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MATEM ´ATICAS
Primer Curso de A.D.E.
Tema 2. MATRICES Y DETERMINANTES
2.1 Definici ´on y tipos de matrices. Operaciones
Definici ´on Dado un conjunto X, se llama matriz de orden m × n con elementos en X, a un conjunto de m × n elementos de X,
dispuestos en m filas y n columnas. Se llama elemento de lugar (i, j) o ij de A al elemento de X que est ´a situado en la intersecci ´on
de la fila i- ´esima y la columna j- ´esima; denotando por a ij
a este elemento, la matriz se representa por
A =
a 11
a 12
· · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
. . .
. . .
. . .
. . .
a m 1
a m 2
· · · a mn
= (a ij
El conjunto formado por todas las matrices de orden m × n con elementos en X se denota por M m×n
(X). A lo largo de la lecci ´on
se considera X = IR y escribiremos Mm×n(IR) o simplemente Mm×n.
Definici ´on Dos matrices del mismo orden A, B ∈ M m×n
(IR) con A = (a ij
) y B = (b ij
) son iguales si verifican que a ij
bij , i = 1,... , m, j = 1,... , n.
Definiciones
- Una matriz A de orden m × n se dice que es cuadrada si m = n; si m = n se dice que es rectangular (nos referiremos a las
matrices cuadradas de orden n × n como matrices de orden n y escribiremos A ∈ M n
(IR)). Cuando m = 1 se dice que A es una
matriz fila , y si n = 1 que A es una matriz columna.
- Se denomina matriz nula de orden m × n y se denota por Om×n u O a aquella cuyos elementos son todos iguales a 0 ∈ IR.
- Dada una matriz A ∈ Mm×n(IR), una submatriz de A es una matriz obtenida a partir de A eliminando una o varias filas y/o
una o varias columnas.
- Se denomina diagonal principal de una matriz cuadrada A = (a ij
) de orden n al conjunto de los elementos que tienen iguales
sus sub´indices de ordenaci ´on, es decir, a 11
, a 22
,... , a nn
.
- Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si todos los elementos situados por debajo de su diagonal principal son
nulos. Cuando todos los elementos situados por encima de su diagonal principal son nulos se denomina triangular inferior.
Una matriz cuadrada es una matriz diagonal si los elementos no diagonales son nulos; si adem ´as los elementos diagonales son
iguales entre s´i se denomina matriz escalar.
Se llama matriz identidad de orden n y se denota por I n
o I a la matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales
a 1 ∈ IR.
Suma de Matrices
Definici ´on Dadas dos matrices A = (aij ) y B = (bij ) del mismo orden m × n, se llama suma de A y B a la matriz A + B =
(a ij
) de orden m × n.
Propiedades
La suma de matrices verifica las propiedades asociativa y conmutativa. La matriz nula es el elemento neutro para la suma, y dada
A = (a ij
), la matriz −A = (−a ij
) es su elemento opuesto.
Producto de un Escalar por una Matriz
Definici ´on Dadas una matriz A = (a ij
) de orden m × n y un escalar λ ∈ IR, se llama producto del escalar λ por A a la matriz
λA = (λaij ) de orden m × n.
Propiedades
Para cualesquiera que sean las matrices A y B del mismo orden m × n y para cualesquiera escalares λ, μ ∈ IR, se verifica
λ(A + B) = λA + λB, (λ + μ)A = λA + μA, λ(μA) = (λμ)A, 1 A = A.
Producto de Matrices
El producto de matrices s ´olo est ´a definido si el n ´umero de columnas de la primera matriz es igual al n ´umero de filas de la segunda.
Definici ´on Dadas las matrices A = (a ij
) de orden m × n y B = (b ij
) de orden n × p, se llama producto de A por B a la matriz
A · B o AB de orden m × p cuyo elemento de lugar ij es
a i 1
b 1 j
b 2 j
b nj
n ∑
k=
a ik
b kj
Propiedades
- Para cualesquiera A ∈ Mm×n(IR), B ∈ Mn×p(IR) y C ∈ Mp×q(IR) se verifica (AB)C = A(BC).
- Siempre que los ´ordenes de las matrices permitan realizar las operaciones se verifica
A(B + C) = AB + AC y (B + C)D = BD + CD.
- Para cualesquiera A ∈ M m×n
(IR), B ∈ M
n×p
(IR) y λ ∈ IR se verifica λ(AB) = (λA)B = A(λB).
- El producto de matrices no es en general conmutativo; por ejemplo si A =
(
)
y B =
(
)
se tiene AB = BA.
- Puede ser AB = O sin ser A = O o B = O.
- Dada A ∈ M m×n
(IR), se verifica A · I n
= I
m
· A = A.
Por tanto, en el conjunto M n
(IR) la matriz identidad es el elemento neutro para el producto.
Definici ´on Se dice que una matriz cuadrada es regular o inversible si posee elemento inverso para el producto. A su elemento inverso
se le denomina matriz inversa de la de partida. La matriz inversa de la matriz A se denota por A
− 1 .
