tema 1 calculo Conjunts numerics, Apuntes de Cálculo para Ingenierios

¡Descarga tema 1 calculo Conjunts numerics y más Apuntes en PDF de Cálculo para Ingenierios solo en Docsity!

C`ALCUL

Apunts de Teoria

EEBE

C`alcul

1 Conjunts num`erics

El conjunt dels nombres reals

Existeixen diferents conjunts de nombres

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Si parlem col·loquialment, el conjunt dels nombres naturals es defineix com el conjunt dels

nombres que fem servir per comptar

N =

Si ens plantegem resoldre l’equaci´o

x + 3 = 0,

trobem que la soluci´o x = − 3 no pertany als naturals, aix´ı que hem d’ampliar el conjunt

de nombres. Per aquest motiu, el conjunt de nombres enters Z que inclouen els oposats dels

naturals respecte a l’operaci´o suma

Z =

Ens plantegem ara resoldre l’equaci´o

3 x − 1 = 0

trobem que la soluci´o x =

no pertany als naturals, aix´ı que de nou hem d’ampliar el conjunt

de nombres. Es defineix aix´ı el conjunt de nombres racionals Q,

Q =

m

n

: m, n ∈ Z y n 6 = 0

Plantegem ara l’equaci´o

x

2 − 2 = 0,

trobem que la soluci´o x =

2 no pertany als racionals, aix´ı que necessitem estendre el conjunt

de nombres racionals, que fem construint anal´ıticament el conjunt de nombres reals, R.

El conjunt dels nombres reals es defineix com un conjunt de nombres que compleixen una

s`erie d’axiomes (veritats que no necessiten ser provades i que la seva consideraci´o no contradiu

la nostra realitat). El m´es important per al desenvolupament del nostre curs, ´es l’axioma del

suprem (an`alogament l’axioma de l’´ınfim). A m´es, ´es l’axioma que el distingeix de la resta de

conjunts num`erics.

max(A) = 3 i min(A) = 0.

Exemple: Considerem A = [− 2 , 1) ∪ (3, 7). Trobar el conjunto de cotes superiors i inferiors, aix´ı

com el suprem, ´ınfimo, m`axim i m´ınim, cas d’existir.

El conjunt de cotes superiors de A ´es

C

S

x ∈ R : x ≥ 7

Mentre que el conjunt de cots inferiors ´es

C

I

x ∈ R : x ≤ − 2

En conclusi´o, el conjunt A est`a acotado superior i inferiorment i ´es no buit. Per tant, aplicant

l’axioma del suprem i de l’´ınfim, existeix

sup(A) = 7 i inf(A) = − 2.

D’altra banda, at`es que 7 no pertany al conjunt A resulta que

6 ∃ max(A).

No obstant aixo, ates que − 2 pertany a A, existeix m´ınim i

min(A) = − 2.

Intervals

Desigualtat Conjunt Representaci´o gr`afica

a ≤ x ≤ b [a, b]

a b

a < x < b (a, b)

a b

a ≤ x < b [a, b)

a b

a < x ≤ b (a, b]

a b

x ≥ a [a, +∞)

a

x > a (a, +∞)

a

x ≤ b (−∞, b]

a

x < b (−∞, b)

a

|x| ≤ a, amb a ≥ 0 [−a, +a]

−a +a

|x| ≥ a, amb a ≥ 0 (−∞, −a] ∪ [+a, +∞)

−a +a

Valor absolut

El valor absolut ´es una aplicaci´o de R en R

definida de la forma seg¨uent

| · | : R −→ R

x −→ |x| =

x, −x < 0

x, x ≥ 0.

La seva gr`afica ´es

Figura 1.1: Gr`afica de la funci´o valor absolut.

2 Nombres complexos

2.1 Introducci´o

Introduim el conjunt de nombres complexos com aquell on totes les equacions de segon grau

tenen soluci´o. Sabem que no totes tenen soluci´o en R. Per exemple,

x

2

• 1 = 0 =⇒ x

2 = −1 =⇒ x /∈ R.

Per a que aquesta equaci´o tingui soluci´o seria necessari definir un nombre imaginari tal que el

valor del seu quadrat sigui -1.

Definicio.- La unitat imagin`aria es defineix i =

− 1 i compleix i

2 = −1.

Amb la unitat imagin`aria les solucions de x

2

• 1 = 0 s´on x = ±i.

Pot`encies de i: i

0 = 1, i

1 = i, i

2 = − 1 , i

3 = −i, i

4 = 1,...

