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Bloque temático 1. Álgebra
1. Espacio vectorial
2. Espacio euclídeo
ℜ
n
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1. Producto escalar de vectores
2. Norma habitual o euclídea
3. Distancia entre vectores
4. Nociones topológicas básicas
5. Formas cuadráticas
Dado el espacio vectorial
n
ℜ
Se denomina producto interior o escalar habitual de
vectores a la aplicación:
( , )
n n
u v u v
ℜ × ℜ → ℜ
→ ⋅ ∈ ℜ
1. Producto escalar de vectores
1.1 Definición y propiedades
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
( )
1
1 1 1 2 2
n n n
n
v
u v u u u v u v u v
v
Se denomina ESPACIO VECTORIAL EUCLÍDEO al espacio vectorial
n ℜ
cuando éste está dotado de un producto interior o escalar de vectores
definida a partir de la expresión:
Ejemplo: Obtener el producto interior entre los siguientes vectores:
( ) ( )
3 3 u = 3, 0, − 2 ∈ ℜ v = 1, − 5, − 3 ∈ ℜ
( ) ( ) ( ) ( )
u v ⋅ =
Ejercicio: Obtener el producto escalar entre los siguientes vectores:
( ) ( )
2 2 u = − 1, 4 ∈ ℜ v = 6, − 2 ∈ ℜ
1.1 Definición y propiedades
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1. Producto escalar de vectores
u v ⋅ =
Propiedades del producto escalar:
, ,
n
∀ u v ∈ ℜ u v ⋅ = v u ⋅
1.1 Definición y propiedades
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
1. Producto escalar de vectores
a) Conmutativa :
( ) , , ,
n ∀ u v w ∈ ℜ u ⋅ v + w = u v ⋅ + u w ⋅
b) Distributiva :
, , , ( ) ( )
n
∀ u v ∈ ℜ ∀ λ ∈ ℜ λ⋅ u v ⋅ = λ⋅ u ⋅ v
c) “Asociatividad” :
Ejemplo: Obtener la norma euclídea del vector: (^) ( )
2 u = 3, − 1 ∈ ℜ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
u u ⋅ =
u = + u u ⋅ =
Ejercicio: Obtener la norma euclídea del vector: (^) ( )
3 u = 1, 5, − 4 ∈ ℜ
u u ⋅ =
u = + u u ⋅ =
2.1 Definición
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2. Norma habitual o euclídea
- , 0
n
∀ u ∈ℜ u ≥
. Además u = 0 ⇔ u = 0
n
∀ u ∈ℜ ∀ λ ∈ ℜ λ ⋅ u = λ⋅ u
- Se dice que
n
u ∈ℜ
es unitario ⇔ u = 1
, 0,
n
u
u u
u
∀ ∈ℜ ≠
es unitario
- Desigualdad triangular:
n
∀ u v ∈ ℜ u + v ≤ u + v
2.2 Propiedades de la norma euclídea
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2. Norma habitual o euclídea
- Ángulo entre dos vectores:
, , , 0, cos
n
∀ u v ∈ ℜ u v ≠ u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ α
siendo αel ángulo que forman los dos vectores
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2. Norma habitual o euclídea
Diremos que dos vectores son ortogonales cuando son
perpendiculares
u v ,
2.2 Propiedades de la norma euclídea
Es decir, el ángulo que forman es (^) α = 90
Por tanto, como
dos vectores son ortogonales si y sólo si
cos 90 = 0
u ⋅ v = 0
Diremos que una base es ortonormal cuando sus vectores están
normalizados (son unitarios) y son ortogonales dos a dos
Esta propiedad permite definir el ángulo entre dos vectores
a partir de la expresión:
cos
u v
u v
α
⋅
=
⋅
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2. Norma habitual o euclídea
2.2 Propiedades de la norma euclídea
Ejercicio: Calcular el ángulo que forman los vectores de :
u = (^) ( 1, − 2, 0 (^) ) , v = (^) ( 3,1, − (^1) )
3 ℜ
Gráficamente, la distancia entre dos vectores representa:
( ) ( ) 1 2 1 2
u = u , u , v = v , v
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( ) 1 2
u = u , u
1
u
2
u
2 2
u − v
d (^) ( u v , )
3.1 Definición
3. Distancia entre vectores
