Tema 5.- Introducción a la probabilidad
Experimento aleatorio es cualquier experimento que pueda dar lugar a varios resultados, sin que sea posible anunciar con
certeza cuál de esos resultados va a ser observado. Propiedades que todo experimento aleatorio debe cumplir:
- Los resultados del experimento son conocidos previamente
- No se puede conocer de antemano el resultado del experimento
- Si se repite el experimento en iguales condiciones, se pueden obtener diferentes resultados cada vez que se lleve a cabo el
experimento.
El espacio muestral !") es el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio.
Un suceso es un subconjunto del espacio muestral. Aquellos sucesos que están formados por un solo elemento reciben el
nombre de sucesos elementales, y son aquellos resultados posibles del experimento aleatorio que no se pueden
descomponer en otros sucesos más sencillos. Por su parte, un suceso compuesto es aquel que está formado por la unión de
dos o más sucesos elementales. Sucesos:
- Suceso contenido en otro: se dice que el suceso A está contenido en el suceso B, y se representa por A ⊂ B , si siempre
que ocurre el suceso A, ocurre el suceso B.
- Igualdad de sucesos: diremos que el suceso A es igual al suceso B, si siempre que ocurra el suceso A ocurre el suceso B, y
si siempre que ocurra el suceso B ocurre el suceso A, es decir, si se verifica que A
⊂
B y que B⊂A. La igualdad de sucesos
se representa por A = B
- Unión de sucesos: se define la unión de los sucesos A y B como aquel suceso C que ocurre siempre que ocurra el suceso
A o siempre que ocurra el suceso B. Se representa por AU B = C .
- Intersección de sucesos: se define la intersección de los sucesos A y B como aquel suceso D que ocurre siempre que
ocurran A y B simultáneamente. Lo representaremos por A∩B = D .
- Suceso complementario a otro suceso: dado un suceso A, se define su complementario como aquel suceso que ocurre
siempre que no ocurra el suceso A. Se representa por A .
- Suceso seguro: es aquel suceso que ocurre siempre. Lo representaremos por W, puesto que coincide con el espacio
muestral, y se obtiene de la unión de todo suceso con su complementario: AU A = W .
- Suceso imposible: el suceso imposible es aquel suceso que no ocurre nunca. Lo representaremos por { }, y se obtiene de
la intersección de todo suceso con su complementario: A∩ A = { }.
- Sucesos incompatibles o excluyentes: dados dos sucesos A y B, se dice que son incompatibles si siempre que ocurra A, no
puede ocurrir B, es decir, el suceso intersección de dos sucesos incompatibles es siempre el suceso imposible: A∩ B = { }.
- Diferencia de sucesos: dados dos sucesos A y B, se define la diferencia entre ellos como aquel suceso E que ocurre
siempre que ocurra A y no ocurra B. Se representa por E = A - B , y se puede demostrar que E = A∩B .
Consideremos a continuación la clase formada por todos los sucesos asociados a un experimento aleatorio, a la que
llamaremos Q. Si en esta clase Q se pueden realizar las operaciones unión e intersección de sucesos, se verificarán
entonces las siguientes propiedades:
1ª) Propiedad conmutativa: AU B = B U A A ∩B = B ∩ A
2ª) Propiedad asociativa: AU !B U C) = !AU B)U C A∩ !B ∩ C) = !A∩ B)∩ C
3ª) Propiedad distributiva: AU !B ∩ C) = !AU B)∩ !AU C) A∩!B U C) = !A∩ B)U !A∩C)
4ª) Existe elemento neutro para la unión y elemento neutro para la intersección, puesto que se verifica lo
siguiente:AU{ }=A; A∩W=A
5ª) Existe el suceso complementario, de forma que dado el suceso A, existirá siempre otro suceso A , de forma que se
verifique lo siguiente: A∩ A = { } AU A = W
Pues bien, cuando una clase Q de sucesos, asociada a un experimento aleatorio, verifica las cinco propiedades
anteriores, se dice que Q tiene una estructura de álgebra de Boole de sucesos, y se representa de la siguiente forma: !Q;
U, ∩)
Finalmente, como consecuencia de las cinco propiedades anteriormente enunciadas, se van a verificar también las
siguientes propiedades adicionales:
- Propiedad idempotente: AU A = A ; A∩A = A
- Propiedad simplificativa: AU !A∩ B) = A ; A∩ !AU B) = A
- Propiedad de los elementos neutros: AUW = W ; A∩{ }= { }
- Leyes de Morgan: contrario de !AU B) = A I B contrario de !A∩ B) = A U B
