¡Descarga Costos y probabilidades: Análisis de máquinas y juegos aleatorios - Prof. Asensi y más Apuntes en PDF de Administración de Empresas solo en Docsity!
INTRODUCCI”N A LA ESTADÕSTICA
Curso 2016/ Problemas del Tema 4
1.- El coste (en miles de euros) de mantener una m·quina funcionando durante un dÌa es una variable aleatoria (v.a.) discreta X con la siguiente funciÛn de pro- babilidad: x 0 : 5 1 1 : 5 2 f (x) 0 : 70 0 : 15 0 : 10 a) Calcula el valor de : b) Un directivo aÖrma que en un dÌa la m·quina no es rentable si su coste es superior a 500 euros. øCu·l es la probabilidad de que en un dÌa determinado la m·quina no sea rentable? c) Llamemos F (x) a la funciÛn de distribuciÛn de X: c1) Determina F (x) y represÈntala. c2) øEs cierto que P (X < 1) = F (1)? JustiÖca tu respuesta. c3) øEs cierto que P (X > 1) = 1 F (1)? JustiÖca tu respuesta.
2.- En un juego de azar, se extrae aleatoriamente un n˙mero de tres cifras (entre 000 y 999, ambos inclusive). Para participar en el juego, debemos comprar por p euros una papeleta que contiene uno de estos n˙meros de tres cifras. Si nuestro n˙mero coincide con el extraÌdo nos dan 500 euros; si nuestro n˙mero no coincide con el extraÌdo pero las dos ˙ltimas cifras de nuestro n˙mero sÌ son iguales a las dos ˙ltimas cifras del n˙mero extraÌdo, nos dan 50 euros; si las dos ˙ltimas cifras de nuestro n˙mero no son iguales a las dos ˙ltimas cifras del n˙mero extraÌdo pero la ˙ltima cifra de nuestro n˙mero sÌ es igual a la ˙ltima cifra del n˙mero extraÌdo, nos dan los p euros que costÛ la papeleta; y si la ˙ltima cifra de nuestro n˙mero no es igual a la ˙ltima cifra del n˙mero extraÌdo, no recibimos nada. øCu·l debe ser el valor de p para que la esperanza de la ganancia neta que se obtiene por participar en este juego sea 0?
3.- Un jugador participa en el siguiente juego: se lanza una moneda tres veces; si sale cara las tres veces el jugador gana 12 euros, si sale cara dos veces y cruz una vez el jugador gana 1 euro, y si sale cara menos de dos veces el jugador no gana nada. a) Calcula la esperanza de la ganancia que se obtiene por participar en este juego. b) Al jugador se le ofrece la posibilidad de participar en un juego alternativo que funciona del modo siguiente: se lanza un dado dos veces; si sale seis en los dos lanzamientos el jugador gana 12 euros, si sale seis en uno de los lanzamientos pero no en el otro el jugador gana 6 euros, y si no sale seis en ninguno de los dos lanzamientos el jugador no gana nada. Analiza si la esperanza de la ganancia que se obtiene por participar en este juego alternativo es superior a la esperanza calculada en el apartado anterior.
4.- Una librerÌa compra cada semana ejemplares de una revista. El n˙mero de ejemplares de la revista que se demandan en una semana es una variable aleatoria discreta con la siguiente funciÛn de probabilidad:
x 0 1 2 3 f (x) 0 : 10 0 : 35 0 : 30 0 : 25
a) Calcula la esperanza del n˙mero de ejemplares de la revista que se deman- dan en una semana. b) Cada semana la librerÌa debe decidir cu·ntos ejemplares de la revista com- pra. La librerÌa paga 2 euros por cada ejemplar que compra y despuÈs lo pone a la venta por 6 euros; cuando un ejemplar no es vendido no puede devolverse, por lo que el dinero gastado en Èl supone una pÈrdida para la librerÌa. b1) Esta semana la librerÌa ha decidido comprar 2 ejemplares de la revista. øCu·l es la esperanza de la variable aleatoria ìbeneÖcio obtenido por las ventas de la revista esta semanaî? b2) Si esta semana la librerÌa hubiera decidido comprar 3 ejemplares de la revista, øhabrÌa sido mayor la esperanza del beneÖcio obtenido por ventas de esta revista?
5.- Los posibles resultados de la v.a. discreta X son 1, 2, 3 y 4, y su funciÛn de probabilidad es: x 1 2 3 4 f (x) 0 : 1 0 : 2 p 1 p 2 a) Determina p 1 y p 2 sabiendo que la media de X es 3. b) Calcula E(2 + 3X). c) Calcula E(X^2 ). d) Calcula E( (^) X^1 ). e) Si no conociÈramos la funciÛn de probabilidad de X pero sÌ el valor de E(X); øhabrÌa sido posible calcular E(2 + 3X)?; øhabrÌa sido posible calcular E(X^2 )?; øhabrÌa sido posible calcular E( (^) X^1 )?