En el conjunto de las matrices cuadradas, no toda matriz no nula tiene un elemento inverso para el producto.
As´i pues, la inversa de una matriz A ∈ Mn(IR) es una matriz A
− 1 ∈ Mn(IR) tal que AA
− 1 = A
− 1 A = I.
Propiedades de la matriz inversa
- La inversa de una matriz cuadrada, si existe es ´unica.
- Si A es una matriz cuadrada inversible, (A
− 1 )
− 1 = A.
- Si A y B son matrices cuadradas inversibles, (A · B)
− 1 = B
− 1 · A
− 1 .
Propiedades
t ), para cada matriz cuadrada A. Como consecuencia, todas las propiedades demostradas para filas son
ciertas para columnas y rec´procamente.
- Si todos los elementos de una fila, o columna, est ´an multiplicados por un escalar, ´este puede sacarse multiplicando al determi-
nante. Por tanto, se verifica
|α · A| = α
n · |A|, si A ∈ M n×n
(IR).
- Si una matriz tiene una fila, o columna, cuyos elementos son todos cero, entonces su determinante es cero. Esta propiedad es
consecuencia inmediata de la anterior.
- Si se intercambian dos filas, o columnas, de una matriz, su determinante cambia de signo.
- Como consecuencia de la propiedad anterior, si una matriz tiene dos filas iguales, su determinante vale cero.
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
a 11 a 12 · · · a 1 n
. .
.
. .
.
. . .
. .
.
bi 1 +ci 1 bi 2 +ci 2 · · · bin +cin
. . .
. . .
. . .
. . .
an 1 an 2 · · · ann
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
=
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
a 11 a 12 · · · a 1 n
. .
.
. .
.
. . .
. .
.
bi 1 bi 2 · · · bin
. . .
. . .
. . .
. . .
an 1 an 2 · · · ann
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
a 11 a 12 · · · a 1 n
. .
.
. .
.
. . .
. .
.
ci 1 ci 2 · · · cin
. . .
. . .
. . .
. . .
an 1 an 2 · · · ann
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
.
- Dada una matriz A = (a ij
) de orden m × n, se llama combinaci ´on lineal de las filas i 1
,... , i s
a la fila
λ 1
a i 11
a i 21
a is 1
... λ 1
a i 1 n
a i 2 n
a isn
con λ 1
, λ 2
,... , λ s
∈ IR.
Si a una fila, o columna, de una matriz, se le suma una combinaci ´on lineal de las otras, el valor de su determinante no var´a.
- Si en una matriz, una fila, o columna, es combinaci ´on lineal de las otras, su determinante es cero.
- El determinante del producto de matrices, es el producto de los determinantes (|AB| = |A| · |B|).
- No es cierto en general que el determinante de la suma sea la suma de los determinantes.
2.3 Desarrollo por los elementos de una fila o columna
Definici ´on Dada una matriz cuadrada A ∈ M n×n
(IR), el menor complementario del elemento a ij
es el determinante de la matriz
de orden n − 1 , que resulta de eliminar en la matriz A, la fila i- ´esima y la columna j- ´esima. Se denota por Mij.
Definici ´on El adjunto del elemento aij es el producto del menor complementario de aij por (−1)
i+j
. Se denota Aij.
Teorema El valor del determinante de una matriz cuadrada A coincide con la suma de los productos de los elementos de una fila, o
columna, por sus respectivos adjuntos.
fila i : |A| =
n ∑
k=
a ik
A
ik
columna j : |A| =
n ∑
k=
a kj
A
kj
Esta forma de escritura se conoce como desarrollo del determinante por los elementos de esa fila, o columna.
Como consecuencia inmediata de esta propiedad, si A es una matriz triangular, su determinante es el producto de los elementos
de la diagonal principal.
2.4 Inversa y rango
Inversa de una Matriz
Definici ´on Se llama matriz adjunta de una matriz cuadrada A a la matriz formada por los adjuntos de los elementos de A. Se denota
por Adj(A).
Teorema Una matriz cuadrada A de orden n es inversible si y s ´olo si |A| = 0. Adem ´as, si es inversible, su inversa es A
− 1
1
|A|
Adj(A)
t .
Proposici ´on Si A y B son matrices cuadradas tales que AB = I, entonces son inversibles y se verifica A
− 1 = B y B
− 1 = A.
Rango de una Matriz
Definici ´on Dada una matriz A de orden m × n, se llama menor de orden p de A al determinante de una submatriz cuadrada de
orden p de A ( 1 ≤ p ≤ min{n, m}).
Definici ´on El rango de una matriz A de orden m × n es el orden del mayor menor no nulo de A. Se denota rg(A).
Propiedades Como consecuencia de las propiedades de los determinantes, se verifican las siguientes para el rango:
- El rango de una matriz coincide con el de su traspuesta.
- El rango de una matriz no var´a si a una fila se le suma una combinaci ´on lineal del resto.
- El rango de una matriz no var´a si se suprime una fila que es combinaci ´on lineal de las otras.
