:
- Si f (^) ( x (^) ) = Cociente Polinomios= Q x^ P x ( (^ ))
Dom f = A = (^) { x ∈ ℜ / x ≠ ± (^3) } = ℜ − (^) { −3, + (^3) }
( ) 82 5 9
= + −
f x x x
Dom f = A = { x ∈ ℜ / Q ( x )≠ 0 }
Ejemplo: Obtener el dominio de la función
- Si f (^) ( x ) (^) = P x ( ) (^) o f (^) ( x ) (^) = nP x ( ) , n par
Dom f = A = (^) { x ∈ ℜ / x ≤ − 4 ó x ≥ (^4) } = (^) ] −∞ −, (^4) ] ∪[ +4, +∞[
Dom f = A = (^) { x ∈ℜ / P x ( )≥ (^0) } Ejemplo: Obtener el dominio de la función f (^) ( x (^) ) = x^2 − 16
1.4 Dominio de una función
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- Si f ( x ) = nP x ( ), n impar
Dom f = A = ℜ
f (^) ( x (^) ) = 3 x^2 − 4
Dom f = A = ℜ Ejemplo: Obtener el dominio de la función
1.4 Dominio de una función
1. Definiciones básicas
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- Si f (^) ( x ) (^) = eP x (^ ) Dom^ f^ =^ A = ℜ
Dom f = A = ℜ
Ejemplo: Obtener el dominio de la función f (^) ( x (^) ) = e^2^ x +^8
- Si f (^) ( x ) (^) =ln P x ( )
Dom f = A = (^) { x ∈ ℜ / x > − (^3) } = (^) ] − 3,+∞[
f (^) ( x (^) ) = ln 2( x + (^6) )
Dom f = A = (^) { x ∈ℜ / P x ( )> (^0) } Ejemplo: Obtener el dominio de la función
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1.4 Dominio de una función
Ecuación de la circunferencia de centro y radio
( x 0 (^) , y 0 ) r ≥ 0 ( x^ −^ x 0^ ) 2 +^ ( y^ −^ y 0^ )^2 = r^2 Gráficamente: y
x
( x 0^ , y 0 )
r
Para representar gráficamente el dominio de funciones de dos variables, así como posteriormente las curvas de nivel, recordemos las ecuaciones más habituales:
1. Definiciones básicas
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1.4 Dominio de una función
Ecuación de la hipérbola equilátera x ⋅ y = a , a ∈ ℜ Representación gráfica: (^) y
x
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1.4 Dominio de una función
Ecuación de la parábola y = ax^2 + bx + c a b c , , ∈ ℜ
Representación gráfica: (^) y
x
o bien: (^) x = ay (^2) + by + c a b c , , ∈ ℜ
y = ax^2 + bx + c x = ay^2 + by + c
1. Definiciones básicas
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1.4 Dominio de una función
Ecuación de la recta
y = mx + n m n , ∈ ℜ
Representación gráfica: y
x
y = mx + n
ax + by = c a b c , , ∈ ℜ o bien:
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1.4 Dominio de una función
h x y ( , (^) ) = (^) − 3^ xx^^ −+ yy
Ejercicio: Representar gráficamente el dominio de
Para el caso de funciones de dos variables, , las curvas de nivel k se obtienen cortando la función por planos horizontales de ecuación z = k
Se denomina Curva de nivel de una función escalar al conjunto:
1.5 Curvas de nivel
Es decir, las distintas curvas de nivel de una función están formadas por todos los puntos que tienen la misma imagen Dos curvas de nivel distinto nunca se cortarán dentro del dominio
1. Definiciones básicas
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k ∈ ℜ
Ck = (^) { x ∈ A / f (^) ( x (^) )= k }
f (^) ( x y , )
f : A ⊆ ℜ n → ℜ
Es decir, las curvas de nivel son circunferencias con centro en el punto (0,0) y radio con
Ejemplo : Determinar las curvas de nivel de la función
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1.5 Curvas de nivel
f (^) ( x y , (^) ) = x^2^ + y^2
Ck = (^) { ( x y , (^) ) ∈ℜ^2 / f (^) ( x y , (^) )= k } (^) = (^) {( x y , (^) )∈ℜ 2 / x^2^ + y^2 = k }
k k ∈ℜ+
Gráficamente:
1. Definiciones básicas
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1.5 Curvas de nivel
x^2^ + y^2 = k y
x
k ∈ ℜ+
k = 0
k = 1
k = 4
La superficie en 3 dimensiones sería:
-5 (^) -4 -3 -
5
-4^ -
4
-1^ - x
-1^ - (^0 0) y (^02) (^3 )
14 12 z 8
10 6 4 2 3 2 1 1
k = 1
k = 4
k = 0
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1.5 Curvas de nivel
La superficie en 3 dimensiones sería:
20
5 -3 -
10
(^4 32 5413) z (^2010) x 0 -1 y-1 -2 -3 k^ =^1 k = − 1
k = 0
k = 1
Ejercicios: Material trabajo autónomo Ejercicios 1 a 7
1. Definiciones básicas
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1.5 Curvas de nivel
f ( x y , )= 2 x − y
x
y
Ejercicio : Representar gráficamente las curvas de nivel de
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1.5 Curvas de nivel
La superficie en 3 dimensiones sería:
x^00 y^1 -1 (^23) -2 (^45)
-2^01 -12-10-
-6-
-3 -2 2
-5 -4 2
4 3
5
-1 (^) z^4
(^1210) (^86)
14
k = − 1 k = (^0) k = 1
1. Definiciones básicas
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1.5 Curvas de nivel