6.- En un concurso de televisiÛn se formulan dos preguntas: la pregunta A (f·cil) y la pregunta B (difÌcil). El premio por acertar la pregunta A es de 30 euros, y el premio por acertar la pregunta B es de 280 euros. El concurso funciona del siguiente modo: el concursante comienza respondiendo a la pregunta A; si el concursante falla queda eliminado y no se lleva nada; si el concursante acierta, entonces se le formula la pregunta B y, si vuelve a acertar, se lleva los premios correspondientes a las dos preguntas, mientras que si falla se lleva ˙nicamente el premio correspondiente a la primera pregunta. MarÌa ir· a concursar la semana que viene. Por programas pasados se sabe que la probabilidad de que MarÌa responda correctamente a la pregunta A es 0.7, y la de que responda correctamente a la pregunta B es 0.2. Se sabe adem·s que los sucesos ìMarÌa responde correctamente a la pregunta Aî y ìMarÌa responde correctamente a la pregunta Bîson independientes. a) Calcula cu·l es la esperanza de la cantidad que MarÌa ganar· en el concurso.
de la respuesta a las tres ˙ltimas preguntas. El profesor le ha indicado a Pablo que en cada pregunta puede responder o no responder, pero que la puntuaciÛn Önal del examen ser· la diferencia entre el n˙mero de respuestas correctas y el n˙mero de respuestas errÛneas. Pablo decide responder al azar las tres ˙ltimas preguntas (las siete primeras preguntas las responde correctamente). b1) Calcula la esperanza de la puntuaciÛn Önal que obtendr· Pablo. b2) Si Pablo hubiera decidido responder al azar las dos ˙ltimas preguntas y no responder la octava pregunta, øhabrÌa sido mayor la esperanza de su puntuaciÛn Önal? JustiÖca tu respuesta.
10.- Una compaÒÌa de transportes trabaja con microbuses que tienen capacidad para ocho pasajeros. La compaÒÌa sabe que la probabilidad de que un pasajero con billete no se presente en el momento de realizar el viaje es 0 : 2 ; por lo que est· estudiando la posibilidad de poner a la venta m·s de 8 billetes para cada viaje. a) Si se venden 9 billetes, øcu·l es la probabilidad de que se presenten 9 pasajeros con billete en el momento de realizar el viaje? b) Si se venden 10 billetes, øcu·l es la probabilidad de que se presenten 9 pasajeros con billete en el momento de realizar el viaje?; øcu·l es la probabilidad de que se presenten 10? c) La compaÒÌa decide poner a la venta 10 billetes para cada viaje. Si se sabe que la probabilidad de que se vendan menos de 9 billetes es 0 : 85 , la probabilidad de que se vendan 9 billetes es 0 : 10 y la probabilidad de que se vendan 10 billetes es 0 : 05 ; øcu·l es la probabilidad de que en el momento de realizar el viaje haya ìoverbookingî, es decir, de que se presenten m·s de ocho pasajeros con billete?
11.- Una compaÒÌa hace presentaciones de su producto. A cada presentaciÛn acude un cliente, y sabemos que la probabilidad de que el cliente compre el pro- ducto al terminar la presentaciÛn es 0.15. Cuando se hacen varias presentaciones, supondremos independencia entre los resultados de todas ellas. a) MaÒana la compaÒÌa har· presentaciones de su producto a 20 clientes. øCu·l es la probabilidad de que exactamente tres de estos clientes compren el pro- ducto? b) En el mes de junio la compaÒÌa har· presentaciones de su producto a 180 clientes. øCu·l es la probabilidad de que 30 clientes o m·s compren el producto? c) La compaÒÌa todavÌa no ha decidido a cu·ntos clientes har· presentaciones de su producto en el mes de julio. La compaÒÌa quiere que la probabilidad de que al menos un cliente compre el producto en julio sea superior a 0.98. Calcula el n˙mero mÌnimo de clientes a que debe hacer presentaciones la compaÒÌa en julio para estar seguros de que esta condiciÛn se cumple.
12.- Una compaÒÌa de alquiler de automÛviles sabe que la probabilidad de que uno de sus coches necesite reparaciÛn en un mes es 0 : 2. Se sabe que la compaÒÌa tiene 900 coches. (NOTA: Para resolver este ejercicio utiliza Excel, o bien algunos de los resultados obtenidos con Excel que se dan al Önal de la hoja de problemas.) a) Calcula la probabilidad de que el n˙mero de coches que necesiten reparaciÛn este mes sea inferior a 186.
b) Calcula la probabilidad de que el n˙mero de coches que necesiten reparaciÛn este mes sea igual o superior a 220. c) øCu·les son la media y la varianza de la v.a. ìn˙mero de coches que necesitan reparaciÛn en un mesî? d) Cada mes la compaÒÌa debe pagar al servicio de reparaciÛn de coches una cantidad Öja de 100 euros m·s 30 euros por cada coche que necesite reparaciÛn ese mes. øCu·les son la media y la varianza de la cantidad que debe pagar la compaÒÌa al servicio de reparaciÛn de coches en un mes?