En general,

∀k ∈ N,

i

4 k = 1

i

4 k+ = i

i

4 k+ = − 1

i

4 k+ = −i

. Resumint, si m = 4k + r, i

m = i

r .

Definicio.- Definim el conjunt dels nombres complexos i notem per C, com el conjunt de

nombres on totes les equacions de segon grau tenen soluci´o.

C = {totes les solucions de l’equaci´o ax

2

• bx + c = 0, a, b, c ∈ R}.

Efectivament, les solucions d’una equaci´o de segon grau ax

2

• bx + c = 0 (a 6 = 0) s´on

x =

−b ±

b

2 − 4 ac

2 a

• Si b

2 − 4 ac ≥ 0 =⇒ x ∈ R ⊂ C.

• Si b

2 − 4 ac < 0 =⇒

b

2 − 4 ac =

4 ac − b

2

4 ac − b

2 i =⇒

x =

−b

2 a

4 ac − b

2

2 a

i ∈ C, x /∈ R.

Definicio.- Anomenem nombre complex de part real a i part imagin`aria b, a una expresi´o

de la forma

z = a + bi, a, b ∈ R, i

2 = −1.

Aquesta forma d’expressi´o, z = a + bi, ´es la que anomenem forma bin`omica. Notem per

Re(z) la part real i Im(z) la part imagin`aria de z, de manera que

z = Re(z) + Im(z) i.

Representaci´o gr`afica

Podem establir una relaci´o bijectiva entre els nombres complexos i els punts del pla.

z = a + bi ⇐⇒ (a, b) ∈ R

2

Figura 2.1: Representaci´o de z en el pla complex.

Al pla el denominarem pla complex, on a =Re(z) es representa en la abscissa i b =Im(z)

en l’ordenada. D’aquesta manera, en el pla complex els nombres reals queden representats en

l’eix d’abscisses, que denominarem eix real , i els nombres complexos que s´on imaginaris purs

queden representats en l’eix d’ordenades, que denominarem eix imaginari.

2.2 Expressions d’un nombre complex

Fins ara hem vist que un nombre complex z pot expressar-se mitjanc,ant una coordenada en

el pla, (a, b), o b´e amb la que hem anomenat forma bin´omica z = a + bi. A continuaci´o,

formalitzarem aquesta ´ultima expressi´o i introduirem altres noves.

Forma bin`omica

Recordem que un nombre complex en forma bin`omica t´e l’expressi´o z = a+bi ∈ C amb a, b ∈ R.

Propietats

I Dos nombres complexos en forma bin`omica s´on iguals si i nom´es si tenen la mateixa part

real i la mateixa part imagin`aria.

z 1 = z 2

Re(z 1 ) = Re(z 2

Im(z 1 ) = Im(z 2 )

Per tant, si z ∈ C, r = |z|, θ = arg(z), aleshores

podem expressar el nombre complex en forma polar: z = r θ

Si, adem´es, tenim en compte que la part real i la part imagin`aria del nombre complex z poden

obtenir-se amb el seu m`odul r = |z| i el seu argument θ de la forma

a = r cos θ i b = r sin θ,

respectivament, obtenim una tercera forma d’expressar z,

la forma trigonom`etrica: z = r cos θ +i r sin θ

que no ´es m´es que una nova manera d’escriure la forma bin`omica.

Observaci´o: A diferencia de la forma binomica, si dos nombres complexos en forma polar

o trigonom`etrica s´on iguals no queden un´ıvocament determinats ja que deuen tenir el mateix

modul pero els arguments han de coincidir, llevat un m´ultiple enter de 2π (nombre enter de

voltes).

Forma exponencial

La f´ormula d’Euler estableix

e

iθ = cos(θ) + i sin(θ), θ ∈ R.

Per a la justificaci´o s’usa el polinomi de Taylor que analitzarem en el tema de derivaci´o. Aqu´ı

mostrem nom´es la idea:

e

x = 1 + x +

x

2

x

3

x

4

cos x = 1 −

x

2

x

4

x

6

sin x = x −

x

3

x

5

x

7

Remplac,ant x por iθ s’obt´e

e

iθ = cos(θ) + i sin(θ).

Utilitzant la f´ormula d’Euler podem escriure

z = |z| θ = |z| cos θ + i|z| sin θ = |z|(cos θ + i sin θ) = |z|e

iθ .

De manera que la forma exponencial de z, amb r = |z| i θ = arg(z) ´es

z = re

iθ .