g ( x y , ) = xy 2
Ejercicio : Representar gráficamente las curvas de nivel de
Dada f : A ⊆ ℜ → ℜ a^ ∈ℜ^ L ∈ℜ
Es el valor al que tiende la función cuando nos aproximamos por la izquierda y la derecha de a , con independencia del valor de la función en dicho punto a , siempre que ese valor sea único
tal que ∀ ∈ x A , x ≠ a , x − a < δ⇒ f (^) ( x (^) ) − L <ε)
x lim → a^ f^^ (^ x^ )^ =^ L ⇔^ (∀^ ε^ >^ 0,^ ∃δ^ >^0
2.1 Definición de límite de una función en un punto
2. Límite de funciones
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TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE : El límite de una función en un punto, si existe, es ÚNICO
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a
L^ L^ L −+ ε^ ε
a − δ a + δ a
L^ L^ L −+ ε^ ε
a − δ a + δ x lim → a f^^ (^ x^ )=^ L^ ∃^ x lim^^ → a^ f^ (^ x )
2.1 Definición de límite de una función en un punto
2. Límite de funciones
Dada f : A ⊆ ℜ → ℜ a ∈ ℜ
¿ L 1 (^) = L 2? SI (^) NO Existe (^) x lim → a f (^) ( x (^) ) = L = L 1 (^) = L 2 No existe^ x lim → a f^ ( x )
x lim → a^ +^ f^^ (^ x^ )^ = L^2
Limite lateral por la derecha x →lim a^ −^ f^^ (^ x^ )^ = L^1
Limite lateral por la izquierda Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
2.1 Definición de límite de una función en un punto
2. Límite de funciones
2.2 Definición de límite de una función escalar en un punto
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lim x → a f ( x ) = L ⇔ ∀[ ε > 0, ∃δ > 0 / ∀ ∈ x A x , ≠ a ,
Dada f : A ⊆ ℜ n → ℜ y dados a ∈ ℜ n^ y L ∈ℜ
El límite de una función escalar de varias variables en un punto a es el valor al que tiende la función cuando nos aproximamos a ese punto, según las infinitas trayectorias de aproximación que existen, con independencia del valor de la función en dicho punto a
d (^) ( x a , (^) ) < δ⇒ d (^) ( f (^) ( x (^) ), L )< ε
TEOREMA DE UNICIDAD DEL LÍMITE : El límite de una función en un punto, si existe, es ÚNICO
2. Límite de funciones
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2.3 Cálculo de límites
2. Límite de funciones
En el caso de una variable para calcular el límite de una función en un punto sólo es posible aproximarse a dicho punto por la izquierda o por la derecha. Por tanto, sólo era necesario calcular los dos límites laterales En el caso de funciones de varias variables, cuando al sustituir el punto aparece alguna indeterminación, para determinar el límite de la función en un punto, es necesario aplicar la definición de límite o calcular límites según infinitas trayectorias de aproximación al punto, lo cual resulta imposible Por ello, lo que se acostumbra a hacer es calcular el límite según algunas trayectorias sencillas. Si alguno de los límites no coincide, el límite de la función en el punto no existe. Si los límites calculados coinciden, el límite de la función puede existir y, caso que exista, tomará el valor obtenido
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2.3 Cálculo de límites
En el caso de f : A ⊆ ℜ^2 →ℜpara determinar
lim x → x 0 (^) ( (^) y lim → y 0 (^) f (^) ( x y , (^) )) (^) y lim → y 0 (^) ( (^) x lim → x 0 f (^) ( x y , ))
- Límites reiterados o sucesivos
( ) ( ) (^ )^ se pueden calcular: , 0 , 0 x y →^ lim x^ y f^ x y ,
- Límites direccionales o radiales
, lim^ ,^ (^ , )^ lim (^ ,^0 (^0 )) 0 0 0
0 0
f x y x x f x y m x x y y m x x
x y x y =^ → + ⋅ − = + ⋅ −
→
Como la ecuación de las rectas que pasan por el punto es y = y 0 (^) + m ⋅ ( x − x 0 )
2. Límite de funciones
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Ejemplo: Dada la función^ f^ (^ x y^ ,^^ )^ =^3 x^^ x +^ − 1 y −− xy 3 determinar el límite en el punto (1,2)
lim 3 1 x y^3
x xy →^ x^ y
Antes se ha visto que:
por lo que deberán calcularse límites según distintas trayectorias
2.3 Cálculo de límites
2. Límite de funciones
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f ( x y , ) = 3 x^^ x +^ − 1 y −− xy 3
1 2 lim lim 3 1 x y 3
x xy → → x y
− − = (^) + −
- Límites reiterados o sucesivos
2 1 lim lim 3 1 y x 3
x xy → → x y
1 1 lim 1 lim1 1 x (^) 1 x
x → (^) x →
2 lim 2 → 2
y −
y y
Dado que los límites reiterados no coinciden, NO EXISTE límite doble de la función en el punto (1,2)
1 lim 3 1 2 → 2 3
x + −
x x x
2 lim 3 1 → 1 3
y + −
y y ( ) 2 lim 2 1 → 2 = −^ − = − y −
y y
2.3 Cálculo de límites
2. Límite de funciones