- El rango de una matriz no var´a si una fila se multiplica por un escalar no nulo.
- El rango de una matriz no var´a si se permutan dos filas entre s´.
2.5 Operaciones y matrices elementales
Definici ´on Se llaman operaciones elementales en una matriz, a las siguientes:
- Permutar dos filas, o columnas.
- Multiplicar por un escalar α ∈ IR no nulo, los elementos de una fila, o columna.
- Sumar a una fila, o columna, otra multiplicada por un escalar.
Cada operaci ´on elemental corresponde al producto de la matriz de partida por una matriz inversible. Estas matrices inversibles
reciben el nombre de matrices elementales.
C ´alculo del rango de una matriz mediante operaciones elementales
Teniendo en cuenta que las operaciones elementales no modifican el rango de una matriz, se aplican las operaciones elementales
necesarias para escribir la matriz en forma triangular o escalonada. El rango de una matriz de esta forma se calcula de forma inmediata.
Matrices elementales
a la matriz que se obtiene al mover los unos que ocupan los lugares ii y jj en la matriz identidad, a los
lugares ij y ji, reemplaz ´andolos por ceros. Esta matriz es inversible y coincide con su inversa.
Al hacer Pij · A, se cambian las filas i y j de A. Si se realiza el producto A · Pij , se permutan las columnas i y j.
Inversa particionada Sea A una matriz de orden n particionada en la forma
A =
A
11
0 A
22
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0 · · · Arr
donde Aii es cuadrada con 1 ≤ i ≤ r. Se tiene que A es regular si y s ´olo si Aii es regular y adem ´as
A
− 1
=
A
− 1
11
0 A
− 1
22
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0 · · · A
− 1
rr
2.7 Sistemas de ecuaciones lineales
Definici ´on Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc ´ognitas es un conjunto de ecuaciones de la forma
a 11
x 1
x 2
x n
= b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2 nxn = b 2
a m 1
x 1
x 2
x n
= b m
[∗]
siendo los coeficientes a ij
y los t´erminos independientes b i
, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, n ´umeros reales conocidos y x i
, 1 ≤ i ≤ n,
datos desconocidos o inc ´ognitas.
El sistema anterior se puede expresar en forma matricial como
A · x¯ =
b,
siendo A = (aij ), x¯ = (x 1 x 2... xn)
t y
b = (b 1 b 2... bm)
t
. A es la matriz de coeficientes del sistema y
(
A |
b
)
es la matriz
ampliada.
Dado el sistema anterior, se dice que la n-upla (s 1
, s 2
,... , s n
) ∈ IR
n es una soluci ´on del sistema si al sustituir x i
por s i
se
verifican las m ecuaciones, es decir, si A · ¯s =
b con ¯s = (s 1
s 2
... s n
t
Clasificaci ´on de los sistemas
En funci ´on del n ´umero de soluciones, los sistemas pueden ser:
- Sistema incompatible cuando no tiene soluci ´on.
- Sistema compatible si admite al menos una soluci ´on. Estos a su vez pueden ser:
- Determinados si la soluci ´on es ´unica.
- Indeterminados cuando existen infinitas soluciones.
Atendiendo a los t ´erminos independientes, los sistemas se denominan homog ´eneos cuando los t ´erminos independientes son todos
nulos y no homog ´eneos en caso contrario.
Nota Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una, infinitas o ninguna soluci ´on. Resolver un sistema es encontrar todas sus
soluciones, discutirlo es analizar si posee una o infinitas soluciones, o si no posee ninguna.
Definici ´on Dos sistemas con el mismo n ´umero de inc ´ognitas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Nota Multiplicar una ecuaci ´on por un escalar no nulo, a˜nadir o suprimir una ecuaci ´on que sea combinaci ´on lineal de las dem ´as y
sumar a una ecuaci ´on el producto de otra por un escalar, son transformaciones que aplicadas a un sistema de ecuaciones lo convierten
en otro equivalente. De otra forma, las operaciones elementales en la matriz ampliada del sistema lo transforman en otro equivalente.
M ´etodo de Gauss o eliminaci ´on gaussiana
El m´etodo de Gauss o eliminaci ´on gaussiana para la resoluci ´on de sistemas de ecuaciones consiste en la transformaci ´on del
sistema de partida en uno equivalente cuya matriz de coeficientes sea escalonada ya que para este tipo de sistemas es sencillo
encontrar su soluci ´on. Teniendo en cuenta la nota anterior, esto se puede realizar transformando la matriz ampliada del sistema en
una matriz escalonada mediante operaciones elementales aplicadas a las filas.
Teorema de Rouch ´e-Frobenius
Dado un sistema lineal de m ecuaciones con n inc ´ognitas Ax¯ =
b, se verifica que
- El sistema es compatible si y s ´olo si rg(A)=rg(A|
b); siendo adem ´as determinado si rg(A)=rg(A|
b) = n, e indeterminado
cuando rg(A)=rg(A|
b) < n.
- El sistema es incompatible si y s ´olo si rg(A) = rg(A|
b).