En definitiva, hem presentat quatre formes d’expressar un nombre complex z, bin`omica, polar,

trigonometrica i exponencial. No obstant aixo, la veritable difer`encia entre elles ´es si es cons-

trueixen mitjanc,ant la part real i la part imaginaria de z (que seria el cas de la forma binomica),

o b´e mitjanc,ant el seu su modul i argument (en els casos de les formes trigonometrica, polar i

exponencial). O, des d’un altre punt de vista, si en l’expressi´o podem distingir les parts real i

imaginaria de z (formes binomica i trigonometrica), o b´e el seu modul i argument (formes polar

i exponencial).

2.3 De representaci´o bin`omica a polar/exponencial

Sigui z ∈ C, z 6 = 0, z = a + bi. Volem obtenir |z| i arg(z).

A partir de a i b,

r = |z| =

a

2

• b

2 , r ∈ R i r ≥ 0.

Per a determinar arg(z), tenim en compte que es compleixen les relacions

a = r cos(θ)

b = r sin(θ)

=⇒ tan(θ) =

b

a

=⇒ θ = arctan

b

a

Recordem, a m´es, les raons trigonom`etriques dels angles principals del primer quadrant:

π

6

π

4

π

3

π

2

sin 0

1

2

√ 2

2

√ 3

2

cos 1

√

3

2

√

2

2

1

2

tan 0

1 √ 3

p/

p/

p/

p/

0

Per tant, si a = 0 o b = 0, z es troba sobre l’eix imaginari o real, respectivament.

Es a dir,

a = 0 =⇒

θ = π/ 2 si b > 0 ,

θ = −π/ 2 si b < 0 ,

b = 0 =⇒

θ = 0 si a > 0 ,

θ = π si a < 0.

Si a 6 = 0 i b 6 = 0, aleshores els signes de a i b determinen el quadrant en el qual es troba

z. En aquest cas, una manera d’obtenir l’argument θ ´es coneixent la seva relaci´o amb l’angle α

en el primer quadrant tal que

tan = |b|/|a|.

Exemples

1. Donat z = −1 +

3 i en forma bin`omica, expressar-ho en forma polar/exponencial.

|z| =

2

• (

2 = 2

tan θ =

√ 3

− 1

a = − 1 < 0 , b =

3 > 0 =⇒ θ ∈ Q 2

tan α =

|

√

3 |

|− 1 |

=⇒ α = π/ 3 ,

p - p/3= p/

2p/

z= -1+ 3 i

=⇒ θ = π −

π

3

=⇒ z = 2 2 π 3

≡ 2 e

i

2 π

(^3).

1. Donat z = − 1 −

3 i en forma bin`omica, expressar-ho en forma polar/exponencial.

|z| =

2

• (−

2 = 2

tan θ =

−

√

3

− 1

a = − 1 < 0 , b = −

3 < 0 =⇒ θ ∈ Q 3

tan α =

|−

√

3 |

|− 1 |

=⇒ α = π/ 3 ,

p + p/

p/

-2p/

z= -1- 3 i

=⇒ θ = π +

π

3

=⇒ z = 2^4 π 3

≡ 2 e

i

4 π 3 .

Si volem expressar-ho amb l’argument principal (−π < θ ≤ π), z = 2^4 π 3

− 2 π

−

2 π

3

≡ 2 e

−i

2 π 3 .

1. Donat z =

3 − i en forma bin`omica, expressar-ho en forma polar/exponencial.

|z| =

2

• (−1)

2 = 2

tan θ =

− 1 √

3

a =

3 > 0 , b = − 1 < 0 =⇒ θ ∈ Q 4

tan α =

|−

√

3 |

|− 1 |

=⇒ α = π/ 6 ,

-p/

p/ 6

6

11p/ 6 z= 3-i

=⇒ θ = 2π −

π

6

=⇒ z = 2^11 π 6

≡ 2 e

i

11 π 6 .

Si volem expressar-ho amb l’argument principal (−π < θ ≤ π), z = 2 11 π 6

− 2 π

−

π

6

≡ 2 e

−i

π

(^6).

2.4 De representaci´o polar/exponencial a

binomica/trigonometrica

Sigui z ∈ C, z = r θ ≡ r e

iθ

. Per a expressar z en forma bin`omica z = a + bi nom´es cal

observar de nou que es compleixen les relacions

a = r cos(θ)

b = r sin(θ)

=⇒ z = r cos(θ) + i r sin(θ).

Exemples

1. Donat z = 2 2 π 3

en forma polar, expressar-ho en formes trigonometrica i binomica.

p - p/3= p/

2p/

z = 2 2 π 3

= 2 cos(2π/3) + 2i sin(2π/3) =

= −2 cos(π/3) + 2i sin(π/3)

3 i.