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2
d u v , u v u v
( ) 1 2
v = v , v
1
v
2
v
1 1
u − v
- , , (^) ( , (^) ) 0
n
∀ u v ∈ℜ d u v ≥
Además d u v ( , (^) )= 0 ⇔ u = v
( ) ( ) , , , ,
n
∀ u v ∈ℜ d u v = d v u
3. Desigualdad triangular:
( ) ( ) ( ) , , , , , ,
n
∀ u v w ∈ℜ d u w ≤ d u v + d v w
3.2 Propiedades de la distancia
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3. Distancia entre vectores
4. Nociones topológicas básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Dado un punto y un número
n
a ∈ℜ
Se define:
, / ,
n
B a r = x ∈ ℜ d x a < r
r
∈ ℜ
Bola abierta de centro y radio
n
a ∈ℜ r^
∈ ℜ
, / ,
n
B a r = x ∈ ℜ d x a ≤ r
Bola cerrada de centro y radio
n
a ∈ℜ r^
∈ ℜ
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4. Nociones topológicas básicas
Dado un conjunto
n
A ⊂ ℜ
Se define:
existe r > 0 tal que B a r ( , )⊂ A
es un punto interior de si y sólo si
n
a ∈ℜ
n
es un punto frontera de A ⊂ ℜ si y sólo si
n
a ∈ℜ
cualquier bola centrada en el punto contiene puntos tanto
del conjunto como de su complementario
n
A ⊂ ℜ
El conjunto de los puntos interiores se representa por IntA
El conjunto de los puntos frontera se representa por FrA
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Dado un conjunto
Se dice que:
A es un conjunto acotado si y sólo si
n
A ⊂ ℜ
existe una bola abierta que lo contenga
A es un^ conjunto compacto^ si y sólo si
es un conjunto simultáneamente cerrado y acotado
A es un conjunto convexo si y sólo si
dados dos puntos cualesquiera del conjunto, determinan
un segmento que está incluido en el conjunto
4. Nociones topológicas básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Conjunto convexo Conjunto NO convexo
¿Es convexo el conjunto …?
4. Nociones topológicas básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Ejemplo: Representar gráficamente el siguiente conjunto e indicar
si es abierto, cerrado, acotado y/o convexo:
( ) { }
2
A = x y , ∈ℜ / x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4
A
Frontera
El conjunto A es:
- No abierto porque incluye puntos frontera
- Cerrado porque incluye todos los puntos frontera
- Acotado porque existe una bola que lo contiene
- Convexo porque incluye todos los segmentos
que determinan dos puntos cualesquiera
4. Nociones topológicas básicas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Ejercicio: Representar gráficamente el siguiente conjunto e indicar
si es abierto, cerrado, acotado y/o convexo:
( ) { }
2
A = x y , ∈ℜ / x ≥ 0, y ≥ 0, x + y < 4
El conjunto A es:
4. Nociones topológicas básicas
Desarrollamos el producto:
( ) ( ) ( )
x
f u f x y z x y z y
z
f (^) ( x y z , , (^) )= (^) ( 5 4 , 4 7 2 , (^2 4) )
x
x y z x y z x y z y
z
f (^) ( x y z , , (^) )=
2 2 2 5 x + 4 xy − xz + 4 xy + 7 y + 2 yz − xz + 2 yz − 4 z =
2 2 2 = 5 x + 7 y − 4 z + 8 xy − 2 xz + 4 yz
5. Formas cuadráticas
5.1 Definición
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Veamos una forma más directa de llegar al resultado final:
( ) ( ) ( )
x
f u f x y z x y z y
z
( )
f x y z , , = 5 x + 7 y − 4 z + 8 xy − 2 xz + 4 yz
5. Formas cuadráticas
5.1 Definición
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Ejercicio: Obtener la forma cuadrática asociada a la matriz simétrica:
A
f ( x y , )=
5. Formas cuadráticas
5.1 Definición
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Y a partir de una forma cuadrática dada, ¿cómo obtendríamos su
matriz asociada?