Sean z 1 = a 1

• b 1 i ≡ |z 1 |e

iθ 1 ≡ |z 1

θ 1 y z 2 = a 2

• b 2 i ≡ |z 2 |e

iθ 2 ≡ |z 2

θ 2

. Podem realitzar les

operacions seg¨uents:

• Suma

Unicament en forma bin`omica,

z 1

• z 2 = (a 1
• a 2 ) + (b 1
• b 2 )i.

L’element invers de z = a + bi, respecte de la suma, s’anomena oposat de z i ´es −z.

z + z

′ = 0 =⇒ z

′ = −a − bi = −z.

L’oposat de z es pot expressar en les diferents formes:

En forma exponencial, si z = |z|e

θ ,

−z = −|z|e

θ = e

π |z|e

θ = |z|e

π+θ o b´e −z = |z|e

θ−π (principal).

En forma polar, si z = |z| θ

−z = −|z| θ

π |z| θ = |z| π+θ o b´e −z = |z| θ−π (principal).

• Producte

En forma bin`omica,

z 1 · z 2 = (a 1

• b 1 i)(a 2
• b 2 i) = a 1 a 2
• a 1 b 2 i + b 1 ia 2
• b 1 b 2 i

2

= (a 1 a 2 − b 1 b 2 ) + (a 1 b 2

• a 2 b 1 )i

En forma exponencial,

z 1 · z 2 = |z 1 ||z 2 |e

(θ 1 +θ 2 )i .

En forma polar,

z 1 · z 2 = |z 1

θ 1 |z 2

θ 2 = |z 1 ||z 2

θ 1 +θ 2

• Conjugat

En forma bin`omica,

z = a − bi, essent z = a + bi.

En forma exponencial,

z = |z|e

−iθ , essent z = |z|e

iθ .

En forma polar,

z = |z| −θ , essent z = |z| θ

En el pla complex z i z s´on sim`etrics respecte a l’eix OX, per tant, z = z.

Propietats

I z + z = 2Re(z),

I z − z = 2Im(z),

I z · z = a

2

• b

2 = |z|

2 ,

z · z = (a + bi)(a − bi) = a

2 − (bi)

2 = a

2 − b

2 i

2 = a

2

• b

2 = |z|

2 .

• Quocient

Considerem z = a + bi 6 = 0. En forma bin`omica, multipliquem i dividim pel conjugat del

denominador,

z

z

z

z

a − bi

a

2

• b

2

a

a

2

• b

2

b

a

2

• b

2

i.

Aix´ı,

z 1

z 2

= z 1

z 2

= z 1 ·

z 2

z 2 z 2

|z 2

2

z 1 z 2.

En forma exponencial,

z 1

z 2

|z 1

|z 2

e

(θ 1 −θ 2 )i .

En forma polar,

z 1

z 2

|z 1

θ 1

|z 2

θ 2

|z 1

|z 2

θ 1 −θ 2

• Potenciaci´o

En forma exponencial,

z = |z|e

iθ =⇒ z

k = (|z|e

iθ )

k = |z|

k e

ikθ .

En forma polar,

(|z| θ

k = |z|

k

kθ

En la figura seg¨uent s’il·lustra la propietat amb la representaci´o de les arrels de la unitat

per a n = 2, 3 , 4, ´es a dir

3

1 i

4

e

0 i = 1 e

π i = − 1

e

2 π 3 i

e

4 π 3

i

e

0 i = 1

Figura 2.4: Arrels de z = 1.

e

π 2

i = i

e

0 i = 1 e

π i = − 1

e

3 π 2

i = −i

Exemples

1. Donat z = − 1 −

3 i, buscar les seves arrels quadrades i expressar-les en forma bin`omica.

Primer expressem z en forma polar o exponencial, z = 2e

−

2 π 3

i .

-p/

2p/

+p

3 i =

2 e

−

2 π

3

i

2 e

(

− 2 π 3 · 2

2 kπ 2

)i , k = 0, 1 } =

2 e

−π

3

i ,

2 e

2 π

3

i } = {

i, −

i}.

1. Donat z =

3

27, buscar les seves arrels c´ubiques i expressar-les en forma bin`omica.

0

2p/

4p/

+2p/

3

3

27 e

0 i

3

27 e

(

0 3

2 kπ 3

)i , k = 0, 1 , 2 } =

= { 3 e

0 i , 3 e

2 π

3

i , 3 e

4 π

3

i }

i,

i}.