Ejemplo: Obtener la matriz asociada a la siguiente forma cuadrática:
( )
2 2 f x y , = 9 x − 2 y − 6 xy
A
=
5. Formas cuadráticas
5.1 Definición
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Ejemplo: Clasificar las formas cuadráticas siguientes:
2
f :ℜ → ℜ
( )
2 2 f x y , = 6 x + 3 y
( ) ( ) ( )
2
∀ u = x y , ≠ 0,0 ∈ℜ ⇒ f x y ,
> 0
Conclusión: f es una forma cuadrática (^) DEFINIDA POSITIVA
( )
2 2 f x y , = − 2 x − 5 y
( ) ( ) ( )
2
∀ u = x y , ≠ 0,0 ∈ ℜ ⇒ f x y ,
< 0
Conclusión: (^) f es una forma cuadrática DEFINIDA NEGATIVA
5. Formas cuadráticas
5.2 Clasificación de las formas cuadráticas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
( )
2 f x y , = 5 x
( ) ( )
2
∀ u = x y , ∈ ℜ ⇒ f x y ,
≥ 0
Conclusión: (^) f es una forma cuadrática SEMIDEFINIDA POSITIVA
Conclusión: (^) f es una forma cuadrática SEMIDEFINIDA NEGATIVA
( ) ( ) ( )
2
y ∃ v = x y , ≠ 0,0 ∈ ℜ tal que f x y , = 0
( )
2
v = 0, 2 ∈ ℜ
( )
2 f x y , = − 10 y
( ) ( )
2
∀ u = x y , ∈ ℜ ⇒ f x y ,
≤ 0
( ) ( ) ( )
2
y ∃ v = x y , ≠ 0,0 ∈ ℜ tal que f x y , = 0
( )
2
v = 4,0 ∈ ℜ
5. Formas cuadráticas
5.2 Clasificación de las formas cuadráticas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
( )
2 2 f x y , = 2 x − 8 y
Conclusión: f es una forma cuadrática (^) INDEFINIDA
( ) ( )
2
∃ u = x y , ∈ℜ f x y , > 0
tal que
( )
2
u = 5,1∈ℜ
( ) ( )
2
∃ u = x y , ∈ ℜ f x y , < 0
tal que
( )
2
u = 0, 2 ∈ ℜ
5. Formas cuadráticas
5.2 Clasificación de las formas cuadráticas
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
De entre los distintos métodos existentes sólo recogemos el
5. Formas cuadráticas
5.3 Determinación del signo de una forma cuadrática
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
de los MENORES PRINCIPALES
Dada una matriz cuadrada A, se denomina menor principal de
orden i al determinante de cualquier submatriz que resulta de
seleccionar i filas e i columnas que contengan elementos de la
diagonal principal de A. Lo representamos por
i
Mp
Ejemplo: Clasificar la siguiente forma cuadrática:
( )
2 2 2 f x y z , , = 5 x + 5 y + 2 z − 6 xz
5 0 3
0 5 0
3 0 2
A
−
−
La matriz asociada a la forma cuadrática es:
Conclusión: f^ es una forma cuadrática^ DEFINIDA POSITIVA
5. Formas cuadráticas
5.3 Determinación del signo de una forma cuadrática
Antes se ha visto que sus menores principales son:
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
{ } 1
Mp = 5,5, 2
{ } 2
Mp = 25,1,
3
Mp = 5
Todos son estrictamente positivos
Ejercicio: Clasificar la siguiente forma cuadrática:
( )
2 2 f x y , = − 6 x − 2 y + 6 xy
La matriz asociada a la forma cuadrática es:
Conclusión: (^) f es una forma cuadrática
5. Formas cuadráticas
5.3 Determinación del signo de una forma cuadrática
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Menores principales de orden 1:
Menores principales de orden 2:
Ejercicio: Clasificar la forma cuadrática que tiene la siguiente matriz
asociada: 2 3 0
3 2 0
0 0 1
A
−
Conclusión: (^) f es una forma cuadrática
5. Formas cuadráticas
5.3 Determinación del signo de una forma cuadrática
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
Menores principales de orden 1:
La expresión de la forma cuadrática es:
Ejemplo: En cambio, si queremos clasificar la forma cuadrática anterior
( )
2 2 2 f x y z , , = 2 x + 2 y − z + 6 xy
2 1
1 2
A
− −
= − −
Sustituyendo, obtendremos:
Su matriz asociada es:
Material elaborado por L. González-Vila, F.J. Ortí y J. Sáez
5. Formas cuadráticas
5.3 Determinación del signo de una forma cuadrática
restringida al subespacio (^) ( ) { }
3 S = x y z , , ∈ ℜ / z = 2 x + 2 y
( ) ( )
2 2 2 2 2 f x y , = 2 x + 2 y − 2 x + 2 y + 6 xy = − 2 x − 2 y − 2 xy
Como
resulta que la forma cuadrática restringida es definida negativa: para todos
los vectores que cumplen la restricción, la imagen es estrictamente negativa
(a pesar de que la forma cuadrática era indefinida)
{ } { } 1
Mp = −2 , − 2 = −2, − (^2) { } 2
Mp
